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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2008~\decofourright\\ Agencement de l'environnement architectural}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle :

\[(\mbox{E}) : y'+ 2 y = -x\text{e}^{-3x}\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $(\mbox{E}_0)$ :
\[(\mbox{E}_0) : y'+ 2y = 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $h$, définie sur $\R$ par
\[h(x) = (x + 1)\text{e}^{-3x}\]
est une solution particulière de (E).
		\item En déduire la solution générale de (E).
		\item Déterminer la solution de (E) qui prend la valeur $0$ en $x = -1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par 
\[f (x) = (x + 1)\text{e}^{-3x}.\]
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal (unité graphique : 3~cm).

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur $[-1~;~1]$.
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\item  Montrer que la fonction $F(x) = -\dfrac{1}{9}\, (3x + 4)\text{e}^{-3x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle donné.
\item Calculer en cm$^{2}$ l'aire du domaine D limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe $x'$O$x$ et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise décide de réaliser un vase pour un jardin en utilisant la forme obtenue en  faisant tourner le domaine D autour de l'axe $x'$O$x$. Cette forme sera une représentation à  l'échelle 
1 : 10 du vase. On rappelle que le volume du solide de révolution engendré par la rotation du domaine est en unités de volumes : 

$\displaystyle V = \pi \int_{-1}^{0} [f(x)]^2 \,\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $f^2$ qui à  $x$ associe $[f(x)]^2$ .
Vérifier que la fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$
par $g (x) = \left (-\dfrac{1}{6}\,x^2 - \dfrac{7}{18}\, x - \dfrac{25}{108}\right )\text{e}^{-6x}$  est une primitive de $f^2$.
\item  Calculer le volume du vase en m$^3$ à  $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pieds métalliques pour des tables. Dans la production d'une journée, on  étudie un échantillon de 120~pieds dont on mesure les longueurs. On obtient la série suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Longueur en mm & 699,4 & 699,6 & 699,8 & 700,0 & 700,2 & 700,4 & 700,6 \\ \hline 
 Effectif & 3 & 18 & 12 & 46 & 20 & 19 & 2 \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer au 1/10 de millimètre près la moyenne puis l'écart type de cette série.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à  un pied de table pris au hasard dans la production, associe sa  longueur et on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 700$ et d'écart type $\sigma = 0,25$. 

Un pied est estimé conforme si sa longueur appartient à  l'intervalle [699,6~;~700,4].

\medskip

\item Calculer, à  $10^{-2}$ près, la probabilité $P(699,6 \leqslant X \leqslant 700,4)$.

\item En déduire la probabilité qu'un pied, pris au hasard dans la production, ne soit pas conforme.

\medskip

Ces pieds sont conditionnés par lot de 4. On considère que le nombre de pieds produits est  suffisamment important pour permettre d'assimiler un lot à  un tirage de 4 pieds choisis au hasard 
et avec remise.

\smallskip

\emph{On admet désormais que la probabilité qu'un pied, pris au hasard dans la production, ne  soit pas conforme est $0,10$.}

\smallskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à  chaque lot de 4 pieds, associe le nombre de pieds non  conformes.

\medskip

\item Justifier le fait que la variable $Y$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres. 
\item Calculer, à  $10^{-2}$ près, les probabilités $P(Y = 0)$ et $P(Y \leqslant 1)$.
\end{enumerate}
\end{document}