\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement C1}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS  Groupement C1    session 2002~\decofourright}}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) \quad  4y^{\prime\prime} + 12y^{\prime} + 9y = 36,\]

 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $4y^{\prime\prime} + 12^{\prime} +9 y = 0$.

\item 	Vérifier que la fonction $h$, définie pour tout réel $x$ par $h(x) =  4$, est une solution particulière de (E). En déduire les solutions de (E).

\item 	Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f(0) = 5$ et $f^{\prime}(0) = 0,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =  (2x + 1)\text{e}^{-1,5x} + 4.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item Écrire $f(x)$ sous forme développée. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.

\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Représentation graphique et calcul d'aire}

\medskip

On considère un repère orthonormal du plan \Oij.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y =  4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
\item 	Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
\item 	Pour $x$ appartenant à $[-1/2 ~;~ 3]$, tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ (unité graphique :3~cm).
\item 	On considère l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité sur le graphique par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites $\Delta$ et $\Delta'$  d'équations respectives  $x = -0,5$ et $x = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $G$, définie sur $\R$ par $G(x) = - \left(\dfrac{4}{3}x + \dfrac{14}{9}\right)\text{e}^{-1,5x}$, est une primitive de la fonction $g$, définie sur $\R$ par $g(x) = (2x  + 1)\text{e}^{-1,5x}$.
		\item   Exprimer $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale.
		\item   En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$, puis en donner une valeur approchée décimale arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Un grossiste en fournitures de bureau revend un ruban adhésif transparent répondant à deux critères :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[(i)] pouvoir être repositionné au moins une fois sans arracher le support, noté C1 ;
\item[(ii)] ne pas jaunir le papier sur lequel il est posé, noté C2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les réponses des trois parties sont indépendantes. Les résultats numériques seront arrondis à~$10^{-3}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ce grossiste a trois fournisseurs Rubatop, ADZif et S.A.Col.

Il commande 27\,\% des rubans adhésifs transparents chez Rubatop, 33 \,\% chez ADZif et 40\,\% chez S.A.Col.

Le pourcentage de rubans qui ne répondent pas au critère C1 est 2,9\,\% chez Rubatop, 3,1\,\% chez ADZif et 4,2\,\% chez S.A.Col.

Ensuite, les rubans sont répartis dans le rayon sans tenir compte du fournisseur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Un client prend au hasard un ruban adhésif dans le rayon.

Montrez que la probabilité d'obtenir un ruban ne répondant pas au critère C1 est $0,035$ à $10^{-3}$ près.
\item   Le chef de rayon, après réclamation d'un client, a en main un ruban adhésif ne répondant pas au critère C1. Quelle est la probabilité que ce ruban vienne de chez ADZif ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
La probabilité qu'un ruban adhésif jaunisse le papier est de 0,008. Un client achète 500~rubans adhésifs. On assimilera le choix de ces 500~rubans à un tirage aléatoire avec remise.

On s'intéresse à la variable aléatoire $X$ qui compte, dans ce lot de 500~rubans adhésifs, le nombre de ceux qui jaunissent le papier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces 500~rubans adhésifs jaunisse le papier ?
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Après leur utilisation, le client s'aperçoit que six rubans adhésifs sur les 500 jaunissent le papier. Il décide donc de demander au grossiste de vérifier si le lot est compatible avec son affirmation d'avoir dans son stock 0,8\,\% des rubans ne satisfaisant pas au critère C2.

Pour étudier cette réclamation, le grossiste construit un test unilatéral.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'hypothèse H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse H$_1$ ?
\item  On désigne par $F$ la variable qui, à tout lot de 500 rubans adhésifs prélevés au hasard avec remise, associe la fréquence de rubans qui jaunissent le papier.

On suppose, sous l'hypothèse nulle, que $F$ suit la loi normale de moyenne 0,008 et d'écart type $\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{500}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre $a$ tel que $P(F < 0,008 + a) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
		\item Au risque de 5\,\%, et suite à la requête de son client sur l'échantillon des 500~rubans qu'il a acheté, le grossiste doit-il remettre en cause son affirmation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}