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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement A2 spécialité IRIST}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement A2 session 2005\\Métropole -- Polynésie}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

{\large {\textbf{Exercice 1  \hfill  9 points}}}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier une approximation du cercle de centre O et de rayon $1$ par une courbe B-spline uniforme de degré $2$, notée $\Gamma$, dont les points de contrôle
 $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ ont
 pour affixes respectives :
 
\[p_0 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}}\text{,}
 p_1 =\dfrac{16}{9}\text{,}
 p_2 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}\text{,}\:
 p_3 = p_0\: \text{et}\: p_4 = p_1\]

où i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Les polynômes de Riesenfeld $R_k$ de degré $2$, pour $k$ prenant les valeurs $0$, $1$ ou $2$, sont définis par :

\[R_k (t) = 3 \sum_{j=0}^{2-k} (- 1)^j~\dfrac{(t+2-k -j)^2}{j!~(3-j)!}\]

La courbe B-spline $\Gamma$ est la réunion de trois arcs de courbe $C_j$, $j$ prenant  les valeurs $1$, $2$ ou $3$.
 
L'arc $C_j$ est l'ensemble des points $M_j(t)$ définis, pour tout $t$ dans  l'intervalle [ 0 ; 1] par l'égalité  vectorielle :
\[\vect{\text{O}M_j (t)} =
   R_0 (t) \vect{\text{O}P_{j-1}} +
   R_1 (t) \vect{\text{O}P_{j}} +
   R_2 (t) \vect{\text{O}P_{j+1}}\]
   
Les arcs $C_2$ et $C_3$ sont représentés sur la figure du document réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\textbf{Questions préliminaires}
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les coordonnées du point $P_0$ sont $\left(-\dfrac{8}{9}, -\dfrac{8\sqrt{3}}{9} \right)$.
		\item Placer les points de contrôle $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$  sur la figure du document réponse.
		\item Développer et simplifier l'expression du polynôme $R_0$.
	\end{enumerate}
	
Dans toute la suite de cet exercice, on admettra que, pour tout $t$ dans
 l'intervalle [0~;~1] :
 
\[R_1 (t) = - t^2 + t + \dfrac{1}{2}~ \text{et}~ R_2 (t)= \dfrac{1}{2}t^2\]

\item \textbf{Étude de l'arc $C_1$}

On admet que les coordonnées $(x_1 (t) ~;~ y_1 (t) )$ du point $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$  sont, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1] :

\[\left\{\begin{array}{l}
        x_1(t)=\dfrac{4}{9} \left(- 6t^2+6t+1\right)\\
        y_1(t)=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\left( t -\dfrac{1}{2} \right)
      \end{array}\right. \]
      
	\begin{enumerate}
		\item
 Étudier les variations des fonctions $x_1$ et $y_1$ définies ci-dessus et dresser un tableau des variations conjointes de ces deux fonctions. On donnera les coordonnées exactes des points $M_1 (0)$, $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$ et  $M_1 (1)$ de l'arc $C_1$.
		\item Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc $C_1$ aux points  $M_1 (0)$ et  $M_1 (1)$.
		\item Vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux respectivement aux vecteurs $\vect{\text{O}M_1 (0)}$ et $\vect{\text{O}M_1 (1)}$.
		\item Porter sur la figure du document réponse les tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1(0)$ et $M_1(1)$. Tracer l'arc $C_1$ et les cercles de centre O passant par les points $M_1(0)$ et $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
\textbf{Étude de l'arc $C_2$}
	\begin{enumerate}
		\item On note $\left( x_2 (t), y_2 (t) \right)$ les coordonnées du point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$.
		
 Vérifier que $x_2 (t) = \dfrac{4}{3} t^2 -\dfrac{8}{3}  t + \dfrac{4}{9}$.\\
 On admettra dans toute la suite de l'exercice que :
\[y_2(t)=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}t^2+\dfrac{8\sqrt{3}}{9}t+\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\]
		\item On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle
 $\dfrac{2\pi}{3}$.
 
Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par la rotation $r$.

Exprimer l'affixe $z~'$ du point $M'$ en fonction de l'affixe $z$ du point $M$.
		\item On note $(x~;~y)$ les coordonnées du point $M$ et $(x'~;~y')$ celles du point $M~'= r(M)$.

Vérifier que :
      $\left\{\begin{array}{l c l}
         x'&=&-\dfrac12x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\
         y'&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \dfrac{1}{2}y
      \end{array}\right.$
		\item En déduire que, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1], l'image du point $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ est le point  $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. 
		
