\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Advance} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{mai 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip mai 2011 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2}\selectfont \bigskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1 h 30 et est constituée de 8 questions obligatoires et de 4 questions à choisir parmi les questions numérotées de 9 à 16. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \medskip \begin{center} \textbf{\large Questions obligatoires} \end{center} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\selectfont \bigskip \hrulefill \textbf{1.} Soit $P$ l'énoncé: \og Pour qu'un pion soit blanc \textbf{faut} qu'il soit en bois \fg. Alors $P$ signifie : \medskip \textbf{(A)} \og Tout pion blanc est en bois \fg \textbf{(B)} \og Tout pion en bois est blanc \fg \textbf{(C)} \og Si un pion est blanc alors il est en bois \fg \textbf{(D)} \og Si un pion est en bois alors il est blanc \fg \textbf{(E)} \og Pour qu'un pion soit en bois il suffit qu'il soit blanc \fg \bigskip \hrulefill \textbf{2.} \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1-x)}{x} = 1$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin \left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2x^2 + x - 3}{x^2 + x+ 1} = 2$ \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \text{e}^{-\frac{1}{x^2}} = 0$ \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\text{e}^{x^2} - 1}{x} = 1$ \newpage \hrulefill \textbf{3.} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]1~;~+\infty[$ dont le tableau de variations est : %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(7,3) %\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) %\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$1$} \uput[u](3,2.4){$3$} \uput[u](5,2.4){$5$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} %\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$} %\uput[d](1.5,2){$+ \infty$} \uput[u](3,0){$- 3$}\uput[d](5,2){$- 1$} \uput[u](6.5,0){$- 2$} %\rput(2,2.25){$-$} \rput(3,2.25){$0$} \rput(4,2.25){$+$} \rput(5,2.25){$0$} \rput(6,2.25){$-$} %\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.1} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l*5{c} c|} \hline x & 1 & \esp & 3 & \esp & 5 & \esp & +\infty \\ \hline f'(x) & \vline\;\vline & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\;\vline \Rnode{max1}{+\infty} & & & & \Rnode{max2}{-1} & & \\ f (x) &\vline\;\vline & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ &\vline\;\vline & & \Rnode{min1}{-3} & & & & \Rnode{min2}{-2} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min1} \ncline{->}{min1}{max2} \ncline{->}{max2}{min2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. Alors : \medskip \textbf{(A)} $f'(4) < 0$ \textbf{(B)} $C$ admet une asymptote verticale \textbf{(C)} $C$ admet une asymptote horizontale \textbf{(D)} L'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution dans $[3~;~+ \infty[$ \textbf{(E)} L'équation $f( x) = -1$ admet deux solutions dans $]1~;~+\infty[$ \bigskip \hrulefill \textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R \backslash\{1\}$ par : $f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x-1}$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. \textbf{(A)} La droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale de $C$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ \textbf{(C)} La droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $- \infty$ \textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]1~;~+ \infty[$ \textbf{(E)} $f$ est décroissante sur $]0~;~1 [$ \bigskip \hrulefill \textbf{5.} Soit $f$ définie sur $\R$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l l l} f(x)& =& 1-x^2&\text{si }&x < 0\\ f(x)& =& x^2 +2&\text{si }&x \geqslant 0 \end{array}\right.\] Alors : \medskip \textbf{(A)} $f$ n'admet pas de limite en $0$ \textbf{(B)} $f$ est dérivable en $0$ \textbf{(C)} $f$ est croissante sur $\R$ \textbf{(D)} L'équation $f(x) = 0$ admet une et une seule solution dans $\R$ \textbf{(E)} $f$ admet une fonction réciproque définie sur $\R$ \bigskip \hrulefill \textbf{6.} \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^1 (t - 1)^2 \:\text{d}t = \dfrac{1}{3}$ \textbf{(B)} $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{t^2} \:\text{d}t = \ln 4$ \textbf{(C)} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{t + 1} \:\text{d}t = \dfrac{1}{2}$ \textbf{(D)} $\displaystyle\int_0^\pi t \cos t \:\text{d}t = - 2$ \textbf{(E)} $\displaystyle\int_0^1 t\sin t \:\text{d}t = - 2$ \bigskip \hrulefill \textbf{7.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par : $f(x) = (x + 1)\text{e}^{ -2x}$. On a : \medskip \textbf{(A)} Pour tout $x \in \R ,\:f'(x) = (x + 2)\text{e}^{ -2x}$ \textbf{(B)} $f$ est croissante sur $\left]-\infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[$ \textbf{(C)} La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = - x + 1$ \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ \bigskip \hrulefill \textbf{8.