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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Advance}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{mai 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}\\

\medskip

mai 2011 -- Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}\selectfont

\bigskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1 h 30 et est constituée de 8 questions obligatoires et de 4 questions à choisir parmi les questions numérotées de 9 à 16.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Questions obligatoires}
\end{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\selectfont

\bigskip

\hrulefill

\textbf{1.}

Soit $P$ l'énoncé: \og Pour qu'un pion soit blanc \textbf{faut} qu'il soit en bois \fg.

Alors $P$ signifie :

\medskip

\textbf{(A)} \og Tout pion blanc est en bois \fg

\textbf{(B)} \og Tout pion en bois est blanc \fg

\textbf{(C)} \og Si un pion est blanc alors il est en bois \fg

\textbf{(D)} \og Si un pion est en bois alors il est blanc \fg

\textbf{(E)} \og Pour qu'un pion soit en bois il suffit qu'il soit blanc \fg

\bigskip

\hrulefill

\textbf{2.}

\medskip

\textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1-x)}{x} = 1$

\textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin \left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$

\textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0}  \dfrac{2x^2 + x - 3}{x^2 + x+ 1}  = 2$

\textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \text{e}^{-\frac{1}{x^2}} = 0$

\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 0}  \dfrac{\text{e}^{x^2} - 1}{x} =  1$

\newpage

\hrulefill

\textbf{3.} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]1~;~+\infty[$ dont le tableau de variations est :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,3)
%\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$1$} \uput[u](3,2.4){$3$} \uput[u](5,2.4){$5$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
%\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
%\uput[d](1.5,2){$+ \infty$} \uput[u](3,0){$- 3$}\uput[d](5,2){$- 1$} \uput[u](6.5,0){$- 2$}
%\rput(2,2.25){$-$} \rput(3,2.25){$0$} \rput(4,2.25){$+$} \rput(5,2.25){$0$} \rput(6,2.25){$-$}
%\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l*5{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 3 & \esp & 5 & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\;\vline &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline  \Rnode{max1}{+\infty} & &  & & \Rnode{max2}{-1} & & \\
f (x) &\vline\;\vline &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline & & \Rnode{min1}{-3} & & & & \Rnode{min2}{-2}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $f'(4) < 0$

\textbf{(B)} $C$ admet une asymptote verticale

\textbf{(C)} $C$ admet une asymptote horizontale

\textbf{(D)} L'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution dans $[3~;~+ \infty[$

\textbf{(E)} L'équation $f( x) = -1$ admet deux solutions dans $]1~;~+\infty[$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R \backslash\{1\}$ par : $f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x-1}$.

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

\textbf{(A)} La droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale de $C$

\textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$

\textbf{(C)} La droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $- \infty$

\textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]1~;~+ \infty[$

\textbf{(E)} $f$ est décroissante sur $]0~;~1 [$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{5.} Soit $f$ définie sur $\R$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l l l}
f(x)& =& 1-x^2&\text{si }&x < 0\\
f(x)& =& x^2 +2&\text{si }&x \geqslant 0
\end{array}\right.\]

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $f$ n'admet pas de limite en $0$

\textbf{(B)} $f$ est dérivable en $0$

\textbf{(C)} $f$ est croissante sur $\R$

\textbf{(D)} L'équation $f(x) = 0$ admet une et une seule solution dans $\R$ 

\textbf{(E)} $f$ admet une fonction réciproque définie sur $\R$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{6.}

\medskip

\textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^1 (t - 1)^2  \:\text{d}t = \dfrac{1}{3}$

\textbf{(B)}  $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{t^2}  \:\text{d}t = \ln 4$

\textbf{(C)}  $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{t + 1}  \:\text{d}t = \dfrac{1}{2}$

\textbf{(D)}  $\displaystyle\int_0^\pi t \cos t   \:\text{d}t = - 2$

\textbf{(E)}  $\displaystyle\int_0^1 t\sin t  \:\text{d}t = - 2$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{7.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par : $f(x) = (x + 1)\text{e}^{ -2x}$. On a :

\medskip

\textbf{(A)} Pour tout $x \in \R ,\:f'(x) = (x + 2)\text{e}^{ -2x}$

\textbf{(B)} $f$ est croissante sur $\left]-\infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[$

\textbf{(C)} La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = - x + 1$

\textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = - \infty$

\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x) = - \infty$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{8.}
Soit $f$ la fonction définie sur $D = ]- 2~;~0[ \cup ]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = - 3x + 2 + \dfrac{\ln (x + 2)}{x}$

On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} et
$\Delta$ la droite d'équation $y = - 3x + 2$

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $\Delta$ est asymptote à $C$ en $+ \infty$

\textbf{(B)} Le point M$(-1~;~5)$ appartient à l'intersection de $\Delta$ et $C$

\textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 2$

\textbf{(D)} $C$ admet deux asymptotes verticales

\textbf{(E)} Il existe $a > 0$ tel que $f$ soit décroissante sur $]a~;~+\infty[$

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Questions à choisir (4 questions à choisir parmi les suivantes)}
\end{center}

\bigskip

\hrulefill

\textbf{9.} Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique réelle de premier terme $u_0 = 36$ et de raison $q$.

