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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Assistant en création industrielle}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Assistant en création industrielle - session 2003}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

On rapporte le plan à un repère orthonormé \Oij.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation

\[z^2 - z\sqrt{3} + 1 = 0.\]

Les solutions, notées $z_{1}$ et $z_{2}$, seront
données sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

\medskip

\item Montrer que les points $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixe respective $z_{1}$ et $z_{2}$ sont sur le cercle de centre O et de rayon 1. En déduire une construction de ces points.
\item Calculer $\alpha =  z_{1} + z_{2}, \:\beta = z_{1}^2 +z_{2}^2, \:\gamma =  z_{1}^3 + z_{2}^3$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 14 points}

\medskip

Pour construire un tremplin de ski d'été en béton, une station de sport d'hiver fait appel à un ingénieur qui choisit de le profiler en utilisant la courbe représentative d'une fonction.

\medskip

\textbf{A.}	Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.\]

Déterminer les réels $a,~ b,~ c$ et $d$ tels que

\[f(0) = 1 \quad  f(1) = 0  \quad  f'(0)= 0 \quad  f'(1) = 0.\]

\medskip

\textbf{B.}	On rapporte le plan à un repère orthonormé \Oij{} [unité : 10~cm]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\R$ par 

\[g(x) =  2x^3 - 3x^2 + 1\]

\item Étudier les variations de $g$ sur [0~;~ 1,3] et dresser son tableau de variations. 
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $g$ au point d'abscisse $x = 1,3$.
\item Tracer la partie de la courbe $\mathcal{C}$correspondant à l'intervalle [0~;~1,3] ainsi que ses tangentes aux points d'abscisse $x = 0,\: x = 1$ et $x = 1,3$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{C.} Hachurer la partie du plan délimitée par les axes, la droite d'équation $x = 1,3$ et la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer son aire, exprimée en cm$^2$. 
\item  Ce domaine hachuré représente la coupe à l'échelle 1/100 d'un tremplin de ski en béton de largeur 5~m. Calculer le volume de béton nécessaire à la conception de ce tremplin.
\end{enumerate}
\end{document}