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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Agencement de l'environnement architectural juin 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un technicien doit réaliser un plan de travail destiné à  supporter du matériel informatique.

Ce plan de travail sera découpé dans un panneau MDF (panneau de fibres de bois de moyenne densité), puis recouvert de stratifié.

\medskip

\textbf{Partie A : Modélisation.}

\medskip

Le technicien dispose du schéma ci-dessous, représentant dans un repère orthonormal \Oij, la surface du plan de travail. L'unité représente \textbf{1 mètre} en vraie grandeur. Les dimensions réelles sont respectées au millimètre près.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psline[linewidth=0.03](0,0)(-1,0)(-1,1)(1.718,1)
\psplot[algebraic=true,linewidth=0.03]{0}{1.718}{(x+1)*ln(x+1)-x}
\uput[-90](2.5,0){$x$}
\uput[180](0,1.5){$y$}
\uput[-135](0,0){$O$}
\uput[-90](0.5,0){$\vec{\imath}$}
\uput[180](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-1,0){$A$}
\uput[90](-1,1){$B$}
\uput[0](1.718,1){$C$}
\uput[-90](1,0){1}
\uput[135](0,1){1}
\psline[linewidth=0.03]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\rput(1.5,-0.5){$\begin{array}{l}
O(0~;~0)\\
A(-1~;~0)\\
B(-1~;~1)\\
C(\text{e} -1~;~1)\\
\end{array}$}
\end{pspicture}
\end{center}

L'arc de courbe $\wideparen{OC}$ doit, de plus, vérifier les contraintes suivantes : 

\qquad a) Il doit être tangent en $O$ à  l'axe des abscisses. 

\qquad b) Il doit admettre en $C$ une tangente ayant pour coefficient directeur 1.

\medskip
Le technicien cherche à  modéliser l'arc $\wideparen{OC}$ à  l'aide d'une fonction dont la courbe représentative correspond à  cet arc.

Après plusieurs essais, il pense pouvoir utiliser la fonction $f$ définie sur $[0~;~\text{e}- 1]$ par:

\[ f(x) = (x+1) \ln(x+1) - x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f(\text{e}- 1)$.

\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ sur $[0~;~\text{e} - 1$] est définie par $f'(x) = \ln (x+1)$.

\item À partir des résultats précédents, vérifier que la courbe $\cal C$, représentative de $f$ dans le repère \Oij, passe bien par les points $O$ et $C$ et satisfait aux contraintes a) et b) énoncées ci-dessus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
\item Écrire l'équation de la tangente T à  la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ an point d'abscisse $\text{e} - 1$.
\item Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront donnés à  $10^{-3}$ près) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & $\text{e}-1$ \\\hline
$f(x)$ &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la tangente T à  $\mathcal{C}$ au point C dans le repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 10~cm).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calcul de la masse du plateau en MDF.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{2}\left(\ln( x + 1)-\dfrac{1}{2}\right)$ est une primitive sur l'intervalle $[0~;~\text{e}-1$] de la fonction $g$ définie par $g(x) = (x + 1)\ln(x + 1)$. En déduire   une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $[0~;~\text{e} - 1$].
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire (en unités d'aire) du domaine plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \text{e}- 1$.
		\item  En déduire l'aire, en m$^{2}$, du plateau découpé par le technicien (en donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}
\item Calculer sa masse, à  dix grammes près, sachant que le panneau de MDF utilisé a une épaisseur de 40 mm et que sa masse volumique est de 750 kg/m$^{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Tous les résultats de cet exercice seront donnés à  $10^{-2}$ près}

\medskip

Les panneaux MDF de 40~mm d'épaisseur sont fabriqués en série par l'usine PANCOL.
\begin{enumerate}
\item Afin de vérifier le bon réglage de la chaîne de production, on a mesuré l'épaisseur, en mm, de 100~panneaux. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
$x_i$ : épaisseur en mm & [39,7 ; 39,8[ & [39,8 ; 39,9[ & [39,9 ; 40,0[ & [40,0 ; 40,1[ & [40,1 ; 40,2[ & [40,2 ; 40,3] \\ \hline
$n_i$ : effectifs & 1 & 12 & 36 & 41 & 8 & 2 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\end{center}

\medskip
Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série statistique.

(On remplacera chaque classe par son centre affecté de J'effectif correspondant).

Sachant que la tolérance relative à  l'épaisseur est de $\pm 0,20$ mm, calculer le pourcentage de panneaux acceptables du point de vue de leur épaisseur.
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à  chaque panneau pris au hasard dans la production, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $m = 40$ et d'écart-type $\sigma = 0,1$.

Calculer la probabilité qu'un panneau pris au hasard :
	\begin{enumerate}
		\item  ait une épaisseur inférieure à  39,8~mm ;
		\item  soit acceptable, c'est-à -dire ait une épaisseur appartenant à  l'intervalle [39,80~;~40,20[ ;
		\item  ne soit pas acceptable.
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que la probabilité qu'un panneau ne soit pas acceptable est $p = 0,05$.

Un grossiste achète à  l'entreprise PANCOL les panneaux de MDF d'épaisseur 40 mm par lots de 200~panneaux. La constitution d'un lot est assimilée à  un tirage de 200~panneaux avec remise. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à  chaque lot de 200~panneaux, associe le nombre de panneaux qui ne sont pas acceptables dans ce lot.

Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?

Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $Y$.
\item On décide d'approcher la loi de probabilité de $Y$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est son paramètre ?
		\item  Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, tous les panneaux soient acceptables ?
		\item  Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, il y ait plus de 5~panneaux non acceptables ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}