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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{mai 2011}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2011~\decofourright\\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Nous allons étudier l'évolution de la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion du produit. Cette concentration en grammes par litre de sang est une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et est solution de l'équation différentielle : 

\[(\text{E}) :\quad  y^{\prime}(t) + y(t) = a\text{e}^{-t},\, \text{avec la condition initiale :}\, f(0) = 0.\]
 
($a$) est une constante positive dépendant de la personne elle-même et de la quantité de médicament absorbée.)
 
On suppose que : $a = 5$, l'équation (E) s'écrit : $y^{\prime}(t) + y(t) = 5\text{e}^{-t}$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y^{\prime}(t) + y(t) = 0$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item Soit la fonction $g$, définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 5t\text{e}^{-t}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $g^{\prime}(t) = 5(1 - t)\text{e}^{-t}$. 
		\item Vérifier que $g$ est une solution particulière de (E).
	\end{enumerate} 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation (E), vérifiant la condition initiale f(0) = 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
On admettra dans la suite que $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $f(t) = 5t\text{e}^{-t}$. 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (2~cm pour 1~h en abscisse et 5~cm pour 1~gramme par litre en ordonnée) est fournie en annexe 1.
 
Représenter graphiquement le maximum de la fonction ainsi que la tangente à la courbe en ce sommet. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Comment interpréter médicalement ce résultat ? 
\item Pour une concentration supérieure à un gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. Déterminer \textbf{graphiquement} la période correspondant à ce risque.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : 

\[F(t) = -5\text{e}^{-t} - f(t).\]

Vérifier que c'est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. On rappelle que $f$ est solution de l'équation (E). 
\item La concentration moyenne du médicament (en grammes par litre de sang) durant la première heure est donnée par : $T_{m} = \displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.
 
Calculer cette concentration moyenne (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01~près.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
\begin{center} \emph{Les trois parties sont indépendantes. Les résultats seront donnés à $0,001$ près}\end{center}
 
Une entreprise dispose d'une machine pour produire des tiges métalliques.
 
Une tige métallique est déclarée conforme si sa longueur est comprise entre $19,5$ et $20,5$ cm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $L$ la variable aléatoire qui, à chaque tige métallique produite, associe sa longueur. On suppose que $L$ suit une loi normale de moyenne 20 et d'écart-type $0,3$.
 
Calculer la probabilité qu'une tige métallique produite soit conforme.
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
On suppose que la probabilité qu'une pièce produite soit non conforme est de $0,1$.
 
On prélève au hasard dans la production de tiges métalliques produites un échantillon de 50~tiges. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille 50 associe le nombre de tiges non conformes.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X, dont on précisera les paramètres? (Justifier.) 
\item Calculer la probabilité que l'échantillon comporte au plus une tige non conforme. 
\item On admet que la loi $X$ peut être approchée par une loi de Poisson nommée $Z$. Quel est le paramètre de cette loi ? 
\item En utilisant la variable aléatoire $Z$, calculer la probabilité que l'échantillon comporte au moins trois tiges non conformes.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
Pour vérifier le dérèglement éventuel de la machine, une tige témoin est prélevée toutes les demi-heures. On obtient ainsi les résultats suivants: ($t = 0$ correspondant à 9 h.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$ : temps en \emph{heure}& 0 &0,5 &1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4\\ \hline 
$L_{i}$ : Longueur de la tige témoin en \emph{cm}&20,01 &20,04 &20,07 &20,15 &20,18 &20,22 &20,25 &20,31 &20,35\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(t_{i}~;~L_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan. (On utilisera l'annexe fournie avec une unité pour une demi-heure en abscisse et une unité pour 0,05~cm et l'origine est (0~;~20). 
\item Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? (Justifier.) 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme : $L = at + b$, de la droite d'ajustement affine de $L$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira $a$ au millième et $b$ au millième).

Tracer cette droite. 
\item La machine doit être systématiquement réglée dès que la tige témoin devient non conforme.
 
En utilisant l'ajustement affine précédent, déterminer l'heure à laquelle il faudra régler la machine. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 : exercice 1 : courbe représentative de}\, \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{0.25cm}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(8.5,2.1)
\uput[d](8.5,0){$h$}\uput[l](0,2.1){$g/l$}
\multido{\n=-0.50+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,2.1)}
\multido{\n=-0.5+0.1}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(8.5,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.09}{8.5}{5 x mul 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 : exercice 2}

\vspace{0.25cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.5,0.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Oy=20,Dy=0.05,comma=true]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(8.5,0.6)
\uput[d](8.5,0){$t$ en $s$}
\uput[l](0,0.6){$L$ en $cm$}\uput[ul](0,0){20}
\multido{\n=-0.50+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.10)(\n,0.60)}
\multido{\n=-0.100+0.025}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(8.5,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}