\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip mai 2023 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip \textbf{Répondre à ces QCM sans justifier : une ou plusieurs réponses sont possibles suivant les questions.} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \begin{enumerate} \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison 2 telle que $u_2 = 1$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $u_7=32$ \item $u_7 =64$ \item $u_7 = 128$ \item $u_7 = 16$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient $A$ et $B$ deux évènements d’un univers $\Omega$ de probabilité non nulle. Alors $P_A(B)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ \item $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ \item $P(A \cap B)$ si $A$ et $B$ sont indépendants \item $P(A)$ si $A$ et $B$ sont indépendants \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^2 + x - 2}{x^2 - \e^x + 1}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item $+\infty$ \item 3 \item $-2$ \item 1 \end{enumerate} \newpage \item Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une solution de l’équation différentielle \[2y' - y = x - 1 :\] \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \e^{2x} - x - 1$ \item $x \longmapsto x - 1$ \item $x\longmapsto 1 - x$ \item $x \longmapsto \e^{2x}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{x^2 - x + 2}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R$ \item $[- 1~;~2]$ \item $]- \infty~;~- 1] \cup [2~;~+\infty[$ \item $\emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln^9 (x)$. Alors pour tout $x \in \R_+,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $9\ln ^8 (x)$ \item $\dfrac{1}{x^9}$ \item $\dfrac{9}{x^8}$ \item $9 \ln (x)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $F$ une primitive d’une fonction $f$ continue sur $[- 1~;~1]$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $f' = F$ \item $F' = f$ \item $F(-1) = f(-1)$ et $F(1) = f(1)$ \item $F(-1) = F(1) = 0$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans une jeu de 32 cartes, on tire une main de 6 cartes (on rappelle que dans une main, l’ordre des cartes ne compte pas). Alors le nombre de mains possibles est \medskip \begin{enumerate} \item $6^{32}$ \item $32^6$ \item $\binom{32}{6}$ \item $\dfrac{32!}{ 6!}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite réelle. Alors \medskip \begin{enumerate} \item si $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée, $\left(u_n\right)$ converge \item si $\left(u_n\right)$ est bornée, $\left(u_n\right)$ converge \item si $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée, $\left(u_n\right)$ converge \item si $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée, $\left(u_n\right)$ diverge \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la droite $d$ passant par A$(2~;~-1~;~1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item B$(0~;~-2~;~1) \in d$ \item B$(0~;~1~;~-2) \in d$ \item B$(3~;~1~;~-4) \in d$ \item B$(1~;~-3~;~-6) \in d$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de la fonction $x \longmapsto \ln (x)$ sur $\R$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto x\ln (x) - x$ \item $x \longmapsto \dfrac 1x$ \item $x \longmapsto \e^x$ \item $x \longmapsto \ln (x)$ \item $x \longmapsto \dfrac{1}{\ln (x)}$ \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{x^2 + x - 20} \ln \left(1 - x^2\right)$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $]-1~;~1[$ \item $]-\infty~;~-5] \cup [4~;~+\infty[$ \item $\emptyset$ \item $]-5~;~4[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 + x - 7}{1- x}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $-\infty$ \item 1 \item $-1$ \item $+\infty$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(1~;~-1~;~2)$ et B$(2~;~ 1~;~-1)$. Alors une équation cartésienne du plan orthogonal à la droite (AB) passant par C$(3~;~3~;~-4)$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x + 2y- 3z + 21 = 0$ \item $x + 2y - 3z + 15 = 0$ \item $x + 2y - 3z - 15 = 0$ \item $x + 2y - 3z - 1= 0$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une solution de l'équation différentielle $3y' - y = 2 - x$ : \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \e^{\frac{x}{3}} + x + 1$ \item $x \longmapsto 2 - x$ \item $x \longmapsto - 1 - x$ \item $x \longmapsto \e^{3x}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \dfrac{\e^{x^2}}{x}$. Alors pour tout $x \in \R^*,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{(2x - 1)\e^{x^2}}{x^2}$ \item $\e^{x^2}$ \item $\dfrac{(x - 1)\e^{x^2}}{x^2}$ \item $\dfrac{\left(2x^2 - 