On admet que l'arc $C_2$ est l'image de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ et que l'arc $C_3$, est l'image de l'arc $C_2$ par la rotation $r$.
	\end{enumerate}

\medskip

\item
 \textbf{Calcul de l'aire $\mathcal{A}$ de la surface intérieure à la courbe B-spline } \boldmath $\Gamma$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item
 On admet que l'aire de la surface délimitée par l'arc $C_1$ et la droite
 d'équation $x = \dfrac{4}{9}$ est donnée par l'intégrale :

\[  I = \int_0^1 - y_1(t) x^{\prime}_1(t)\:\text{d}t.\]

 Calculer l'intégrale $I$.
		\item En déduire la valeur arrondie, au centième, de l'aire de la surface intérieure à la courbe $\Gamma$.
		\item Comparer le résultat avec l'aire d'un disque de rayon $1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\textbf{Exercice 2  \hfill 11 points}}

\medskip

\textbf{Toutes spécialités}

\medskip

\emph{L'exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.}

\medskip

{\textbf{Partie A}}

\medskip

Un embrayage vient appliquer, à l'instant $t = 0$, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de $150$~rad/s.

On note $\omega(t)$, la vitesse de rotation du moteur à l'instant $t$.
 
La fonction $\omega$ est solution de l'équation différentielle :

\[\dfrac{1}{200}y'(t) + y(t) = 146 \quad (1)\]

 où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive $t$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(1)$.

\emph{On cherchera une solution particulière constante.}
		\item Sachant que $\omega(0) = 150$, montrer que $\omega(t) = 146 + 4\text{e}^{-200t}$ pour tout $t \in [ 0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $\omega_{\infty}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty} \omega(t)$. Déterminer la perte de vitesse  $\omega(0)-\omega_{\infty}$.
 due au couple résistant.
		\item
 On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l'écart
 relatif
$\begin{array}{|c|}
\dfrac{\omega(t)-\omega_{\infty}}{\omega_{\infty}} \\
\end{array}$ est inférieur à $1$\:\%.\\
Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La vitesse du moteur étant stabilisée, on s'intéresse dans cette deuxième partie à l'effet d'une perturbation $\gamma$ du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur.

On note $f(t)$ la différence, à l'instant $t$, entre la vitesse perturbée du
 moteur et sa vitesse stabilisée.
 
La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :

 \[\dfrac{1}{200} f^{\prime}(t) + f(t) =\gamma(t)~ \text{avec}~ f(0^+) = 0  \quad (2)\]
 
On admet que la fonction $f$ possède une transformée de Laplace notée $F$. 
 
La fonction $\gamma$ est définie par :
 
\[\gamma(t) = K [U(t) - U(t - \tau)]\]

où $\tau$ et $K$ sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et $U$ est la fonction échelon unité ($U(t) = 0$ si $t  < 0$ et $U(t) = 1$ si $t \geqslant 0$ ).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la fonction $\gamma$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$.
		\item Déterminer, en fonction de $\tau$ et $K$, la transformée de Laplace $\Gamma$ de la fonction $\gamma$.
	\end{enumerate}
\item
En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle $(2)$, déterminer $F(p)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :
\[\dfrac{200}{p(p + 200)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p + 200}\]
   pour tout réel $p$ strictement positif.
		\item En déduire l'original $f$ de la fonction $F$. On vérifiera notamment que :
\[\left\{\begin{array}{l c l l}
         f(t) &=& K (1 - \text{e}^{ -200t} )~&  \text{si}~ t \in [0~;~\tau[ \\
         f(t) &=& K (\text{e}^{200\tau}-1) \text{e}^{ - 200t}~&\text{si}~t \in [\tau~;~+\infty[
      \end{array}\right.\]
		\item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur chacun des
 intervalles $[0~;~ \tau [$ et $[\tau~;~+\infty[$.
 
Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de ces deux
 intervalles.
		\item
Représenter la fonction $f$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$.
 
On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions $\gamma$ et $f$ dans le même repère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\bf Document réponse à rendre avec la copie\\}
 
 \vspace{1cm}
 
\psset{unit=3cm}

\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dr](0,0){O}
\rput{120}(0,0){\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{6 t mul 1 add t 2 exp 6 mul sub 4 mul 9 div t 0.5 sub 1.5396 mul}}
\rput{240}(0,0){\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{6 t mul 1 add t 2 exp 6 mul sub 4 mul 9 div t 0.5 sub 1.5396 mul}}
\rput(-0.9,0.9){$C_{2}$}\rput(-0.9,-0.9){$C_{3}$}    
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}