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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur - session 2001 \\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm)

\medskip
 
\textbf{A-} Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]
 
passe par le point A de coordonnées (0~;~4) et admette en ce point une tangente de coefficient directeur nul.

\medskip
 
\textbf{B-}  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par 
\[f(x) = (4 - 4x)\text{e}^{-x}\] 

et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.
 
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$. 
\item Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $f(0,25),{} f(0,5),$  et $f(0,75)$. 
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item On note $H$ la fonction définie sur [0~;~1] par 
\[H(x) = (2 ~ x)\text{e}^{-x}\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée de $H$ et en déduire une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la portion de plan limitée par la courbe et les deux axes. (On donnera la réponse exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate} 
\item En traçant les courbes symétriques de $(\mathcal{C})$ par rapport aux deux axes de coordonnées et par rapport à l'origine, on obtient une courbe fermée qui sera prise comme contour du fond d'une boîte cylindrique de hauteur 10~cm. Calculer, en cm$^3$, au cm$^3$ près, le volume de la boîte. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
Dans la production d'une entreprise on prélève 100~rouleaux de papier de tapisserie dont on mesure les longueurs. On obtient les résultats suivants :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1,5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Longueur en m&\footnotesize [9,93 ; 9,95[ &\footnotesize[9,95 ; 9.97[ &\footnotesize[9,97 ; 9,99[ &\footnotesize[9,99 ; 10,01[&\footnotesize [10,01 ; 10,03[&\footnotesize [10,03 ; 10,05[ &\footnotesize[10,05 ; 10,07[\\ \hline 
Effectifs &5 &11 &23  &25 &19 &13 &4 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{A-}

\begin{enumerate}
\item  Construire l'histogramme de cette série. 
\item En remplaçant chaque classe par son centre affecté de l'effectif correspondant, calculer la moyenne et l'écart-type de cette série à 10-3 près. (Le détail des calculs n'est pas demandé).
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{B-} On note $X$ la variable aléatoire qui, à un rouleau pris au hasard, associe sa longueur exprimée en mètres. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 10$ et d'écart-type $\sigma = 0,03$.
 
\begin{enumerate}
\item  Considérant que les rouleaux trop longs peuvent être recoupés, on décide qu'un rouleau est accepté si sa longueur est supérieure ou égale à 9,95~m.
 
Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'un rouleau pris au hasard dans la production :
 
	\begin{enumerate}
		\item soit accepté. 
		\item soit refusé.
	\end{enumerate} 
\item Parmi les rouleaux acceptés, ceux dont la longueur est supérieure à 10,05~m sont recoupés avant expédition.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(9,95 \leqslant X \leqslant 10,05)$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près).
		 
		\item Quelle est la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit accepté et expédié sans être recoupé ?
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

 
\textbf{C- On admet dans cette partie que la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit refusé est } \boldmath $0,05$.\unboldmath

\medskip
 
On prélève au hasard 5~rouleaux dans la production. (Ce prélèvement est assimilé à un tirage de 5~rouleaux successivement avec remise). On appelle $Y$ la variable aléatoire qui associe à chacun de ces prélèvements le nombre de rouleaux refusés parmi les 5.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ? (On précisera ses paramètres). 
\item Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  Parmi les 5 rouleaux, aucun n'est refusé. 
		\item  Parmi les 5 rouleaux, au moins 1 est refusé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}