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%Tapuscrit : François Hache
\usepackage{pst-all,pst-func,pst-eucl}%             PsTricks
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{(\theenumii)}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}

\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}\\

\medskip

3 mai 2014 -- Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\medskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Questions obligatoires}
\end{center}

\medskip

\hrulefill

\begin{enumerate}
\item À l'auberge \og l'hirondelle heureuse \fg{}, le prix de la fricassée de moustiques coûte 2~becos en 2012. En 2013 le prix de la fricassée a baissé de 30\,\%, puis a augmenté de 50\,\% l'année suivante. Depuis 2010, tout client ayant une carte de fidélité a une réduction de 10\,\% sur la fricassée et tout client ayant une carte bonus a une fricassée gratuite pour 10 achetées.

Alors:
\begin{enumerate}
 \item En 2013, la fricassée coûte $0,60$~becos.
 \item Entre 2012 et 2014, le prix de la fricassée a augmenté de 20\,\%.
 \item  Un client ayant une carte de fidélité depuis 2010 paye sa fricassée en 2014 au même prix qu'en 2012.
 \item En 2014, la fricassée coûte $2,10$~becos.
 \item En 2014, il est financièrement plus intéressant d'avoir une carte bonus qu'une carte de fidélité lorsqu'on achète 11 fricassées par an.
 \end{enumerate} 
 
\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
 \item 
 \begin{enumerate}
 \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x\right )}{x}=1$
  \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x^2\right )}{x}=0$
 \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x^2\right )}{x^2}=1$
 \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x\right )}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
 \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x^2\right )}{\ln\left (1+x\right )}=1$
 \end{enumerate}

%\bigskip
\newpage

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
 \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont le tableau de variations est:
 
 \begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \esp & 0 & \esp & 2 & \esp & +\infty \\
 \hline
%f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &  &  & \Rnode{max1}{4} & & & &  \Rnode{max2}{5} \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{-1} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

 \begin{enumerate}
 \item $f(4)=0$
 \item Pour tout $x$ de $\R$, $f(x) \leqslant 5$.
 \item L'équation $f(x)=0$ admet exactement 2 solutions.
 \item L'équation $f(x)=4$ admet exactement 2 solutions.
 \item Les données ne permettent pas de connaître le signe de $f(1) f(3)$.
 \end{enumerate}

\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left ]-3~;\, 3\strut\right [$ par $f(x)=\ln\left (\dfrac{3-x}{3+x}\right )$.

Alors:

\begin{enumerate}
\item $f(0)=0$
\item Pour tout $x \in \left ]-3~;\, 3\strut\right [$, $f(-x)=-f(x)$.
\item Pour tout $x \in \left ]-3~;\, 3\strut\right [$, $f'(x)= \dfrac{1}{3-x} - \dfrac{1}{3+x}$.
\item $f$ est croissante sur $\left ]0~;\, 3\strut\right [$.
\item $f$ est décroissante sur $\left ]-3~;\, 0\strut\right [$.
\end{enumerate}

\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-2x}$.

Alors:

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $\R$, $f'(x)+2f(x)=\e^{-2x}$
\item $\ds\int_{0}^{1}-\e^{-2x} \d x = \e^{-2}-1$
\item $\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \left [f(0)-f(1) + \ds\int_{0}^{1}\e^{-2x} \d x \right ]$
\item $\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = \dfrac{1-2\e^{-2}}{2}$
\item $\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \ds\int_{0}^{1}\e^{-2x} \d x$
\end{enumerate}

\newpage
%\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>1$ et de premeir terme $u_1=2$.

Pour tout $n\in \N^{*}$, on pose $S_n = u_1+u_2+ \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$.

