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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur - session 2002~\decofourright \\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~ cm)

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par

\[g(x) = (ax + b)\text{e}^{x}\]
passe par le point A de coordonnées (0~;~4) et admette en ce point une tangente de coefficient directeur nul. 
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par

\[f(x) =  (4 - 4x)\text{e}^{x}\]

et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. 
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$. 
\item  Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $f(0,25), ~f(0,5)$, et $f(0,75)$. 
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item  On note $H$ la fonction définie sur [0~;~1] par 
\[H(x) = (2 - x)\text{e}^{x}\]
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée de $H$ et en déduire une primitive de $f$ sur [0~;~1].
		\item  Calculer, en cm$^2$, l'aire de la portion de plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les deux axes. (On donnera la réponse exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate}
\item En traçant les courbes symétriques de $(\mathcal{C})$ par rapport aux deux axes de coordonnées et par rapport à l'origine, on obtient une courbe fermée qui sera prise comme contour du fond d'une boîte cylindrique de hauteur 10~cm. Calculer, en cm$^3$, au cm$^3$ près, le volume de la boîte.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Dans la production d'une entreprise on prélève 100~rouleaux de papier de tapisserie dont on mesure les longueurs. On obtient les résultats suivants :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|*{7}{>{ \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur en m&\scriptsize 	[9,93~;~9,95[&\scriptsize [9,95~;~9,97[&\scriptsize[9,97~;~9,99[&\scriptsize[9,99~;~10,01[&\scriptsize 	[10,01~;~10,03[&\scriptsize 	[10,03~;~10,05[&\scriptsize [10,05~;~10,07[\\ \hline 
Effectifs	&5	&11	&23	&25	&19	&13	&4\\ \hline
\end{tabularx}
								
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire l'histogramme de cette série.
\item  En remplaçant chaque classe par son centre affecté de l'effectif correspondant, calculer la moyenne et l'écart-type de cette série à $10^{-3}$ près. (Le détail des calculs n'est pas demandé).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note X la variable aléatoire qui, à un rouleau pris an hasard, associe sa longueur exprimée en mètres. On admet que X suit une loi normale de moyenne $m = 10$ et d'écart-type $\sigma =  0,03$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Considérant que les rouleaux trop longs peuvent être recoupés, on décide qu'un rouleau est accepté si sa longueur est supérieure ou égale à $9,95$~m.

Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'un rouleau pris au hasard dans la production
	\begin{enumerate}
		\item  soit accepté.
		\item  soit refusé.
	\end{enumerate}
\item  Parmi les rouleaux acceptés, ceux dont la longueur est supérieure à 10,05~m sont recoupés avant expédition.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(9,95 \leqslant  \text{X} \leqslant 10,05)$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près). 
		\item  Quelle est la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit accepté et expédié sans être recoupé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{ On admet dans cette partie que la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit refusé est} \boldmath  $0,05$. \unboldmath

On prélève au hasard 5~rouleaux dans la production. (Ce prélèvement est assimilé à un tirage de 5~rouleaux successivement avec remise). On appelle Y la variable aléatoire qui associe à chacun de ces prélèvements le nombre de rouleaux refusés parmi les 5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi de probabilité de Y ? (\emph{On précisera ses paramètres}).

\item   Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de chacun des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item  Parmi les 5~rouleaux, aucun n'est refusé. 
		\item  Parmi les 5~rouleaux, au moins un  est refusé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}