\documentclass[10pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{picins} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Baeyens Nicolas \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{frcursive} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{picins} \input epsf \usepackage{lscape} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} %\input{preambule.Rnw} \def\tb{\textcolor{blue}} \fancyfoot [R] { BTS 2014 Gr. C} \pagestyle{fancy} \renewcommand\headrulewidth{1pt} %\usepackage{Sweave} \begin{document} %\input{BTS2014SCBH-concordance} \title{\textbf{Corrigé de l'épreuve de mathématiques BTS 2014 groupement C}} \author{Mohamed Hassnaoui\\ UPO lyon } %\date{\today} \maketitle %\DefineVerbatimEnvironment{Sinput}{Verbatim}{formatcom={\color[rgb]{0.56,0,0}}, xleftmargin=2em, frame=single} %\DefineVerbatimEnvironment{Soutput}{Verbatim}{formatcom={\color[rgb]{0,0,0.56}}, xleftmargin=2em, frame=single} % % \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} % % \medskip % % Dans le cadre d'une étude de sécurisation des silos à grains, on étudie les contraintes exercées dans un silo cylindrique, de diamètre connu, contenant un matériau granulaire de masse volumique connue. % % \section*{Partie 1} % % \begin{minipage}{12 cm} % On s'intéresse à la fonction donnant la pression (en kilo pascals) exercés sur le fond du silo en fonction de la hauteur $x$ (en mètres) de grains contenus dans le silo.\\~\\ % On admet que cette fonction vérifie l'équation différentielle $(E)$ : % % \[(E) : \quad y'+ 0,175y = 8,365.\] % % Dans cette équation, $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$. % %\hspace{3cm} % \end{minipage} % \begin{minipage}{4 cm} % % \includegraphics{silos.PNG} % \end{minipage} % % % % \medskip % % % \begin{enumerate} % \item Résoudre l'équation différentielle $y'+0,175y=0$ % \item Déterminer le réel $a$ tel que la fonction $g$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $g(x)=a$, soit une solution particulière de l'équation $(E)$ % \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. % \item Déterminer la fonction $p$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $p(0)=0$ % \end{enumerate} % \section*{Partie 2} % On considère la fonction $f$ définie par $[0\,;\,+\infty[$ par : $f(x)= \displaystyle 47,8 \left(1 - \text{e}^{-0,175x} \right)$. % \\~\\ % Cette fonction $f$ est celle qui, à toute hauteur $x$ de grains contenus dans le silo décrit dans la {\bf partie 1}, associe la pression exercée sur le fond de celui-ci. % ~\\~\\ % On admet, pour l'étude théorique, que l'on peut remplir indéfiniment le silo. % \begin{enumerate} % \item \'Etude théorique. % \begin{enumerate} % \item Prévoir le sens de variation de $f$. % \item Justifier par le calcul le sens de variation de $f$. % \item Démontrer que la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ admet une asymptote horizontale $\mathscr{D}$ d'équation $y=47,8$ % \end{enumerate} % à partir d'une certaines hauteur de grains $\lambda$, on observe un effet de voûte à l'intérieur du silo, ce qui limite la pression exercée sur le fond et provoque une augmentation de la pression sur les parois latérales. Ce phénomène explique le risque d'éclatement d'un silo trop rempli. L'étude physique montre que $\lambda$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0 et de son asymptote horizontale $\mathscr{D}$. % \item La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$, dans un repère \Oij, est fournie en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie. % \begin{enumerate} % \item Déterminer graphiquement, sur l'annexe, un encadrement de $\lambda$ par deux entiers consécutifs. % \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0. % \item En déduire, par le calcul, une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-2}$. % \end{enumerate} % % \section*{Partie 3} % Calculer la pression moyenne exercée sur le fond du silo par une quantité de grains d'une hauteur variant entre 0 et 5 mètres. % ~\\~~\\ % On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ entre les valeurs $a$ et $b$ est $\dfrac{1}{b-a} \displaystyle \int_0^b f(x)\:\text{d}x$. % \end{enumerate} % % \vspace{0,5cm} % % \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} % % \medskip % % La fabrication des bouteille en PET (polyéthylène téréphtalate) destinées au conditionnement des eaux minérales plates comporte trois étapes principales : % \begin{itemize} % \item √âtape 1 : l'injection. Les granulés de PET sont ramollis sous l'effet de la chaleur. Le plastique est alors injecté dans un moule : on obtient ainsi une {\bf préforme} qui ressemble à un tube à essais. % \item √âtape 2 : Les préformes sont sont chauffées dans un four infrarouge % \item √âtape 3 : Le soufflage. Une tige étire la préforme et un jet d'air la comprime contre les parois (voir figure) % \end{itemize} % \begin{figure} % \centering % \includegraphics{bouteilleBTSSCBH.PNG} % \caption{image} % \end{figure} % Une société est spécialisée dans la fabrication de bouteilles d'eau plate.