1\right)\e^{x^2}}{x^2}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Le nombre de façons de prélever simultanément 2 cartes parmi 4 est \medskip \begin{enumerate} \item 8 \item 6 \item 12 \item 16 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A$(2~;~-1~;~1)$ et le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}$. Alors une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}2 + k \\ y&=&-1 + 2k\\ z&=&\phantom{-}1- 5k \end{array}\right.; k \in \R$ \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1 + 2k \\ y&=&\phantom{-}2 - k\\ z&=&- 5 + k \end{array}\right.; k \in \R$ \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + k \\ y&=&\phantom{-}1 + 2k\\ z&=&- 1 - 5k \end{array}\right.; k \in \R$ \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}2 - k \\ y&=&- 1 - 2k\\ z&=&\phantom{-}1 + 5k \end{array}\right.; k \in \R$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites réelles quelconques. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $[\left(u_n\right)$ converge et $\left(v_n\right)$ converge] $\Rightarrow (u_n + v_n)$ converge. \item $[\left(u_n\right)$ diverge et $\left(v_n\right)$ diverge] $\Rightarrow \left(u_n + v_n\right)$ diverge \item $[\left(u_n\right)$ converge et $\left(v_n\right)$ diverge] $\Rightarrow (u_n + v_n)$ diverge \item $[\left(u_n\right)$ diverge et $\left(v_n\right)$ converge] $\Rightarrow (u_n + v_n)$ converge \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2x^2 + x + 1}{1 - x + 5x^2}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item $+\infty$ \item 2 \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \left(\e^x + x\right)^5$. Alors, pour tout $x \in \R,\:f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $5\left(\e^x + x\right)^4$ \item $5\left(\e^x + 1\right)^4$ \item $5\left(\e^x + x\right)^4\left(\e^x + 1\right)$ \item $5(\ln(x) + 1)^4$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de $x \longmapsto \dfrac{1}{\ln (x)}$ sur $]1~;~+\infty[$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \ln(\ln(x))$ \item $x \longmapsto \dfrac12 \ln^2 (x)$ \item $x \longmapsto \dfrac{x}{\ln x}$ \item $x \longmapsto \dfrac{\ln(x)}{x}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln \left(-x^2 + x - 2\right)$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $[-1~;~2]$ \item $\R*_{+}$ \item $]-\infty~;~-1] \cup [2~;~+\infty[$ \item $\emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Le nombre de façons de ranger 3 objets distincts dans 5 tiroirs sachant qu'un tiroir ne peut contenir qu'un seul objet est \medskip \begin{enumerate} \item 15 \item 60 \item 120 \item 125 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit$\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison $q \ne 1$. Alors $u_1 + u_2+ \ldots + u_n$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $u_1 \dfrac{1 - q^{n-1}}{1 - q}$ \item $u_1 \dfrac{1 - q^{n-2}}{1 - q}$ \item $u_1 \dfrac{1 - q^{n-3}}{1 - q}$ \item $u_1 \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(1~;~-1~;~2)$ et B$(2~;~1~;~-1)$. Alors une équation paramétrique de la droite (AB) est \medskip \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1+2t\\ y&=&-1+t\\ z &=&\phantom{-}2- t \end{array}\right.\:;\quad t \in \R$. \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1+t\\ y&=&-1+2t\\ z &=&\phantom{-}2 - 3t \end{array}\right.\: ;\quad t \in \R$. \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1+t\\ y&=&\phantom{-}2 -t\\ z &=& -3 + 2t \end{array}\right.\: ;\quad t \in \R$. \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}3+t\\ y&=&-t\\ z &=&\phantom{-}1 + 2 t \end{array}\right.\: ;\quad t \in \R$. \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants quelconques. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ \item $P(A \cup B) = P(A)P(B)$ \item $P(A \cap B) = P(A) +P(B)$ \item $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sin(x) \cos(x)$. Alors une primitive de $f$ sur $\R$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \dfrac12 \cos^2 (x)$ \item $x \longmapsto \dfrac12 \sin^2 (x)$ \item $x \longmapsto -\cos(\sin(x))$ \item $x \longmapsto -\dfrac12 \sin^2 (x)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x\e^{-x}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $-\infty$ \item $+\infty$ \item 0 \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Soient $A$ et $B$ deux évènements incompatibles quelconques. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $P(A \cup B) = P(A)P(B)$ \item $P(A \cup B) = P(A) +P(B)$ \item $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ \item $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\dfrac12\right)^k$. Alors la limite de $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers l'infini est \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item 1 \item 2 \item $+\infty$ \item $\dfrac12$ \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{\ln (x)}$. Alors, pour tout $x \in ]1~;~+\infty[,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{1}{2\sqrt{\frac1x}}$ \item $\dfrac{1}{2\sqrt{\ln (x)}}$ \item $\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln (x)}}$ \item $-\dfrac{1}{2\sqrt{\ln (x)}}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \dfrac{\ln (1 - x)}{\ln (2 - x)}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $]1~;~+\infty[$ \item $]2~;~+\infty[$ \item $]-\infty~;~2[$ \item $]-\infty~;~1[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite réelle convergeant vers $-1$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $u_n - 1 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$ \item $\left|u_n - 1\right|\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$ \item $\left|u_n\right| \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 1$ \item $\left(u_n\right)$ est bornée \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(n,\:p)$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $E(X) = np$ \item $E(X) = \dfrac np$ \item $V(X) = n(1- p)$ \item $V(X) = np(1- p)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une solution de l'équation différentielle $y' - y = x - 3$ : \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \e^x + x - 3$ \item $x \longmapsto x - 3$ \item $x \longmapsto 2 - x$ \item $x \longmapsto \e^x$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = 2u_n + 3$. Alors la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in N$ par $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison 2 si \medskip \begin{enumerate} \item $\ell = 1$ \item $\ell =-3$ \item $\ell = 2$ \item $\ell = 3$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = - 4x^3 + 6x^2 + 8$. La primitive de $f$ sur $\R$ qui vaut 2 en 0 est \medskip \begin{enumerate} \item $- 16x^4 + 18x^3 + 8x + 1$ \item $- x^4 + 2x^3 + 8x + 10$ \item $- x^4 + 2x^3 + 8x + 2$ \item $- x^4 + 2x^3 + 8x$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la droite $d$ de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ passant par A(2~;~1~;~0) et la droite $d'$ de vecteur directeur $\vect{v}\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}$ passant par B(1~;~-2~;~2). Alors $d$ et $d'$ sont sécantes de point d'intersection : \medskip \begin{enumerate} \item M$(1~;~-1~;~2)$ \item M$(1~;~1~;~-2)$ \item M(3~;~0~;~3) \item M$(2~;~1~;~-3)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{1 - \ln (x)}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R^*_+$ \item $]\e~;~+\infty[$ \item $]1~;~+\infty[$ \item $]-\infty~;~\text{e}]$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \dfrac{x^2- 3x- 2}{x^2 - 3x + 2}$. Alors pour tout $x \in ]2~;~+\infty[, \:f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 1 \item $\dfrac{-6x^2 + 6x - 9}{\left(x^2 - 3x + 2\right)^2}$ \item $\dfrac{-6x^2 - 3x + 5}{\left(x^2 - 3x + 2\right)^2}$ \item $\dfrac{4(2x - 3)}{\left(x^2 - 3x + 2\right)^2}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de $t \longmapsto \dfrac{3t}{\sqrt{t^2 + 1}}$ sur $\R$ est \medskip \begin{enumerate} \item $t \longmapsto 3\sqrt{t^2 + 1}$ \item $t \longmapsto \dfrac32 \sqrt{t^2 + 1}$ \item $t \longmapsto 3t\sqrt{t^2 + 1}$ \item $t \longmapsto -3\sqrt{t^2 + 1}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par la donnée de $u_0$ et, pour tout $n \in \N^*,\: u_n = 3u_{n-1} + 1$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = u_n + 1$ est géométrique \item la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = u_n - 1$ est géométrique \item pour tout $n \in \N$,\: $u_n =3^n u_0$. \item la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = u_n - \dfrac12$ est géométrique \item la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = u_n + \dfrac12$ est géométrique \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x - \sqrt x}{3 - \ln x}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item $+\infty$ \item $-\infty$ \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient $A$ et $B$ deux évènements quelconques de probabilités non nulles. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $P_A(B) = P_B(A)$ \item $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)P(A)}{P(B)}$ \item $P(A \cap B) = P_B(A) P(B)$ \item $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)P(B)}{P(A)}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{x - 2}}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R_+^*$ \item $]2~;~+\infty[$ \item $\R$ \item $\emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de $x \longmapsto \e^{x^2}$ sur $\R$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \e^{x^2}$ \item $x \longmapsto 2\e^{x^2}$ \item $x \longmapsto 2x\e^{x^2}$ \item $x \longmapsto \e^{\frac{x^3}{3}}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \item Soit $f : x \longmapsto x \ln (x) + x$. Alors, pour tout $x \in \R, \:f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $ \ln(x)$ \item $- \ln(x)$ \item $\ln(x) + 2$ \item $\dfrac 1x + 1$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \item Une équation cartésienne du plan P contenant A$(1~;~2~;~-1)$ et de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ \medskip \begin{enumerate} \item $-x +y + 2z - 1 = 0$ \item $x- y- 2z + 1 = 0$ \item $3y - z = 0$ \item $-x + y + 2z + 1 = 0$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 1$ et $u_2 = 9$. Alors la raison de $\left(u_n\right)$ est \medskip \begin{enumerate} \item 9 \item 3 \item 4 \item 6 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item On tire avec remise 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit $X$ le nombre de rois obtenus. Alors la loi de $X$ est \medskip \begin{enumerate} \item Une loi binomiale de paramètres $\left(5~;~\dfrac14\right)$ \item Une loi binomiale de paramètres $\left(5~;~\dfrac18\right)$ \item Une loi binomiale de paramètres $\left(5~;~\dfrac12\right)$ \item Une loi binomiale de paramètres $\left(5~;~\dfrac{1}{16}\right)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Les solutions de l'équation différentielle $y' + y = 0$ sur $\R$ sont les fonctions \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto k\e^{-x}$ où $k \in \R$ \item $x \longmapsto k\e^x$ où $k \in \R$ \item $x \longmapsto kx$ où $k \in \R$ \item $x \longmapsto k + x$ où $k \in \R$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\mathcal{D}$ le domaine de définition de la fonction $f : x \longmapsto \dfrac{1}{x \ln (x) \ln[\ln(x)]}$. Une primitive de $f$ sur $\mathcal{D}$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x\longmapsto \ln[x\ln (x)]$ \item $x f\longmapsto \ln([\ln(\ln(x)])$ \item $x \longmapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$ \item $x \longmapsto \dfrac{\ln[\ln (x)]}{x}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln \left(\dfrac{1-x}{2 - x}\right)$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $]1~;~+\infty[$ \item $]2~;~+\infty[$ \item ]1~;~2[ \item $\R_+^*$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5 = - 13$ et $u_9 = -25$. Alors $u_3$ est égal à \medskip \begin{enumerate} \item $-12$ \item $\dfrac{-22}{3}$ \item $-14$ \item $-7$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Soit $f : x \longmapsto \dfrac{1}{\left(x^2 + 2\right)^4}$. Alors, pour tout $x \in \R,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $- \dfrac{4}{\left(x^2 + 2\right)^5}$ \item $- \dfrac{8x}{\left(x^2 + 2\right)^3}$ \item $- \dfrac{4x}{\left(x^2 + 2\right)^5}$ \item $- \dfrac{8x}{\left(x^2 + 2\right)^5}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient A, B et C trois évènements quelconques. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $P(A \cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)$ \item $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ \item $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C)$ \item $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln \left(\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x + 1}\right)$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $]-1~;~1[ \cup ]2~;~+\infty[$ \item $\R\backslash \{- 1\}$ \item $]-\infty~;~1[\cup ]2~;~+\infty[$ \item $\R^*_+$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x^2 - x + 7}{3 - 2x + 5x^3}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item $\dfrac15$ \item $+\infty$ \item $1$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Soit $f : x \longmapsto \e ^{\cos(\cos(x))}$. Alors $f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $2\cos (x)\e^{\cos(\cos (x))}$ \item $- 2 \cos (x)\sin (x)\e^{\cos(\cos (x))}$ \item $\cos(\cos (x))\e^{\cos(\cos (x))}$ \item $- \sin(\cos (x))\sin (x)\e^{\cos[\cos (x)]}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites réelles telles que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant v_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Si $\left(v_n\right)$ est croissante, $\left(u_n\right)$ est majorée \item Si $\left(v_n\right)$ est décroissante, $\left(u_n\right)$ est minorée \item Si $\left(v_n\right)$ converge, $\left(u_n\right)$ converge \item Si $\left(v_n\right)$ est bornée, $\left(u_n\right)$ est bornée \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, soit $d$ la droite de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=& 2 - 3t\\ y&=& 1 - t\\ z&=& 1 + 2t \end{array}\right.