\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur - session 2003~\decofourright \\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(4.2,4)
\psaxes{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(4,4)
\uput[45](4,0){$C$}
\uput[90](3,0){$D$}
\uput[90](3,1){$B$}
\uput[45](0,3){$A$}
\psarc[linewidth=0.03](3,0){1}{0}{90}
\psplot[algebraic=true,linestyle=dotted,linewidth=0.05]{0}{3}{4/27*x^3 - 2/3*x^2+3}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère les points A(0~;~3), B(3~;~1), C(4~;~ 0) et D(3~;~0).

La courbe ci-dessus est constituée de deux parties :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La partie en trait continu est un quart de cercle de centre D et de rayon 1.
\item La partie en trait pointillé est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{\textbf{Partie A : détermination de $\boldsymbol{f}$.}}\\
 La partie en trait pointillé doit satisfaire les conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item elle passe par A et par B ;
\item la tangente en A est parallèle à  l'axe des abscisses ;
\item le raccordement avec la partie en trait continu doit être le plus régulier possible, c'est-à-dire que la tangente au cercle en B est aussi tangente à  la courbe en pointillé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire ces quatre contraintes par quatre conditions sur la fonction $f$ et sa fonction dérivée~$f'$.
\item  Vérifier que la fonction $f_0$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par \\ $f_0 (x) = \dfrac{4}{27}\,x^3 - \dfrac{2}{3}\,x^2+3$ satisfait ces quatre conditions.

On admet alors que l'arc $\wideparen{\text{AB}}$ est la courbe représentative de $f_0$.
\item Calculer l'aire, en cm$^{2}$, de la surface délimitée par la courbe et les deux axes (\emph{arrondir à  l'unité}).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\emph{Partie B : le plateau de table.}}

\medskip

En faisant subir à  la courbe une symétrie orthogonale par rapport à  l'axe des abscisses, puis à  l'ensemble une symétrie orthogonale par rapport à  l'axe des ordonnées, on obtient une courbe fermée T.

Cette courbe T constitue, à  l'échelle 1/5, le contour extérieur d'un plateau de table, réalisé dans un matériau de 6~cm d'épaisseur et dont la masse volumique est de 1,7~g/cm$^{3}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume en cm$^{3}$ du plateau, à  1 cm$^{3}$ près.
\item  Calculer sa masse en kg (\emph{arrondir à  $3$~décimales}).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Une entreprise d'agencement fabrique des tables. Une des machines débite les pieds des tables.

\medskip

\emph{\textbf{Partie A : étude d'un échantillon.}}

\medskip

Dans la production d'une journée, on étudie un échantillon de 200 pieds, dont on mesure le longueurs. On obtient la série suivante :

\medskip

\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur en cm & [70,6 ; 70,7[ & [70,7 ; 70,8[ & [70,8 ; 70,9[ & [70,9 ; 71,0[ & [71,0 ; 71,1[ & [71,1 ; 71,2[ & [71,2 ; 71,3[ & [71,3 ; 71,4[ \\ \hline
Effectif & 2 & 6 & 20 & 40 & 48 & 48 & 32 & 4 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{small}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer, à  0,1~mm près, la longueur moyenne et l'écart-type de cette série.
\item Un pied de table n'est pas utilisable si sa longueur est inférieure à  70,8~cm. Quel est dans cet échantillon le pourcentage de pieds défectueux ?
\end{enumerate}

\medskip

\emph{\textbf{Partie B : réglage de la machine.}}

\medskip

La longueur moyenne des pieds peut varier d'un jour à  l'autre. La fabrication est jugée acceptable tant que la longueur moyenne des pieds est supérieure ou égale à  70,8~cm. Le tableau suivant contient les longueurs moyennes en cm des pieds au cours des 7~premiers jours de fabrication.

\medskip

\begin{center}
%\begin{scriptsize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jour $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
Longueur moyenne $y_i$ & 71 & 70,99 & 70,98 & 70,97 & 70,95 & 70,92 & 70,90 \\ \hline
\end{tabularx}
%\end{scriptsize}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des points $M_i\,(x_i ; y_i)$ dans un repère orthogonal, avec pour unités :
\begin{itemize}
\item[] En abscisse : 2~cm pour 1~jour.
\item[] En ordonnée : 1~cm pour 0,1~cm (commencer la graduation à  70,0~ cm).
\end{itemize}

\item  Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? Justifier.

\item  À l'aide de la calculatrice, donner :
	\begin{enumerate}
		\item le coefficient de corrélation entre $x$ et $y$ à  $10^{-2}$ près ;
		\item une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à  $4$~décimales}).
	\end{enumerate}
\item À l'aide de cette équation de droite, déterminer au bout de combien de jours il faudra à  nouveau régler la machine.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\emph{Partie C : les pièces défectueuses.}}
 
\medskip

Dans cette partie, on considère que la probabilité qu'un pied de table, pris au hasard dans la production, ne soit pas utilisable est $0,04$.

 On prélève dans la production, au hasard, et avec remise, un échantillon de 100~pieds.

 Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à  chaque prélèvement de 100 pieds le nombre de pieds défectueux.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
\item  Calculer à  $10^{-3}$ près la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  Parmi les 100~pieds, aucun n'est défectueux.
		\item  Parmi les 100~pieds, au moins un est défectueux.
	\end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi de $X$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser ses paramètres.
		\item  Calculer alors la probabilité qu'il y ait au plus un pied défectueux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}