\\ % On effectue différents types de tests de contrôle de qualité afin de vérifier que les bouteilles sont conformes aux normes en vigueur. % \section*{Partie 1} % Un premier type de test est effectué sur les préformes à l'issue de l'étape 1 de fabrication décrite ci-dessus. % % On estime qu'il y a 0,5\,\% des préformes non conformes aux normes établies. % % Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 80 préformes prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de préformes non conformes. La production de la société est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. % % \medskip % % \begin{enumerate} % \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. % \item Calculer la probabilité qu'il y ait une seule préforme non conforme dans un lot de 80. % \item Calculer la probabilité qu'il y ait plus d'une préforme non conforme dans un lot de 80. % \end{enumerate} % % \section*{Partie 2} % Le four infrarouge se dérègle au cours du temps. Le réglage ne pouvant être corrigé dans l'immédiat, la société désire évaluer les conséquences de ce dysfonctionnement. Elle décide de relever chaque jour, sur un échantillon, le pourcentage de bouteilles touchées par ce problème. On obtient le tableau suivant : % % \medskip % % \begin{tabularx}{0.95\textwidth}{|l|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}} % \hline % jour $x_i$&1&2&3&4&5&6\\ \hline % Pourcentages de bouteilles défectueuses $y_i$&0,8&1,3&1,4&1,7&2,1&2,2 \\ \hline % \end{tabularx} % % \medskip % % \begin{enumerate} % \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$). % \item On admet que l'évolution du pourcentage de bouteilles défectueuses se poursuit de la même manière dans les jours suivants. Estimer le pourcentage de bouteilles défectueuses produites le neuvième jour. % \end{enumerate} % % \section*{partie 3} % Une série de tests, concernant entre-autres la résistance des bouteilles et l'épaisseur de matériau à utiliser, est effectuée à l'issue de l'étape de soufflage sur des échantillons de 100 bouteilles prélevées au hasard.\\~\\ % Chaque bouteille prélevée est placée sous un plateau de compression. Une force verticale est appliquée avec une vitesse constante provoquant la déformation de la bouteille.\\~\\ % Un dynamomètre permet de mesurer la charge de compression verticale, c'est-à-dire l'intensité maximale de la force exercée pendant le test jusqu'à ce que la bouteille se déforme visiblement . Elle est exprimée en Newtons.\\~\\ % On désigne par $C$ la variable aléatoire qui, a toute bouteille prélevées dans la production associe la charge de compression verticale infligée lors du test.\\~\\ % On admet que $C$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type 1. % % \medskip % % \begin{enumerate} % \item Dans cette question, on suppose que $m = 30$. Une bouteille est déclarée conforme lorsque la charge de compression verticale infligée lors du test est comprises entre 28 et 32 Newtons.~\\~\\ % Calculer la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production soit conforme. % \item Pour des raisons écologiques, la société vient de mettre au point un nouveau modèle de bouteille en plastique de plus faible épaisseur. On souhaite tester si les bouteilles sont toujours aussi résistantes.\\~\\ % On construit un test bilatéral de validité d'hypothèse, destiné à savoir si l'on peut considérer, au seuil de 5\%, que la charge moyenne de compression verticale sur l'ensemble de la production de bouteilles est égale à 30 Newtons.\\~\\ % Soit $\overline{C}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 bouteilles de la production, associe la charge moyenne de compression verticale infligée lors du test.