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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2004~\decofourright\\ Agencement de l'environnement architectural }  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle

\[ 2y' + y = 4 \text{e}^{-0,5x},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ sa fonction dérivée première.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~: ~~ 2y' + y = 0$.

\item  Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

\[h(x) =  2x\text{e}^{-0,5x}\]

est une solution particulière de (E).
\item  En déduire la solution générale de (E).
\item  Déterminer la fonction solution de (E) qui prend la valeur $1$ en $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~ 4] par

\[ f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-0,5x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 3~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$ sur [0~;~ 4].
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Construire la droite T et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ obtenue à l'exercice 1 représente à l'échelle 1/10 le contour du plateau d'un bureau de longueur 120~cm et dont la largeur maximale est d'environ 56,7~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans la production d'une journée, on prélève un échantillon de 50~plateaux dont on mesure les largeurs. On obtient les résultais suivants :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
longueur en cm&56&56,2&56,4&	56,6&56,8&57&57,2&57,4\\ \hline
effectifs&1&2&8&20&10&5&3&1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Calculer à $10^{-2}$ près la largeur moyenne et l'écart type de cette série.
\item  On note $X$ la variable aléatoire qui, à un plateau choisi au hasard dans la production, associe sa largeur exprimée en cm. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m =  56,7$ et d'écart type $\sigma = 0.3$.

Un plateau est déclaré conforme si sa largeur est comprise entre 56,2 ~cm et 57,2~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'un plateau pris au hasard dans la production soit conforme. 
		\item  En déduire la probabilité qu'il ne soit pas conforme.
	\end{enumerate}
\item Les plateaux sont conditionnés en paquets de 5~plateaux. On assimile la constitution d'un paquet à un tirage de 5~plateaux successivement avec remise. On admet que la probabilité qu'un plateau ne soit pas conforme est $0,1$. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui à chaque paquet de 5~plateaux associe le nombre de plateaux non conformes. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier le fait que $Y$ suit une loi binomiale ; donner ses paramètres.
		\item  Calculer à $10^{-2}$ près les probabilités $P(Y =  0)$ et $P(Y \leqslant  1)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}