Alors:

\medskip

\textbf{(A)} Si $u_3 = \dfrac{4}{3}$ alors $q = \dfrac{1}{3}$

\textbf{(B)} Si $\dfrac{u_2}{u_4} = 4$ alors $q = 2$

\textbf{(C)} Si $q < \dfrac{1}{3}$ alors $u_4 < 1$

\textbf{(D)} S'il existe $n \in \N$ tel que $u_n = 1$ alors $q = \dfrac{1}{6}$

\textbf{(E)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_0 + u_1 + u_2 + \ldots  + u_n\right) = 30$ alors $q = - \dfrac{1}{5}$.

\bigskip

\hrulefill

\textbf{10.} La suite réelle $\left(u_n\right)$ est convergente :

\medskip

\textbf{(A)} $u_n = \dfrac{n\sqrt{n+1}}{n^2 + 1}$

\textbf{(B)} $u_n = \dfrac{1 +(-1)^n \sqrt{n}}{n + 1}$

\textbf{(C)} $u_n = \dfrac{\cos n}{n + 1}$

\textbf{(D)} $u_n = \dfrac{(-1)^n \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$

\textbf{(E)} $u_n = \dfrac{\ln \left(\text{e}^n + 1\right)}{\sqrt{n+1}}$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{11.} Un service de recrutement reçoit 15 dossiers dont 6 comportent un avis favorable et les 9 autres un avis défavorable. Les 15 dossiers sont classés au hasard.

La probabilité de l'évènement

\medskip

\textbf{(A)} le premier dossier est favorable et le deuxième défavorable est $\dfrac{9}{35}$

\textbf{(B)} les deux premiers dossiers sont favorables est $\dfrac{1}{7}$

\textbf{(C)} les deux premiers dossiers sont défavorables est $\dfrac{6}{7}$

\textbf{(D)} au moins un des deux premiers dossiers est défavorable est $\dfrac{6}{7}$

\textbf{(E)} le deuxième dossier est favorable sachant que le premier est défavorable est $\dfrac{3}{7}$

\newpage

\hrulefill

\textbf{12.} On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Pour chaque dé, les
probabilités d'obtenir une des six faces sont égales. On note $S$ la somme des points des faces supérieures. 

Si $2 \leqslant S \leqslant 3$ on gagne 20 points, si $3 < S \leqslant 5$ on gagne 10 points, si $5 < S < 10$ on gagne 5 points et si $10 \leqslant S \leqslant 12$ on gagne 1 point.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points par lancer.

\medskip

\textbf{(A)} $P(X = 20) = P (X = 1)$

\textbf{(B)} $P(X = 5) = \dfrac{5}{9}$

\textbf{(C)} $P(X \leqslant 5) = \dfrac{13}{18}$

\textbf{(D)} $P(X \geqslant 10) = \dfrac{5}{18}$

\textbf{(E)} L'espérance de $X$ est $\dfrac{64}{9}$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{13.} Soit $m \in \R$. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les plans $P$ et $Q$ :

\[P \colon x - y + 2z + 3 = 0\qquad  Q \colon x + my + 2z + 1 = 0\]

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} Pour que $P$ et $Q$ soient sécants il faut que $m \ne -1$

\textbf{(B)} Si $m = - 1$ alors $P$ et $Q$ sont parallèles

\textbf{(C)} Si $m = - 1$ alors la droite de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-1~;~2)$ et passant par le point I$(3~;~0~;~- 3)$ est perpendiculaire à $Q$

\textbf{(D)} Si $m = 5$ alors $P$ et $Q$ sont perpendiculaires

\textbf{(E)} Si $m = 5$ alors l'intersection de $P$ et $Q$ est une droite de vecteur directeur $\vect{v}(-2~;~0~;~1)$

\bigskip

\hrulefill

\textbf{14.} Soit $\omega$ un réel strictement positif et $z = \dfrac{1 + \text{i}\omega}{1 - \text{i}\omega}$

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} La partie réelle de $z$ est égale à 1

\textbf{(B)} La partie imaginaire de $z$ est égale à $2\omega$

\textbf{(C)} Le module de $z$ est égal à 1

\textbf{(D)} Le module de $\dfrac{(1 + \text{i}\omega)^2}{1 - \text{i}\omega}$ est égal à $\sqrt{1 + \omega^2}$

\textbf{(E)} Le module de $\dfrac{1 + \text{i}\omega}{(1 - \text{i}\omega)^2}$ est égal au module de $\dfrac{(1 + \text{i}\omega)^2}{1 - \text{i}\omega}$.

\newpage

\hrulefill

\textbf{15.} Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal, on considère les points
P, Q, R et S d'affixe respective $z$, $z'$, $\overline{z}$ , $\overline{z'}$ où $z = -\sqrt{3} + \text{i}$ et $z' = -\sqrt{2} +  + \text{i}\sqrt{2}$.

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $|z| = \left|z'\right|$

\textbf{(B)} OP = OS

\textbf{(C)} Les droites (PR) et (QS) sont parallèles

\textbf{(D)} Le triangle POR est isocèle

\textbf{(E)} Les points P, Q, R et S sont sur le cercle de centre O et de rayon 2

\bigskip

\hrulefill

\textbf{16.} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[1~;~+\infty[$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij. Alors :

\medskip

\textbf{(A)} Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - x] = 0$

\textbf{(B)} Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ alors la droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $+\infty$

\textbf{(C)} Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{\ln x} = 1$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$

\textbf{(D)} Si la droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{\ln x} = 0$

\textbf{(E)} Si la droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{\text{e}^x} = 0$

\end{document}