\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx,graphicx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Hache \usepackage{pst-all,pst-func,pst-eucl}% PsTricks \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{(\theenumii)}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip 3 mai 2014 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \begin{center} \textbf{\Large Questions obligatoires} \end{center} \medskip \hrulefill \begin{enumerate} \item À l'auberge \og l'hirondelle heureuse \fg{}, le prix de la fricassée de moustiques coûte 2~becos en 2012. En 2013 le prix de la fricassée a baissé de 30\,\%, puis a augmenté de 50\,\% l'année suivante. Depuis 2010, tout client ayant une carte de fidélité a une réduction de 10\,\% sur la fricassée et tout client ayant une carte bonus a une fricassée gratuite pour 10 achetées. Alors: \begin{enumerate} \item En 2013, la fricassée coûte $0,60$~becos. \item Entre 2012 et 2014, le prix de la fricassée a augmenté de 20\,\%. \item Un client ayant une carte de fidélité depuis 2010 paye sa fricassée en 2014 au même prix qu'en 2012. \item En 2014, la fricassée coûte $2,10$~becos. \item En 2014, il est financièrement plus intéressant d'avoir une carte bonus qu'une carte de fidélité lorsqu'on achète 11 fricassées par an. \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item \begin{enumerate} \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x\right )}{x}=1$ \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x^2\right )}{x}=0$ \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x^2\right )}{x^2}=1$ \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x\right )}{x^2}=\dfrac{1}{2}$ \item $\ds\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\left (1+x^2\right )}{\ln\left (1+x\right )}=1$ \end{enumerate} %\bigskip \newpage \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont le tableau de variations est: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & -\infty & \esp & 0 & \esp & 2 & \esp & +\infty \\ \hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ %\hline & & & \Rnode{max1}{4} & & & & \Rnode{max2}{5} \\ f (x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\ & \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{-1} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max1} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \begin{enumerate} \item $f(4)=0$ \item Pour tout $x$ de $\R$, $f(x) \leqslant 5$. \item L'équation $f(x)=0$ admet exactement 2 solutions. \item L'équation $f(x)=4$ admet exactement 2 solutions. \item Les données ne permettent pas de connaître le signe de $f(1) f(3)$. \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\left ]-3~;\, 3\strut\right [$ par $f(x)=\ln\left (\dfrac{3-x}{3+x}\right )$. Alors: \begin{enumerate} \item $f(0)=0$ \item Pour tout $x \in \left ]-3~;\, 3\strut\right [$, $f(-x)=-f(x)$. \item Pour tout $x \in \left ]-3~;\, 3\strut\right [$, $f'(x)= \dfrac{1}{3-x} - \dfrac{1}{3+x}$. \item $f$ est croissante sur $\left ]0~;\, 3\strut\right [$. \item $f$ est décroissante sur $\left ]-3~;\, 0\strut\right [$. \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-2x}$. Alors: \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ de $\R$, $f'(x)+2f(x)=\e^{-2x}$ \item $\ds\int_{0}^{1}-\e^{-2x} \d x = \e^{-2}-1$ \item $\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \left [f(0)-f(1) + \ds\int_{0}^{1}\e^{-2x} \d x \right ]$ \item $\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = \dfrac{1-2\e^{-2}}{2}$ \item $\ds\int_{0}^{1} f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \ds\int_{0}^{1}\e^{-2x} \d x$ \end{enumerate} \newpage %\bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>1$ et de premeir terme $u_1=2$. Pour tout $n\in \N^{*}$, on pose $S_n = u_1+u_2+ \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$. Alors: \begin{enumerate} \item $u_{16} = q^{10} u_6$ \item $u_5 u_7 = u_3 u_9$ \item Si $q=2$ alors $S_3 = 14$. \item Pour tout $n\in \N^{*}$, $S_n$ est un entier naturel pair. \item Pour tout $n\in \N^{*}$, $S_{2n}= \left (1+q^n\right ) S_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \begin{center} \textbf{\Large Questions à choisir}\\ \textbf{(6 questions à choisir parmi les suivantes)} \end{center} \bigskip \hrulefill \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6} \item Soit $m\in\R$ et $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par $f_m(x)=x^2+2mx +9$. \begin{enumerate} \item $f_5(x)=\left (x+1\right )\left (x+9\right )$ \item Pour tout $m\in\R$, la courbe de $f_m$ passe par le point I\,$(0~;\, 9)$. \item Pour tout $m\in\R$, pour tout $x\in\R$, $f_m(x)\geqslant 0$. \item Pour tout $m\in\R$, l'équation $f'(x)=0$ admet une seule solution. \item Pour tout $m\in\R$, pour tout $x\in\R$, $f_{m+1}(x) \geqslant f_m(x)$. \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Soit $f$ une fonction continue sur $\R$, de valeur moyenne 4 sur $\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$. Alors on peut affirmer que: \begin{enumerate} \item $\ds\int_{-2}^{2} f(x) \d x = 2$ \item Pour tout $x\in\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$, $f(x)\geqslant 0$. \item $f$ n'est pas une fonction impaire. \item Il existe $\alpha \in\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$, $f(\alpha)=4$. \item La valeur moyenne de $f^2$ $\left (f^2\;:\; x \longmapsto f(x)^2\rule[-5pt]{0pt}{15pt}\right )$ sur $\left [ -2~;\, 2\strut\right ]$ est 16. \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$ par $f(x)=x^3-3x+2$. Alors: \begin{enumerate} \item $f$ est croissante sur $\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$. \item Pour tout $x\in\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$, $f(x)\geqslant0$. \item Pour tout $\alpha \in \left [ 0~;\, 4\strut\right ]$, l'équation $f(x)=\alpha$ admet une unique solution sur $\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$. \item Pour tout $x\in\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$, si $f(x) \leqslant 2$ alors $x \leqslant 0$. \item Pour tout $x\in\left [ -1~;\, 1\strut\right ]$, si $x \geqslant -\dfrac{1}{2}$ alors $f(x) \leqslant \dfrac{27}{8}$. \end{enumerate} \newpage %\bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item On appelle octet une liste de 8 éléments pris dans l'ensemble $\left \lbrace 0\,,\,1\strut \right \rbrace$ (exemple d'octet: 00110011). Alors il y a: \begin{enumerate} \item $\ds\binom{4}{2}$ octets se terminant par 1000 \item $2^5$ octets se terminant par 100 \item $\ds\binom{5}{2}$ octets commençant par 100 \item $\left ( 5\,!\vphantom{2^5}\right ) \left (2^5 \right )$ octets contenant 100 (remarque: 10101111 ne contient pas 100) \item $4\,!$ octets contenant exactement quatre 0 \end{enumerate} %\newpage \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Dans un jeu, on lance une bille dans un appareil comportant 6 portes de sortie numérotées de 1 à 6. La probabilité que la bille sorte par la porte 2 est $1/6$. La règle du jeu est: un joueur mise 1~\euro{}, il reçoit 3~\euro{} si la bille sort par la porte 2, sinon il ne reçoit rien. Yves fait 6 parties consécutives. $X$ est la variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées par Yves. Alors: \begin{enumerate} \item $P(X=2)=\dfrac{1}{3}$ \item $P(X\geqslant 1) = 1- \left (\dfrac{5}{6}\right )^{5}$ \item La probabilité qu'Yves ne perde pas d'argent est $P(X\geqslant 2)$. \item Yves peut gagner au plus 12~\euro. \item La probabilité qu'Yves gagne de l'argent est égale à celle qu'il en perde. \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Dans