\\~\\ % On admet que $\overline{C}$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type 0,1. % % On choisit l'hypothèse nulle $H_0$ : \og $m = 30$ \fg{}. % % \medskip % % \begin{enumerate} % \item Donner l'hypothèse alternative $H_1$ % \item sous l'hypothèse $H_0$ : \og $m = 30$ \fg{}, calculer le réel $a$ tel que \[P\left(30 - a \leqslantslant \overline{C} \leqslantslant 30 + a \right) = 0,95\] % \item √ânoncer la règle de décision de ce test. % \item On prélève au hasard un échantillon de 100 bouteilles dans la production. La charge moyenne de compression verticale sur cet échantillon est de 29,4 Newtons. % % Peut-on conclure, au seuil de 5\,\%, que la charge moyenne de compression verticale sur l'ensemble de la production de bouteilles est égale à 30 Newtons ? % \end{enumerate} % \end{enumerate} % \begin{center} % {\bf Annexe de l'exercice 1 à rendre avec la copie}\\ % \end{center} % <>= % f<-function(x){47.8*(1-exp(-0.175*x))} % curve(f, 0, 30,xlab='x',ylab='f(x)',ylim=c(0,50)) % #abline(v=c(1:30),lty='dashed') % abline(h=c(0:50),v=c(0:30),lwd=0.5) % #abline(h=47.8,a=0,b=8.365,lwd=2) % arrows(0,0,30,0,lwd=2,length = 0.1) % arrows(0,0,0,50,lwd=2,length = 0.1) % # segments(5,0,5,47.8,lwd=4) % # segments(6,0,6,47.8,lwd=4) % # text(3,46,'D') % # text(3.2,30,'T') % # text(5.5,10,expression(lambda),cex=1.4) % @ % % %CORRIGE ****************** % %******************** %\textbf{Corrigé de l'épreuve de maths BTS 2014 groupement C } \section*{Exercice 1 } \section*{Partie 1} Résolution de l'équation différentielle : (E): $y'+0,175y=8,365$ \be \item $(E_0)$:~ $y'+0,175y=0$ est une équation différentielle homogène du premier ordre à coefficients constants, donc les solutions de $(E_0)$ sont de la forme: \fbox{ $y_0=\mu \text{e}^{-0,175x}$} où $\mu$ est un réel quelconque et $x\in [0~ ;~+\infty[$. \item La fonction $g$, définie sur $[0 ~;~+\infty[$ par $g(x)=a$, est une solution particulière de l'équation $(E)$ si et seulement si, $g'(x)+0,175g(x)=8,365$, comme $g'(x)=0$, on a immédiatement $a=\dfrac{8,365}{0,175} $, donc\fbox{$g(x)=47,8$} pour tout $x \in [0 ~;~+\infty[$ \item Les solutions de l'équation différentielle (E) sont de la forme : $y=y_0+g(x)$, soit \fbox{$y=\mu \text{e}^{-0,175x}+47,8$}, $x \in [0 ~;~+\infty[$ . \item La fonction $p$, solution de l'équation différentielle (E), est définie sur $[0 ~;~+\infty[$ par : $ \mu \text{e}^{-0,175x}+47,8$ comme $p(0)=0$,~ $\mu=-47,8$, donc \fbox{$p(x)=47,8(1-\text{e}^{-0,175x})$} \ee \section*{Partie 2} On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ~;~+\infty[$ par : $f(x)= \displaystyle 47,8 \left(1 - \text{e}^{-0,175x} \right)$. \be \item Etude théorique. \be \item Par définition, la fonction $f$ est la pression exercée sur le fond du silo en fonction de la hauteur $x$. Plus il y a des grains plus la pression augmente donc la fonction $f$ ne peut être que croissante. \item $f'(x)=47,8(0-(-0,175)\text{e}^{-0,175x})=8,365\text{e}^{-0,175x} $. On sait que pour tout réel $t, ~ \text{e}^{t}>0$, donc $f'(x)>0$ pour tout $x \in [0 ~;~+\infty[$ , par conséquent la fonction $f$ est srictement croissante sur $ [0 ~;~+\infty[$ . \item On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-t}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-0,175 x}=0$, on en déduit que :$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=47,8$. Donc la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ admet, en $+\infty$, une asymptote horizontale $\mathcal{D}$ d'équation \fbox{$y=47,8$} \ee \item $\lambda$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente (T) en 0 et de l'asymptote $\mathcal{D}$ \be %\begin{minipage}{6cm} \item Graphiquement, on peut observer que l'effet de voûte se réalise sur l'intervalle $[5~; ~6]$~(voir graphique ci-dessous), on a donc \fbox{$5< \lambda<6$} %\bc \includegraphics{BTS2014SCBH-courbepression} %\ec \item La tangente de $T$, à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0, a pour équation :$y=f'(0)x+f(0)$. Comme $f'(0)=8,365$ ~et $f(0)=0$. Une équation de (T) est donc: \fbox{$y=8,365x$} \item $\lambda$ est la solution de l'équation $8,365x=47,8$. D'où \fbox{$\lambda \simeq 5,71$} \ee \ee \section*{Partie 3} La pression moyenne, $p_m$, exercée sur le fond du silo par une quantité de grains d'une hauteur variant entre 0 et 5 mètres est définie par : $p_m=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int_0^5 f(x)\:\text{d}x$. \medskip On rappelle qu'une primitive de $ x\mapsto \text{e}^{ax}$, avec $a\neq 0$~ est :$ x\mapsto \dfrac{1}{a}~\text{e}^{ax}$. Donc une primitive $F$ de $f$ est $F\colon x\mapsto \displaystyle 47,8 \left(x +5,7143 ~\text{e}^{-0,175x} \right) $, d'où $p_m=\dfrac{F(5)-F(0)}{5}$ \medskip $F(5)=273,1292~ \text{e}^{ -0,875}+ 239$~ et $F(0)=273,1292$, donc $p_m= \dfrac{273,1292 ~ \text{e}^{ -0,875}-34,1292}{5}$ ~\fbox{$p_m\simeq 15,94$}\\ \vspace{0,5cm} \section*{Exercice 2 } \medskip \section*{Partie 1} \be \item Chaque prélèvement d'une préforme est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires : \textbf{succès} qui correspond à une préforme \textbf{non conforme} et echec qui correspond à une préforme conforme, d'après l'énoncé \textbf{P(succès)=0,005}. Cette \textbf{même épreuve} est \textbf{répétée 80 fois}, de plus les épreuves sont \textbf{indépendantes} car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire $X$ qui est égale au nombre de succès, à l'issue de cette expérience aléatoire, suit une \textbf{loi binomiale de paramètres n =80 et p=0,005}. $X\sim> \mathcal{B}(80~;~0,005)$ \item La probabilité qu'il y ait une seule préforme non conforme dans un lot de 80 est \[P(X=1)=\binom{80}{1}\times 0,005^1 \times 0,995^{79} \simeq 0.269\] \item La probabilité qu'il y ait plus d'une préforme non conforme dans un lot de 80 est \[P(X>1)=1-P(X \leqslant 1)\] $P(X\leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)= \simeq 0.939$, donc \fbox{$P(X>1)\simeq 0.061 $} \ee \section*{Partie 2} \medskip \be \item Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est \[y=0,277x+0,613\] \item Si l'évolution du pourcentage de bouteilles défectueuses se poursuit de la même manière dans les jours suivants, au neuvième jour le pourcentage de bouteilles défectueuses s'élèvera à $0,277 \times 9 +0,613$, soit $3,1 \%$ . \ee % \section*{Partie 3} \be \item $ C \sim > \mathcal{N}(30~, ~1)$, on pose $T=\dfrac{C-30}{1}$, donc $T\sim > \mathcal{N}(0~, ~1)$. \medskip La probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production soit conforme est $P\left(28 \leqslant C \leqslant 32\right)$.\\ $P\left(28 \leqslant C \leqslant 32\right)=P\left(\dfrac{28-30}{1} \leqslant T \leqslant \dfrac{32-30}{1}\right)$, c'est à dire $P\left(28 \leqslant C \leqslant 32 \right)=2\pi(2)-1 \simeq \np{0.9545}$, où $\pi$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite \item \medskip \be \item Un test bilatéral est construit de la manière suivante: $ \begin{cases} H_0 :m=30, &\text{la charge moyenne de compression verticale des bouteilles est égale à 30 N} \\ \text{contre} \\ H_1 :m\neq 30, &\text{la charge moyenne de compression verticale des bouteilles n'est pas égale à 30 N } \end{cases}$ \item Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{C}\sim > \mathcal{N}(30~, ~0,1)$, donc la variable aléatoire $Z=\dfrac{\overline{C}-30}{0,1}$ suit la loi $\mathcal{N}(0~, ~1)$, d'où \[P\left(30 - a \leqslantslant \overline{C} \leqslantslant 30 + a \right) = 0,95 \iff P\left(\dfrac{-a} {0,1} \leqslantslant Z \leqslantslant \dfrac{a} {0,1} \right) = 0,95 \] \[P\left(30 - a \leqslantslant \overline{C} \leqslantslant 30 + a \right) = 0,95 \iff 2\pi\left(\dfrac{a} {0,1}\right)-1 = 0,95 \] On en déduit que le réel $a$ vérifie l'équation: $\pi\left(\dfrac{a} {0,1}\right)=0,975$, où $\pi$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. La lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite donne $\dfrac{a} {0,1} \simeq 1.96$, d'où \fbox{$a \simeq 0,196$} \item La règle de décision relative à ce test d'hypothèse se résume de la manière suivante: \\ D'après la question précédente, si $H_0$ est vraie, il n' y a que 5\% de chances de prélever un échantillon au hasard de taille 100 dont la moyenne soit dans l'intervalle $I=[29,804~;~30,196]$, donc si la moyenne $\overline{c}$ d'un échantillon de 100 bouteilles, prélevées au hasard dans la production, est dans l'intervalle $I=[30-a~, 30+a]$, où $a$ est le réel trouvé dans la question $b$, alors l'hypothèse nulle $H_0$ n'est pas rejetée sinon on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$ avec un risque de 5\%. \includegraphics{BTS2014SCBH-regioncritique} \item D'après \textbf{b}, $I=[29,804~;~30,196]$, comme $\overline{c}=29,4 \notin I$, donc l'hypothèse nulle, $H_0 : m =30$, est rejetée. On peut conclure, au seuil de 5\,\%, que la charge moyenne de compression verticale sur l'ensemble de la production de bouteilles n'est pas égale à 30 Newtons. \ee \ee \end{document}