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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2010~\decofourright\\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Dans une pièce, la température est de 22\:\degres C à 23~h quand on éteint le chauffage. Nous allons étudier l'évolution de la température dans cette pièce au cours de la nuit.
 
Nous supposerons que la température extérieure est constante, toujours égale à $T_{\text{ext}} = 10$\:\degres C. 

Soit $t$ le temps écoulé depuis 23~h, exprimé en heures. La température dans le bureau est une fonction $f$ de la variable $t$, définie sur l'intervalle [0~;~8]. Elle est solution de l'équation différentielle: 

\[Cy' + \lambda y = \lambda T_{\text{ext}},\]
 
où $C$ est la capacité thermique globale de la pièce et $\lambda$ la conductivité thermique globale du mur donnant sur l'extérieur.
 
On admettra que l'équation s'écrit alors: 

\[(E) \quad  y' + 0,15 y = 1,5.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle: 

\[y' + 0,15 y = 0.\]
 
		\item  Déterminer une fonction constante $g$, sous la forme $g(t) = b$ où $b$ est un nombre réel, qui soit solution particulière de l'équation $(E)$. 
		\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. 
		\item  Déterminer la fonction 1 solution de l'équation $(E)$, qui vérifie la condition initiale :
		 
\[f(0) = 22.\]

	\end{enumerate} 
\item 	On admettra dans la suite que $f$ est la fonction définie sur $[0~;~8]$ par :
 
\[f(t) = 10 + 12\text{e}^{-0,15t}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~8]$. 
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1~h en abscisse et 1~cm pour 1\:\degres C en ordonnée. 
		\item Au bout de combien de temps la température devient-elle inférieure à 16\:\degres C ? En déterminer la valeur exacte à l'aide d'une inéquation. Quelle heure sera-t-il (arrondir à l'heure près) ?
	\end{enumerate} 
\item À chaque instant $t$, le flux de chaleur vers l'extérieur est donné, en MJh$^{-1}$ (mégajoule par heure), par la fonction $j$ définie sur $[0~;~8]$ par :
 
\[j(t) = \lambda\left[f(t) - T_{\text{ext}}\right] = 2,88\text{e}^{-0,15t}.\]
 
L'énergie dissipée à l'extérieur entre 23~h et 7~h, exprimée en MJ, s'obtient en calculant : 

\[E_{d} = \int_{0}^8 j(t)\:\text{d}t.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte $E_{d}$. 
		\item En donner une valeur approchée à 0,1 MJ près par défaut.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
Une entreprise effectue des travaux d'isolation chez des particuliers. Elle souhaite évaluer son potentiel d'activité dans une ville. Pour cela, elle demande à 100~personnes choisies au hasard de faire le test suivant : une pièce, préalablement portée à une température convenue, est laissée toute une nuit sans chauffage. Le matin, on relève sa température.
 
L'entreprise obtient comme résultats, arrondis au degré le plus proche :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Températures (\degres C)& 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20\\ \hline 
Effectifs &1 &4 &12 &21 &25 &22 &10 &5\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
On distingue alors trois catégories de maisons, selon la température $T$ relevée le matin :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Si $18 \leqslant T$, l'isolation est satisfaisante (catégorie 1). 
\item  Si $15 \leqslant T < 18$, des économies d'énergie pourraient être réalisées, mais elles ne compenseraient pas les coûts des travaux (catégorie 2). 
\item  Si $T < 15$, les propriétaires ont tout intérêt à faire rénover l'isolation de leur maison (catégorie 3).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  Sans justification, calculer la moyenne de la série statistique. Calculer ensuite une valeur arrondie de l'écart type de la série statistique à $0,1$~près. 
\item  	Soit $X$ la variable aléatoire qui, à une maison choisie au hasard dans la ville, associe la température que l'on aurait relevée le matin, si la maison avait subi le test thermique.
 
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 17$ et d'écart type $\sigma = 1,5$.
 
On choisit une maison au hasard. Déterminer la probabilité à \nombre{0,0001}~près, que : 
	\begin{enumerate}
		\item La maison soit dans la catégorie 3 ; 
		\item La maison soit dans la catégorie 2.
	\end{enumerate} 
\item On admet désormais que la probabilité qu'une maison soit dans la catégorie 3 est de $0,1$.
 
L'entreprise s'intéresse principalement aux maisons de la catégorie 3.

Chaque jour, des études thermiques sont menées dans 30~maisons choisies au hasard. La taille de la ville permettra de considérer les études comme étant indépendantes.
 
On définit une variable aléatoire $Y$ qui, à un jour donné, associe le nombre de maisons de catégorie 3. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi de probabilité la variable aléatoire $Y$ suit-elle ? Justifier votre réponse, en précisant les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité qu'au plus deux études menées dans une journée diagnostiquent une maison de catégorie 3. Donner une valeur arrondie à $0,01$~près. 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$. Que représente ce nombre ?
	\end{enumerate} 
\item Pour faciliter les calculs, on approche la loi de probabilité $Y$ par une loi de Poisson notée $Z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le paramètre $\lambda$ de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité qu'au moins $5$ des études concernent des maisons de catégorie 3.
		 
Donner une valeur arrondie à $0,01$~près. Quelle interprétation l'entreprise peut-elle faire de ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{document}