Alors:

\begin{enumerate}
\item $u_{16} = q^{10} u_6$
\item $u_5 u_7 = u_3 u_9$
\item Si $q=2$ alors $S_3 = 14$.
\item Pour tout $n\in \N^{*}$, $S_n$ est un entier naturel pair.
\item Pour tout $n\in \N^{*}$, $S_{2n}= \left (1+q^n\right ) S_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{\Large Questions à choisir}\\
\textbf{(6 questions à choisir parmi les suivantes)}
\end{center}

\bigskip

\hrulefill
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item Soit $m\in\R$ et $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par $f_m(x)=x^2+2mx +9$.
\begin{enumerate}
\item $f_5(x)=\left (x+1\right )\left (x+9\right )$
\item Pour tout $m\in\R$, la courbe de $f_m$ passe par le point I\,$(0~;\, 9)$.
\item Pour tout $m\in\R$, pour tout $x\in\R$, $f_m(x)\geqslant 0$.
\item Pour tout $m\in\R$, l'équation $f'(x)=0$ admet une seule solution.
\item Pour tout $m\in\R$, pour tout $x\in\R$, $f_{m+1}(x) \geqslant f_m(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item Soit $f$ une fonction continue sur $\R$, de valeur moyenne 4 sur $\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$.

Alors on peut affirmer que:

\begin{enumerate}
\item $\ds\int_{-2}^{2} f(x) \d x = 2$
\item Pour tout $x\in\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$, $f(x)\geqslant 0$.
\item $f$ n'est pas une fonction impaire.
\item Il existe $\alpha \in\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$, $f(\alpha)=4$.
\item La valeur moyenne de $f^2$ $\left (f^2\;:\; x \longmapsto f(x)^2\rule[-5pt]{0pt}{15pt}\right )$ sur $\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$ est 16.
\end{enumerate}

\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$ par $f(x)=x^3-3x+2$.

Alors:

\begin{enumerate}
\item $f$ est croissante sur $\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$.
\item Pour tout $x\in\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$, $f(x)\geqslant0$.
\item Pour tout $\alpha \in \left [ 0~;\, 4\strut\right ]$, l'équation $f(x)=\alpha$ admet une unique solution sur $\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$.
\item Pour tout $x\in\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$, si $f(x) \leqslant 2$ alors $x \leqslant 0$.
\item Pour tout $x\in\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$, si $x \geqslant -\dfrac{1}{2}$ alors $f(x) \leqslant \dfrac{27}{8}$.
\end{enumerate}

\newpage
%\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item On appelle octet une liste de 8 éléments pris dans l'ensemble $\left \lbrace 0\,,\,1\strut \right \rbrace$ (exemple d'octet: 00110011).

Alors il y a:

\begin{enumerate}
\item $\ds\binom{4}{2}$ octets se terminant par 1000
\item $2^5$ octets se terminant par 100
\item $\ds\binom{5}{2}$ octets commençant par 100
\item $\left ( 5\,!\vphantom{2^5}\right ) \left (2^5 \right )$ octets contenant 100 (remarque: 10101111 ne contient pas 100)
\item $4\,!$ octets contenant exactement quatre 0
\end{enumerate}

%\newpage
\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item Dans un jeu, on lance une bille dans un appareil comportant 6 portes de sortie numérotées de 1 à 6. La probabilité que la bille sorte par la porte 2 est $1/6$.

La règle du jeu est: un joueur mise 1~\euro{}, il reçoit 3~\euro{} si la bille sort par la porte 2, sinon il ne reçoit rien.

Yves fait 6 parties consécutives. $X$ est la variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées par Yves.

Alors:

\begin{enumerate}
\item $P(X=2)=\dfrac{1}{3}$
\item $P(X\geqslant 1) = 1- \left (\dfrac{5}{6}\right )^{5}$
\item La probabilité qu'Yves ne perde pas d'argent est $P(X\geqslant 2)$.
\item Yves peut gagner au plus 12~\euro.
\item La probabilité qu'Yves gagne de l'argent est égale à celle qu'il en perde.
\end{enumerate}

\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item 
Dans le repère \Oijk, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-y+2z-4=0$ et $\Delta$ la droite passant par I\,$(1~;\, 1~;\, b)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\,(-1~;\, a~;\, 1)$ où $a$ et $b$ sont des réels.

