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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}

\medskip

Une entreprise fabrique des fermes industrielles. Elle désire étudier le phénomène de fluage (déformation en fonction du temps sous charge constante) du bois utilisé pour les poutres. Pour cela, elle utilise le modèle de Kelvin-Voigt :

Si l'on note $\epsilon$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ représentant la déformation sous charge constante en fonction du temps $t$, alors :

$\epsilon$ est la solution de l'équation différentielle :

\[\dfrac{\eta}{\text{E}}y'+y = \dfrac{\sigma}{\text{E}}\]
 
vérifiant la condition initiale $\epsilon(0) = 0$,
où $\sigma$ représente la contrainte ; $\eta$ et E sont des constantes dépendant du matériau utilisé.

On suppose que le bois utilisé a pour caractéristiques :	$\eta = 4 \times 10^9$~Mpa.s et E = \nombre{5000}~Mpa, et que la contrainte imposée dans le test est : $\sigma = 20$ ~Mpa, (Mpa : megapascal). Le temps $t$ est exprimé en secondes.

L'équation différentielle permettant de déterminer $\epsilon$ est donc :

\[8 \cdot 10^5 y' + y = 0,004 \quad  	(1).\]
 
\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle : $8 \cdot 10^5 y' + y = 0$ où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.
\item Déterminer une fonction constante $g$, solution particulière de l'équation (1).
\item En déduire la solution générale de l'équation différentielle (1).
\item Déterminer $\epsilon$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet que pour tout $t$ dans $[0~;~+\infty[$ :

\[\epsilon(t) = 	0,004\left(1 - \text{e}^{-1,25 \times 10^{-6}t}\right).\]
  
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction dérivée $\epsilon'$ de $\epsilon$ sur $[0~;~+\infty[$ est définie par $\epsilon'(t) = 5 \times  10^{-9}\text{e}^{-1,25 \times 10^{-6}t}$, puis en déduire le sens de variation de $\sigma$ sur son ensemble de définition.

\item  Tracer la courbe représentative de $\sigma$ dans le repère orthogonal \Oij{} (Unités graphiques : 1~cm représente $5 \times  10^5$~s sur l'axe des abscisses et 1~cm représente \nombre{0,0005} sur l'axe des ordonnées.)
\item  On admet que la déformation maximale est de 0,004. À partir de quelle valeur de $t$ la déformation atteint-elle 95\:\% de sa déformation maximale ?

Arrondir le résultat à 1~près.

Exprimer ce temps en jours (arrondir â 1 jour près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (10 points)}

\medskip

Certaines poutres nécessaires à la réalisation des fermes ont une section rectangulaire de largeur $180$~mm et de longueur $200$~mm. La tolérance est de $\pm~1$~mm, c'est-à-dire que l'on considère comme largeur acceptable toute valeur de l'intervalle [179~;~181J et comme longueur acceptable toute valeur de l'intervalle [199~;~201].

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On réalise une étude de la largeur et de la longueur de la section des poutres d'un échantillon de $100$~poutres prises au hasard dans la production. Le tableau suivant indique dans chaque case le nombre de poutres correspondant aux intervalles indiqués.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\scriptsize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{9}{c|}{	Largeurs mesurées (en mm)}\\ \hline
\multirow{9}{2ex}{\rotatebox{90}{Longueurs mesurées (en mm)}}&& [178 ; 178,5[& [178,5 ; 179[& [179 ; 179,5[ &[179,5 ; 180[& 	[180 ; 180,5[&[180,5 ; 181[& [181 ; 181,5[& [1815 ; 182[\\ \cline{2-10}
&[198 ; 198,5[&	&	&	&	&	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[198,5 ; 199[&	&	&1	&1	&2	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[199 ; 199,5[&1	&1	&4	&4	&6	&2	&&1\\  \cline{2-10}
&[199,5 ; 200[&	&	&7	&11	&9	&7	&&\\  \cline{2-10}
&[200 ; 200,5[&	&1	&5	&9	&6	&7	&&1\\  \cline{2-10}
&[200,5 ; 201[&	&	&1	&2	&2	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[201 ; 201,5[&	&1	&	&1	&1	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[201,5 ; 202[&	&	&1	&	&1	&	&&\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

On considère une poutre prise au hasard dans l'échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note I l'évènement: \og la poutre a une section de largeur acceptable \fg.

Calculer $P$(I). 
\item  On note E l'évènement : \og la poutre a une section de largeur et de longueur acceptables \fg.

Montrer que $\dfrac{83}{100} \leqslant  P(\text{E}) \leqslant  \dfrac{86}{100}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet que la probabilité qu'une poutre, prise au hasard dans la production, soit conforme, est $0,9$.

La construction d'une ferme nécessite 15~poutres de ce type.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 15~poutres, associe le nombre de poutres conformes. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile cette expérience à une succession de 15~tirages avec remise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser les paramètres de cette loi. 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un lot de 15~poutres choisies au hasard, toutes les poutres soient conformes.
		
Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
		\item  Calculer la probabilité que, dans un lot de 15~poutres choisies au hasard, il y ait au plus une poutre non conforme. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Une commande nécessite \nombre{1500} poutres. On veut évaluer la probabilité que le nombre de poutres non conformes soit d'au plus $160$.

On note $X'$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de \nombre{1500}~poutres, associe le nombre de poutres conformes.
  
On admet que $X'$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(\nombre{1500}~;~0,9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En quoi le calcul de $P(X'> \nombre{1340})$ est-il \og difficile \fg{} ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour ce calcul, on décide d'approcher la loi de $X'$ par une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi. On notera $Y$ la variable aléatoire qui suit cette loi.
		\item  Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(Y> \nombre{1340})$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}