\:\: t \in \R.\] Alors un vecteur directeur de $d$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}} \textbf{a.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix}$& \textbf{b.~} $\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1 \end{pmatrix}$& \textbf{c.~} $\begin{pmatrix}3\\1\\-2 \end{pmatrix}$& \textbf{d.~} $\begin{pmatrix}-3\\-1\\2 \end{pmatrix}$& \textbf{e.~} rien de ce qui précède\\ \end{tabularx} \medskip \item Le domaine de définition de $x \longmapsto \ln\left(x^2 + x + 2\right)$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R$ \item $]0~;~+\infty[$ \item $]-\infty~;~-1[ \cup ]2~;~+\infty[$ \item $]-1~;~2[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison 3 telle que $u_0 = 2$. Alors $u_4 + \ldots+ u_7$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 111 \item 74 \item 98 \item 100 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\sqrt{x^2+ 2x} - \sqrt{x^2 + 3}\right)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item $+\infty$ \item $-\infty$ \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item On tire dans un jeu de 32 cartes une main de 5 cartes (on rappelle que dans une main, l'ordre des cartes ne compte pas). Alors le nombre de mains contenant exactement 1~as est \medskip \begin{enumerate} \item $\binom{4}{1} + \binom{28}{4}$ \item $\dfrac{\binom{4}{1} \times \binom{28}{1}}{\binom{32}{5}}$ \item $\binom{4}{1} \times \binom{28}{4}$ \item $\dfrac{\binom{4}{1} + \binom{28}{4}}{\binom{32}{5}}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(1~;~-1~;~2)$ et B$(2~;~1~;~-1)$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item C$(3~;~2~;~-1) \in $ (AB) \item C$(3~;~3~;~-4) \in $ (AB) \item C$(3~;~ - 4~;~3) \in $ (AB) \item C(3~;~0~;~1) $\in $ (AB) \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \item \medskip \begin{enumerate} \item Toute suite arithmétique (non constante) diverge. \item Toute suite géométrique converge. \item Toute suite géométrique de raison $q$ converge si $q > 1$. \item Toute suite géométrique de raison $q$ converge si $0 \leqslant q \leqslant 1$. \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln \left(\e^x + 1 \right)$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R$ \item $\R_+^*$ \item $\emptyset$ \item $\R_+$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto x \sin (2x)$. Alors pour tout $x \in \R,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\sin (2x) - 2x \cos (2x)$ \item $\sin (2x) +x \cos (2x)$ \item $\sin (2x) - x \cos (2x)$ \item $\sin (2x) + 2x^2 \cos (2x)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N^*,\: u_n = 2u_{n-1} + 1$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item pour tout $n \in \N,\: u_n = 2^nu_0$ \item pour tout $n \in \N,\: u_n = 2^{n - 1}u_0$ \item la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = u_n + 1$ est géométrique \item la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = u_n - 1$ est géométrique \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\ln (x) - 3x^2 + 5\right)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $-\infty$ \item $+\infty$ \item 0 \item 3 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto x^2 + \e^{-x} - \ln (x)$. Alors, pour tout $x \in \R,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $2+ \e^{-x} - \dfrac 1x$ \item $2 - \e^{-x} - \dfrac 1x$ \item $2x - \e^{-x} + \dfrac 1x$ \item $2x - \e^{-x} + \dfrac{1}{x^2}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $E = \{a~;~b~;~c~;~d~;~e~;~f\}$. Alors le nombre de sous-ensembles de $E$ contenant 3~éléments est \medskip \begin{enumerate} \item $6^3$ \item $3^6$ \item 18 \item $\binom{6}{3}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de $\dfrac{1}{(u + 1)^2}$ sur $]- 1~;~+ \infty[$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\ln (u + 1)$ \item $\ln ^2(u + 1)$ \item $\dfrac{1}{u + 1}$ \item $- \dfrac{1}{u + 1}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite réelle. \medskip \begin{enumerate} \item Si $\left(u_n\right)$ est convergente alors $\left(u_n\right)$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs \item Si $\left(u_n\right)$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs, alors elle est convergente \item Si pour tout $n \in \N,\: 0 \leqslant u_n \leqslant 1$, alors $\left(u_n\right)$ converge \item Si pour tout $n \in \N, \: u_n - 1 \leqslant \e^{-n}$ alors $\left(u_n\right)$ converge vers 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x^2 - x + 1}{1 - x}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $+ \infty$ \item $0$ \item $- \infty$ \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln [\ln (x)]$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R_+^*$ \item $\emptyset$ \item $]\e~;~+\infty[$ \item $]1~;~+\infty[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Dans un repère orthonormé de l'espace, une équation cartésienne du plan $P$ passant par A$(1~;~ - 1~;~2)$ et est perpendiculaire à la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 - t\\ y&=&\phantom{1 - }2t\\ z&=&3 + t \end{array}\right.