le repère \Oijk, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-y+2z-4=0$ et $\Delta$ la droite passant par I\,$(1~;\, 1~;\, b)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\,(-1~;\, a~;\, 1)$ où $a$ et $b$ sont des réels. Alors: \begin{enumerate} \item Si $a\neq 1$ alors pour tout $b\in\R$ l'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ est un point. \item Si $b=2$ alors pour tout $a\in\R$ l'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ est un point. \item Si $b\neq 2$ alors pour tout $a\in\R$ $\Delta \cap \mathcal{P} = \emptyset$ \item Si $a=1$ et $b=2$ alors $\Delta \cap \mathcal{P} = \emptyset$ \item Si $a=1$ et $b\neq 2$ alors $\Delta \cap \mathcal{P} = \emptyset$ \end{enumerate} \newpage \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item Pour tout nombre complexe $z$, \begin{enumerate} \item $\left | z^2+1\strut\right | \geqslant \left | z+1\strut\right |$ \item $\left | z+1\strut\right | \geqslant \left | z - 2\strut\right |$ \item Si $\left | z+1\strut\right | =2$ alors il existe $\theta \in \left [ 0~;\, 2\pi\strut \right [$, $z=\e^{\i\theta}+1$ \item S'il existe $\theta \in \left [ 0~;\, 2\pi\strut \right [$, $z=-5\e^{\i\theta}+1$ alors $\left |z\strut\right |=4$. \item Si $\left |z\strut\right |=2$ alors $\left |z-1\strut\right |=1$ \end{enumerate} \bigskip \setlength{\parindent}{-30pt}\hrulefill\setlength{\parindent}{0pt} \item \newcommand{\cartea}{% \scalebox{0.1}{% \fbox{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchsep=20pt](3;0)(1.5;36)(3;72)(1.5;108)(3;144)(1.5;180)(3;216)(1.5;252)(3;288)(1.5;324)(3;0) %\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \end{pspicture} }}} \newcommand{\carteb}{% \scalebox{0.1}{% \fbox{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,-3)(1.5,-1.5)(-1.5,1.5)(-3,0)(0,-3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,-1.5)(3,0)(0,3)(-1.5,1.5)(1.5,-1.5) %\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \end{pspicture}}}} \newcommand{\cartec}{% \scalebox{0.1}{% \fbox{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \pspolygon[fillstyle=crosshatch,hatchsep=20pt](3;18)(3;90)(3;162)(3;234)(3;306)(3;18) %\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \end{pspicture}}}} \newcommand{\carted}{ \scalebox{0.1}{ \fbox{ \psset{xunit=1cm, yunit=1cm, runit=1cm} \begin{pspicture*}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0){3} \pscircle[fillstyle=solid,linecolor=white,fillcolor=white](0,4.5){3} \pscircle(0,0){3} %\psframe(-3.4,-3.4)(3.4,3.4) \end{pspicture*}}}} On dispose de 4 cartes \begin{center} \cartea \quad \carteb \quad \cartec \quad \carted \end{center} Chaque carte vaut un nombre entier strictement positif de points. On donne ci-dessous la somme des points des 3 cartes: \begin{center} \begin{tabular}{ccccccc} \cartea \; \carteb\; \cartec && \cartea\; \carteb\; \carted && \cartea\; \cartec\; \carted && \carteb\; \cartec\; \carted \\ 200 && 150 && 100 && $n$ \end{tabular} \end{center} Alors: \begin{enumerate} \item Il est impossible que $n=50$. \item $n\geqslant150$ \item $n$ est un multiple de 3. \item Si $n=210$ alors une des cartes vaut 10 points. \item Si $n=210$ alors une des cartes vaut 30 points. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \bigskip \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{~} &A &B &C &D &E\\ \hline 1 &F &F &F &V &F\\ \hline 2 &V &V &V &F &F\\ \hline 3 &F &V &F &V &V\\ \hline 4 &V &V &F &F &V\\ \hline 5 &V &V &V &F &F\\ \hline 6 &V &V &V &F &V\\ \hline 7 &V &V &F &V &F\\ \hline 8 &F &F &V &V &F\\ \hline 9 &F &V &V &F &V\\ \hline 10 &F &V &F &F &F\\ \hline 11 &F &V &V &V &F\\ \hline 12 &V &F &F &F &V\\ \hline 13 &F &F &F &F &F\\ \hline 14 &V &V &V &V &F\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}