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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}\lfoot{\small{Groupement C2}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement C2  session 2002~\decofourright}}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~~ : \quad y'' + 2y' + y = x + 4\],

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y^{\prime\prime}+ 2y^{\prime} + y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $g$, définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x + 2$ est une solution particulière de (E).

En déduire les solutions de (E).
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie les deux conditions $f(0) = 2$ et $f^{\prime}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}
 
\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = -x\text{e}^{-x}+ x + 2.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (On pourra si besoin écrire la fonction sous la forme 
$f(x) = - x\left(\text{e}^{-x} - 1\right)+2$).
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$.
\item On admet que le tableau de variations de la fonction $f^{\prime}$ est le suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psframe(7.5,2.5)\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.9,2){$- \infty$}\uput[u](4.5,2){2}\uput[u](7.1,2){$+\infty$}
\rput(0.75,1){$f'(x)$} \rput(1.9,0.2){$- \infty$} \uput[d](4.5,2){$\text{e}^{-2} + 1$}\uput[u](7.3,0){1}
\psline{->}(2,0.4)(4,1.7) \psline{->}(5.1,1.7)(7.1,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer $f'(0)$. En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$.
\item Établir le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude graphique}
 
\medskip
 
On note $\mathcal C$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\mathcal D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe~$\mathcal C$.

Déterminer la position de la courbe $\mathcal C$ par rapport à cette droite.
\item  Construire $\mathcal D$ et $\mathcal C$ (unité graphique : 2~cm).
\item  On note $\mathcal A$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée sur le graphique précédent par $\mathcal D$, $\mathcal C$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

Exprimer $\mathcal A$ à l'aide d'une intégrale.

Déterminer par la méthode de l'intégration par parties la valeur exacte de $\mathcal A$, puis en donner une valeur décimale arrondie au mm$^{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Un grossiste en fournitures de bureau revend un ruban adhésif transparent répondant à deux critères :

\quad (i) pouvoir être repositionné au moins une fois sans arracher le support, noté C1 ;

\quad (ii) ne pas jaunir le papier sur lequel il est posé, noté C2.

Les réponses des trois parties sont indépendantes. Les résultats numériques seront arrondis à~$10^{-3}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ce grossiste a trois fournisseurs Rubatop, ADZif et S.A.Col.

Il commande 27\,\% des rubans adhésifs transparents chez Rubatop, 33 \,\% chez ADZif et 40\,\% chez S.A.Col.
Le pourcentage de rubans qui ne répondent pas au critère C1 est 2,9\,\% chez Rubatop, 3,1\,\% chez ADZif et 4,2\,\% chez S.A.Col.
, les rubans sont répartis dans le rayon sans tenir compte du fournisseur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Un client prend au hasard un ruban adhésif dans le rayon.

Montrez que la probabilité d'obtenir un ruban ne répondant pas au critère C1 est 0,035 à $10^{-3}$ près.
\item   Le chef de rayon, après réclamation d'un client, a en main un ruban adhésif ne répondant pas au critère C1. Quelle est la probabilité que ce ruban vienne de chez ADZif ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La probabilité qu'un ruban adhésif jaunisse le papier est de 0,008. Un client achète 500~rubans adhésifs. On assimilera le choix de ces 500~rubans à un tirage aléatoire avec remise.

On s'intéresse à la variable aléatoire $X$ qui compte, dans ce lot de 500~rubans adhésifs, le nombre de ceux qui jaunissent le papier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces 500~rubans adhésifs jaunisse le papier ?
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Après leur utilisation, le client s'aperçoit que six rubans adhésifs sur les 500~jaunissent le papier. Il décide donc de demander au grossiste de vérifier si le lot est compatible avec son affirmation d'avoir dans son stock 0,8\,\% des rubans ne satisfaisant pas au critère C2.

Pour étudier cette réclamation, le grossiste construit un test unilatéral.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'hypothèse H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse H$_1$ ?
\item  On désigne par $F$ la variable qui, à tout lot de 500 rubans adhésifs prélevés au hasard avec remise, associe la fréquence de rubans qui jaunissent le papier.

On suppose, sous l'hypothèse nulle, que $F$ suit la loi normale de moyenne 0,008 et d'écart type $\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{500}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre $a$ tel que $P(F < 0,008 + a) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
		\item Au risque de 5\,\%, et suite à la requête de son client sur l'échantillon des 500~rubans qu'il a acheté, le grossiste doit-il remettre en cause son affirmation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}