Alors:

\begin{enumerate}
\item Si $a\neq 1$ alors pour tout $b\in\R$ l'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ est un point.
\item Si $b=2$ alors pour tout $a\in\R$ l'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ est un point.
\item Si $b\neq 2$ alors pour tout $a\in\R$ $\Delta \cap \mathcal{P} = \emptyset$
\item Si $a=1$ et $b=2$ alors $\Delta \cap \mathcal{P} = \emptyset$
\item Si $a=1$ et $b\neq 2$ alors $\Delta \cap \mathcal{P} = \emptyset$
\end{enumerate}

\newpage

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item 
Pour tout nombre complexe $z$,

\begin{enumerate}
\item $\left | z^2+1\strut\right | \geqslant \left | z+1\strut\right |$
\item $\left | z+1\strut\right | \geqslant \left | z - 2\strut\right |$
\item Si $\left | z+1\strut\right | =2$ alors il existe $\theta \in \left [ 0~;\, 2\pi\strut \right [$, $z=\e^{\i\theta}+1$
\item S'il existe $\theta \in \left [ 0~;\, 2\pi\strut \right [$, $z=-5\e^{\i\theta}+1$ alors $\left |z\strut\right |=4$.
\item Si $\left |z\strut\right |=2$ alors $\left |z-1\strut\right |=1$
\end{enumerate}

\bigskip

\setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt}
 
\item 
\newcommand{\cartea}{%
\scalebox{0.1}{%
\fbox{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchsep=20pt](3;0)(1.5;36)(3;72)(1.5;108)(3;144)(1.5;180)(3;216)(1.5;252)(3;288)(1.5;324)(3;0)
%\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\end{pspicture}
}}}

\newcommand{\carteb}{%
\scalebox{0.1}{%
\fbox{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,-3)(1.5,-1.5)(-1.5,1.5)(-3,0)(0,-3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,-1.5)(3,0)(0,3)(-1.5,1.5)(1.5,-1.5)
%\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\end{pspicture}}}}

\newcommand{\cartec}{%
\scalebox{0.1}{%
\fbox{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch,hatchsep=20pt](3;18)(3;90)(3;162)(3;234)(3;306)(3;18)
%\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\end{pspicture}}}}

\newcommand{\carted}{
\scalebox{0.1}{
\fbox{
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm, runit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0){3}
\pscircle[fillstyle=solid,linecolor=white,fillcolor=white](0,4.5){3}
\pscircle(0,0){3}
%\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
\end{pspicture*}}}}

On dispose de 4 cartes

\begin{center}
\cartea \quad \carteb \quad \cartec \quad \carted
\end{center}

Chaque carte vaut un nombre entier strictement positif de points. On donne ci-dessous la somme des points des 3 cartes:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccc}
\cartea \; \carteb\; \cartec && \cartea\; \carteb\; \carted && \cartea\; \cartec\; \carted && \carteb\; \cartec\; \carted \\
 200 && 150 && 100 && $n$
 \end{tabular}
\end{center}

Alors:

\begin{enumerate}
\item Il est impossible que $n=50$.
\item $n\geqslant150$
\item $n$ est un multiple de 3.
\item Si $n=210$ alors une des cartes vaut 10 points.
\item Si $n=210$ alors une des cartes vaut 30 points.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&A &B &C &D &E\\ \hline
1 	&F &F &F &V &F\\ \hline
2 	&V &V &V &F &F\\ \hline
3 	&F &V &F &V &V\\ \hline
4 	&V &V &F &F &V\\ \hline
5 	&V &V &V &F &F\\ \hline
6 	&V &V &V &F &V\\ \hline
7 	&V &V &F &V &F\\ \hline
8 	&F &F &V &V &F\\ \hline
9 	&F &V &V &F &V\\ \hline
10 	&F &V &F &F &F\\ \hline
11 	&F &V &V &V &F\\ \hline
12 	&V &F &F &F &V\\ \hline
13 	&F &F &F &F	&F\\ \hline
14 	&V &V &V &V &F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}