} Soit $f$ la fonction définie sur $D = ]- 2~;~0[ \cup ]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = - 3x + 2 + \dfrac{\ln (x + 2)}{x}$ On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} et $\Delta$ la droite d'équation $y = - 3x + 2$ Alors : \medskip \textbf{(A)} $\Delta$ est asymptote à $C$ en $+ \infty$ \textbf{(B)} Le point M$(-1~;~5)$ appartient à l'intersection de $\Delta$ et $C$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 2$ \textbf{(D)} $C$ admet deux asymptotes verticales \textbf{(E)} Il existe $a > 0$ tel que $f$ soit décroissante sur $]a~;~+\infty[$ \newpage \begin{center} \textbf{\large Questions à choisir (4 questions à choisir parmi les suivantes)} \end{center} \bigskip \hrulefill \textbf{9.} Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique réelle de premier terme $u_0 = 36$ et de raison $q$. Alors: \medskip \textbf{(A)} Si $u_3 = \dfrac{4}{3}$ alors $q = \dfrac{1}{3}$ \textbf{(B)} Si $\dfrac{u_2}{u_4} = 4$ alors $q = 2$ \textbf{(C)} Si $q < \dfrac{1}{3}$ alors $u_4 < 1$ \textbf{(D)} S'il existe $n \in \N$ tel que $u_n = 1$ alors $q = \dfrac{1}{6}$ \textbf{(E)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_n\right) = 30$ alors $q = - \dfrac{1}{5}$. \bigskip \hrulefill \textbf{10.} La suite réelle $\left(u_n\right)$ est convergente : \medskip \textbf{(A)} $u_n = \dfrac{n\sqrt{n+1}}{n^2 + 1}$ \textbf{(B)} $u_n = \dfrac{1 +(-1)^n \sqrt{n}}{n + 1}$ \textbf{(C)} $u_n = \dfrac{\cos n}{n + 1}$ \textbf{(D)} $u_n = \dfrac{(-1)^n \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$ \textbf{(E)} $u_n = \dfrac{\ln \left(\text{e}^n + 1\right)}{\sqrt{n+1}}$ \bigskip \hrulefill \textbf{11.} Un service de recrutement reçoit 15 dossiers dont 6 comportent un avis favorable et les 9 autres un avis défavorable. Les 15 dossiers sont classés au hasard. La probabilité de l'évènement \medskip \textbf{(A)} le premier dossier est favorable et le deuxième défavorable est $\dfrac{9}{35}$ \textbf{(B)} les deux premiers dossiers sont favorables est $\dfrac{1}{7}$ \textbf{(C)} les deux premiers dossiers sont défavorables est $\dfrac{6}{7}$ \textbf{(D)} au moins un des deux premiers dossiers est défavorable est $\dfrac{6}{7}$ \textbf{(E)} le deuxième dossier est favorable sachant que le premier est défavorable est $\dfrac{3}{7}$ \newpage \hrulefill \textbf{12.} On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Pour chaque dé, les probabilités d'obtenir une des six faces sont égales. On note $S$ la somme des points des faces supérieures. Si $2 \leqslant S \leqslant 3$ on gagne 20 points, si $3 < S \leqslant 5$ on gagne 10 points, si $5 < S < 10$ on gagne 5 points et si $10 \leqslant S \leqslant 12$ on gagne 1 point. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points par lancer. \medskip \textbf{(A)} $P(X = 20) = P (X = 1)$ \textbf{(B)} $P(X = 5) = \dfrac{5}{9}$ \textbf{(C)} $P(X \leqslant 5) = \dfrac{13}{18}$ \textbf{(D)} $P(X \geqslant 10) = \dfrac{5}{18}$ \textbf{(E)} L'espérance de $X$ est $\dfrac{64}{9}$ \bigskip \hrulefill \textbf{13.} Soit $m \in \R$. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les plans $P$ et $Q$ : \[P \colon x - y + 2z + 3 = 0\qquad Q \colon x + my + 2z + 1 = 0\] Alors : \medskip \textbf{(A)} Pour que $P$ et $Q$ soient sécants il faut que $m \ne -1$ \textbf{(B)} Si $m = - 1$ alors $P$ et $Q$ sont parallèles \textbf{(C)} Si $m = - 1$ alors la droite de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-1~;~2)$ et passant par le point I$(3~;~0~;~- 3)$ est perpendiculaire à $Q$ \textbf{(D)} Si $m = 5$ alors $P$ et $Q$ sont perpendiculaires \textbf{(E)} Si $m = 5$ alors l'intersection de $P$ et $Q$ est une droite de vecteur directeur $\vect{v}(-2~;~0~;~1)$ \bigskip \hrulefill \textbf{14.} Soit $\omega$ un réel strictement positif et $z = \dfrac{1 + \text{i}\omega}{1 - \text{i}\omega}$ Alors : \medskip \textbf{(A)} La partie réelle de $z$ est égale à 1 \textbf{(B)} La partie imaginaire de $z$ est égale à $2\omega$ \textbf{(C)} Le module de $z$ est égal à 1 \textbf{(D)} Le module de $\dfrac{(1 + \text{i}\omega)^2}{1 - \text{i}\omega}$ est égal à $\sqrt{1 + \omega^2}$ \textbf{(E)} Le module de $\dfrac{1 + \text{i}\omega}{(1 - \text{i}\omega)^2}$ est égal au module de $\dfrac{(1 + \text{i}\omega)^2}{1 - \text{i}\omega}$. \newpage \hrulefill \textbf{15.} Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal, on considère les points P, Q, R et S d'affixe respective $z$, $z'$, $\overline{z}$ , $\overline{z'}$ où $z = -\sqrt{3} + \text{i}$ et $z' = -\sqrt{2} + + \text{i}\sqrt{2}$. Alors : \medskip \textbf{(A)} $|z| = \left|z'\right|$ \textbf{(B)} OP = OS \textbf{(C)} Les droites (PR) et (QS) sont parallèles \textbf{(D)} Le triangle POR est isocèle \textbf{(E)} Les points P, Q, R et S sont sur le cercle de centre O et de rayon 2 \bigskip \hrulefill \textbf{16.} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[1~;~+\infty[$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij. Alors : \medskip \textbf{(A)} Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - x] = 0$ \textbf{(B)} Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ alors la droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $+\infty$ \textbf{(C)} Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{\ln x} = 1$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ \textbf{(D)} Si la droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{\ln x} = 0$ \textbf{(E)} Si la droite d'équation $y = x$ est asymptote à $C$ en $+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{\text{e}^x} = 0$ \end{document}