\: t \in \R$ \quad est \medskip \begin{enumerate} \item $x - 3z + 2 = 0$ \item $- x +2y + z + 1 = 0$ \item $x - y + 2z + 1 = 0$ \item $x - 2y - z + 2 = 0$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de $\dfrac{\e^x}{x}$ sur $\R_+^*$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\ln \left(\e^x\right)$ \item $\e^x \ln x$ \item $\e^{\ln x}$ \item $\ln \left(\dfrac{x}{\e^x}\right)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \e^{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R$ \item $[1~;~2]$ \item $]-\infty~;~1] \cup [2~;~+\infty[$ \item $\emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_{50} = 7$ et, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = u_n +2$. Alors $u_{100}$ vaut \medskip \begin{enumerate} \item 207 \item 107 \item 307 \item 57 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in \R$ par $f(x) = \dfrac{\e^x}{1 + \e^x}$. Alors pour tout $x \in \R,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{2\e^{2x} + \e^x}{\left(1 + \e^x\right)^2}$ \item $\dfrac{1}{\left(1 + \e^x\right)^2}$ \item $\dfrac{\e^x}{\left(1 + \e^x\right)^2}$ \item $- \dfrac{\e^{2x}}{\left(1 + \e^x\right)^2}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \dfrac 1x$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item la fonction $x \longmapsto \ln (\e x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R_+^*$. \item la fonction $x \longmapsto \e + \ln (x)$ est une primitive de $f$ sur $\R_+^*$ \item la fonction $x \longmapsto \e - \ln \left(\dfrac 1x \right)$ est une primitive de $f$ sur $\R_+^*$ \item la fonction $x \longmapsto \ln(x)$ est une primitive de $f$ sur $\R_+^*$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item On suppose que si on choisit au hasard un individu dans la population française, la probabilité que cette personne soit gauchère est 0,10. On observe sur une journée un groupe de 256 candidats du concours Advance. On note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de gauchers dans cette échantillon. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $P(N = 200) = \binom{200}{256}(0,10)^{256}(1 - 0,10)^{56}$ \item $P(N = 200) = \binom{256}{200}(0,10)^{256}(1 - 0,10)^{56}$ \item $P(N = 200) = \binom{256}{200}(0,10)^{200}(1 - 0,10)^{56}$ \item $P(N = 200) = \binom{200}{256}(0,10)^{200}(1 - 0,10)^{56}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln \left(\dfrac{x^2 - 3x +2}{x + 1}\right) \sqrt{\e^x - 1}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $\R_+$ \item $\R_+^*$ \item $[0~;~1[ \cup ]2~;~+\infty[$ \item $]-\infty~;~1[ \cup ]2~;~+\infty[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique. Alors $u_5 + \ldots + u_n$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{(n - 4)\left(u_5 +u_n\right)}{2}$ \item $\dfrac{(n - 5)\left(u_5 +u_n\right)}{2}$ \item $\dfrac{(n - 6)\left(u_5 +u_n\right)}{2}$ \item $\dfrac{u_5 + u_{n}}{ 2}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(1~;~ - 1,~;~2)$ et B$(2~;~1~;~-1)$. Alors une équation cartésienne du plan orthogonal à la droite (AB) passant par C$(3~;~3~;~- 4)$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x + 2y - 3z + 21 = 0$ \item $x + 2y - 3z + 15 = 0$ \item $x + 2y - 3z - 15 = 0$ \item $x + 2y - 3z - 1 = 0$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Quand $x$ tend vers $0,\: x \cos \left(\dfrac 1x \right)$ \medskip \begin{enumerate} \item n'a pas de limite \item tend vers 0 \item tend vers 1 \item tend vers $+\infty$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \left(\e^x\right)^2$. Alors, pour tout $x \in \R, f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $2x\e^{x^2}$ \item $\e^{2x}$ \item $2\e^{x}$ \item $2\e^{2x}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Une primitive de $x \longmapsto \tan (x)$ sur $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$, est \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto - \ln [\cos(x)]$ \item $x \longmapsto 1+ \tan^2 (x)$ \item $x \longmapsto \dfrac{1}{\cos^2 (x)}$ \item $x \longmapsto \ln [\sin (x)]$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{x^2 - x - 2}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $[-1~;~2]$ \item $[-2~;~1]$ \item $]-\infty~;~-1] \cup [2~;~+\infty[$ \item $]-\infty~;~-2] \cup [1~;~+\infty[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Le nombre de façons de tirer simultanément 3 cartes parmi 5 est \medskip \begin{enumerate} \item 60 \item 6 \item 10 \item 24 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique à termes positifs telle que $u_0 = 1$ et $u_2 = 16$. Alors \medskip \medskip \begin{enumerate} \item la raison de $\left(u_n\right)$ est 16 \item la raison de $\left(u_n\right)$ est 4 \item la raison de $\left(u_n\right)$ est 8 \item aucune suite géométrique ne vérifie ces conditions \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(1~;~ -1~;~2)$, B(2~;~0~;~1) et C(0~;~1~;~1). Alors une équation cartésienne du plan (ABC) est \medskip \begin{enumerate} \item $x - y+ 3z - 1 = 0$ \item $x - 2y + z- 7 = 0$ \item $x - 3y - z + 2 = 0$ \item $x + 2y + 3z - 5 = 0$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f: x \longmapsto \sqrt{1 - \e^x}$. Alors, pour tout $x \in \R_-^*, \:f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{1}{2\sqrt{1 - \e^x}}$ \item $\dfrac{1 - \e^x}{2\sqrt{1 - \e^x}}$ \item $\dfrac{\e^x}{2\sqrt{1 - \e^x}}$ \item $\dfrac{\e^x}{1 - \e^x}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $F$ une primitive d'une fonction dérivable $f$ sur un intervalle $I$ de $\R$. Alors une primitive de $f'$ est \medskip \begin{enumerate} \item $f + 42$ \item $\dfrac12 f^2$ \item $fF$ \item $F$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{\dfrac{x - 1}{x - 2}}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $[1~;~2]$ \item $\R$ \item $[1~;~2[$ \item $]-\infty~;~1] \cup ]2~;~+\infty[$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite réelle convergeant vers $\ell \in \R$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $\left(u_n - \ell\right)$ converge vers 0 \item $\left(\left|u_n - \ell\right|\right)$ converge vers 0 \item $\left(\left|u_n\right| - \left|\ell\right|\right)$ converge vers 0 \item $\left(u_n\right)$ est bornée \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{6x^3 - x + 2}{3x^2 + \ln (x) - 1}$ \medskip \begin{enumerate} \item 2 \item $+\infty$ \item 0 \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto x^2\ln (x)$. Alors, pour tout $x \in \R_+^*,\:f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac 2x$ \item $2x + \dfrac 1x$ \item $2x \ln (x) + x$ \item $2 + \dfrac 1x$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $X$ une variable aléatoire discrète quelconque. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $E[X - E(X)] = V(X)$ \item $E[X - E(X)] = 0$ \item $E[X - E(X)] = \sqrt{V(X)}$ \item $E[(X - E(X)]^2) = V(X)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme $u_2 = 1$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $u_7 = 15$ \item $u_7 = 13$ \item $u_7 = 11$ \item $u_7 = 17$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un univers $\Omega$, on dit que $\left(A_1, \ldots , A_n\right)$ est un système complet d'évènements si \medskip \begin{enumerate} \item $A_1 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$ et pour tout $i\ne j,\: A_i \cap A_j = \emptyset$ \item $A_1 \cap \ldots \cap A_n \ne \{0\}$ et pour tout $i\ne j,\: A_i \cup A_j \ne \emptyset$ \item $A_1 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$ et pour tout $i\ne j, A_i \cap A_j \ne \{0\}$ \item $A_1 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$ et pour tout $i\ne j, A_i \cap A_j \ne \emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ sur $\R$ est \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \dfrac{1}{x^2 + 1}$ \item $x \longmapsto \dfrac{2}{x^2 + 1}$ \item $x \longmapsto \dfrac{1}{2\left(x^2 + 1\right)}$ \item $x \longmapsto -\dfrac{1}{x^2 + 1}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison $q$ avec $u_0 = 1$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$ si $q > 1$ \item $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$ si $0 < q < 1$. \item $\left(u_n\right)$ converge vers 0 si $0 < q < 1$. \item $\left(u_n\right)$ converge vers 0 si $q > 1$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \sqrt{\e^{-x}}$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \medskip \begin{enumerate} \item $\R$ \item $\R_+$ \item $\R_+^*$ \item $\emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : \longmapsto x^2\e^x$. Alors, pour tout $x \in \R,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $2x\e^x$ \item $(2 + x)x\e^x$ \item $2x + \e^x$ \item $2\e^x$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item On lance un dé. On note $A$ et $B$ les évènements suivants: $A$ : \og on obtient un numéro pair\fg{} et $B$ : \og on obtient un multiple de 4 \fg. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $A$ et $B$ sont incompatibles \item $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles \item $A$ et $B$ sont indépendants \item $A$ et $B$ ne sont pas indépendants \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x}{1 + \e^{-x}}$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $-\infty$ \item $+\infty$ \item 0 \item 1 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Dans un repère orthonormé de l'espace, soient $P_1$ et $P_2$ deux plans d'équations respectives \begin{center}$x - y + 2z - 3 = 0$\quad et \quad $x + 2y - z = 0$.\end{center} Alors une représentation paramétrique de la droite $d$, intersection des plans $P_1$ et $P_2$, est \medskip \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1 - t\\ y&=&- 1 + t\\ z&=&\phantom{-}2 + t \end{array}\right.\:t \in \R$ \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& 1 - t\\ y&=& 1 + t\\ z&=& 2 + t \end{array}\right.\:t \in \R$ \item $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{-}2 - t\\ y&=&- 1 + t\\ z&=&-t \end{array}\right.\:t \in \R$ \item $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1 - t\\ y&=&- 2 + t\\ z&=&- 1 + 2t \end{array}\right.\:t \in \R$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_{10} = 42$ et, pour tout $n \in \N, \: u_{n+1} = 42u_n$. Alors $u_{\np{1000}}$ vaut \medskip \begin{enumerate} \item $42^{991}$ \item $42^{\np{1010}}$ \item $42^{\np{1011}}$ \item $10 \times 42^{990}$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \newpage \item Quand $x$ tend vers $+\infty$,\: $\dfrac{\sin x}{x^2}$ \medskip \begin{enumerate} \item tend vers 1 \item n'a pas de limite \item tend vers $+\infty$ \item tend vers 0 \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Une primitive de $x \longmapsto \dfrac{1}{x \ln (x)}$ sur $]1~;~+\infty[$ est \medskip \begin{enumerate} \item $ \longmapsto \ln[\ln (x)]$ \item $ \longmapsto \ln[x \ln (x)]$ \item $ \longmapsto \dfrac14\ln[x^2\ln^2 (x)]$ \item $ \longmapsto \ln \left(\dfrac{x}{\ln (x)}\right)$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite réelle définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = u_n + n$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $\left(u_n\right)$ est géométrique \item $\left(u_n\right)$ est arithmétique \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ \item $\left(u_n\right)$ est croissante \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \ln \left(\left|x^2 - 1\right|\right)$. Alors le domaine de définition de $f$ est \medskip \begin{enumerate} \item $] -1~;~1[$ \item $\R$ \item $]-\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$ \item $\emptyset$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soit $f : x \longmapsto \e^{- 2x}$. Alors, pour tout $x \in \R,\: f'(x)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item $\e^{-x^2}$ \item $-2x\e^{-2x}$ \item $\e^{-2x}$ \item $-2\e^x$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item Soient $A$ un évènement et $\left(B_1, B_2, B_3\right)$ un système complet d'évènements d'un univers $\Omega$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item $P(A) = P\left(A \cap B_1\right)P\left(B_1\right) + P\left(A \cap B_2\right)P\left(B_2\right) + P\left(A \cap B_3\right)P\left(B_3\right)$ \item $P(A) = P_{B_1}(A)P\left(B_1\right) + P_{B_2}(A)P\left(B_2\right) + P_{B_3}(A)P\left(B_3\right)$ \item $P(A) = P\left(A \cup B_1\right)P\left(B_1\right) + P\left(A \cup B_2\right)P\left(B_2\right) + P\left(A \cup B_3\right)P\left(B_3\right)$ \item $P(A) = P\left(A \cup B_1\right) + P\left(A \cup B_2\right) + P\left(A \cup B_3\right)$ \item $P(A) = P\left(A \cap B_1\right) + P\left(A \cap B_2\right) + P\left(A \cap B_3\right)$ \end{enumerate} \medskip \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\sqrt{x^2 - x+ 2} - 2x\right)$ est égale à \medskip \begin{enumerate} \item 0 \item $+\infty$ \item $-\infty$ \item $-1$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \medskip \item \medskip \begin{enumerate} \item Toute suite réelle croissante et minorée tend vers $+\infty$ \item Toute suite réelle croissante et bornée converge \item Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ \item Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers $+\infty$ \item rien de ce qui précède \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}