\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Advance} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{mai 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip mai 2010 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1 h 30 et est constituée de 8 questions obligatoires et de 4 questions à choisir parmi les questions numérotées de 9 à 16. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \medskip \begin{center} \textbf{\large Questions obligatoires} \end{center} %\bigskip \hrulefill \textbf{1.} On considère trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$. Soit la proposition : \hfill{}$(P) : \og \text{ \og si }\:x = 3 \text{ alors }\quad y = 5 \text{ et } z = 1 \text{\fg}$\hfill{} Alors : \medskip \textbf{(A)} $(P)$ est équivalente à : \og si $y = 5$ et $z = 1$ alors $x = 3$ \fg \textbf{(B)} $(P)$ est équivalente à : \og si $y \ne 5$ ou $z \ne 1$ alors $x \ne 3$ \fg \textbf{(C)} $(P)$ est équivalente à : \og si $x \ne 3$ alors $y \ne 5$ ou $z \ne 1$ \fg \textbf{(D)} La négation de $(P)$ est: \og $x = 3$ et $y \ne 5$ et $z \ne 1$ \fg \textbf{(E)} La négation de $(P)$ est: \og si $x = 3$ alors $y \ne 5$ ou $z \ne 1$\fg \bigskip \hrulefill \textbf{2.} Pour tous entiers naturels strictement positifs $n$ et $p$, on a : \medskip \textbf{(A)} $n^2$ est pair si et seulement si $n$ est pair \textbf{(B)} $(n + p)^2$ est pair si et seulement si $(n - p)^2$ est pair \textbf{(C)} Si $np$ est impair alors $n + p$ est pair \textbf{(D)} Si $n^2 + np + p^2$ est pair alors $np$ est pair \textbf{(E)} Si $n^2 + np + p^2$ est pair alors $n$ et $p$ sont pairs \bigskip \hrulefill \textbf{3.} Pour tous réels non nuls $a$, $b$, $c$ et $d$ on a : \medskip \textbf{(A)} Si $a < b$ alors $a^2 < b^2$ \textbf{(B)} Si $|b| > a$ alors $b > a$ \textbf{(C)} Si $a < b$ et $c < d$ alors $ac < bd$ \textbf{(D)} Si $a < 0 < b$ alors $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$ \textbf{(E)} Si $ac < bd$ alors $\dfrac{c}{b} < \dfrac{d}{a}$ \bigskip \hrulefill \textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R \backslash \{1\}$ par: $f(x) = \dfrac{x^2 - x+ 4}{x-1}$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. \medskip \textbf{(A)} La droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale de $C$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)= -\infty$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ \textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]1~;~ +\infty[$ \textbf{(E)} $f$ est décroissante sur $]- \infty~;~-1[$ \bigskip \hrulefill \textbf{5.} \textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^2 x \:\text{d}x = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4}$ \textbf{(B)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^2 x \:\text{d}x = \dfrac{5}{4} - \dfrac{\pi}{8}$ \textbf{(C)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 x \:\text{d}x = 1 - \dfrac{\pi}{4}$ \textbf{(D)} $\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(x^3 + x\right)\:\text{d}x = 0$ \textbf{(E)} $\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(x^4 + x^2\right)\:\text{d}x = 0$ \bigskip \hrulefill \textbf{6.} Soit pour tout $x$ de $\R$, $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + x$ alors : \medskip \textbf{(A)} Pour tout $x$ de $\R$,\; $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} + 1$ \textbf{(B)} $f$ est croissante sur $\R$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = +\infty$ \textbf{(E)} Il existe un unique $a$ de $\R$ tel que $f(a) = 0$ \newpage \hrulefill \textbf{7.} Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ dont le tableau de variations est : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,2.5) \psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.5,1.9){$- \infty$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](6.5,1.9){$+ \infty$} \uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){1}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} Alors l'expression de $f$ peut être : \medskip \textbf{(A)} $f(x) = |x| + 1$ \textbf{(B)} $f (x) = x\cos^2 x$ \textbf{(C)} $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ \textbf{(D)} $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 1$ \textbf{(E)} $f(x) = \text{e}^x - x$ \hrulefill \medskip \textbf{8.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ , par: $f(x) = x^2 \text{e}^{-2x}$ Alors : \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ \textbf{(B)} La courbe représentative de $f$ admet une asymptote horizontale \textbf{(C)} $f'(0) = 0$ \textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ \textbf{(E)} La courbe représentative de $f$ admet un maximum au point d'abscisse $x = 1$ %\hrulefill \bigskip \begin{center} \textbf{\large Questions à choisir (4 questions à choisir parmi les suivantes)} \end{center} \medskip \hrulefill \textbf{9.} Pour toute suite numérique $\left(u_n\right)$ on a : \medskip \textbf{(A)} Si pour tout $n$ de $\N$,\: $0 \leqslant u_n \leqslant 3$ alors $\left(u_n\right)$ est convergente \textbf{(B)} Si pour tout $n$ de $\N$,\: $u_n = 3 + \dfrac{1}{n + 1}$ alors $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique \textbf{(C)} Si pour tout $n$ de $\N$, $u_n = \text{e}^{-n}$ alors $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique \textbf{(D)} Si $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$ alors $\left(u_n\right)$ converge \textbf{(E)} Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{2}$ alors $\left(u_n\right)$ converge \newpage \hrulefill \textbf{10.} Pour toute suite réelle $\left(u_n\right)$ on a : \textbf{(A)} Si $\left(u_n\right)$ n'est pas minorée alors elle est majorée \textbf{(B)} Si $\left(u_n\right)$ prend un nombre fini de valeurs alors elle est convergente \textbf{(C)} Si $\left(u_n\right)$ est positive et strictement croissante alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u_n = + \infty$ \textbf{(D)} Si $\left(u_n\right)$ est bornée alors $\left(u_n\right)$ converge \textbf{(E)} Si $\left(u_n\right)$ converge alors $\left(u_n\right)$ prend un nombre fini de valeurs \bigskip \hrulefill \textbf{11.} Pour tout nombre complexe z, Re ( z) désignant la partie réelle de z, on a : \medskip \textbf{(A)} $|1 + \text{i}z| = |1 - \text{i}z| \Rightarrow z$ réel \textbf{(B)} $|\text{i} + z| = |\text{i} - z| \Rightarrow z$ réel \textbf{(C)} $|z| = |1 - z| \Rightarrow \text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}$ \textbf{(D)} $|1 - z| = 1 \Rightarrow z = 0$ \textbf{(E)} $|1 + z| = |1 - z| \Rightarrow \text{Re} (z) = 0$ \bigskip \hrulefill \textbf{12.} Soit $z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = - 1 +\text{i}\sqrt{3}$. Alors : \medskip \textbf{(A)} $\left|z_1\right| = \left|z_2\right|$ \textbf{(B)} $z_2 = \overline{z_1}$ \textbf{(C)} $\left(z_1 + z_2\right)^2$ est un réel positif \textbf{(D)} $\left(z_1 - z_2\right)^2$ est un réel positif \textbf{(E)} arg $\left(z_2\right) = \dfrac{\pi}{3} + \text{arg} \left(z_1\right) $ \bigskip \hrulefill \textbf{13.} Une urne contient les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5. Pour former un nombre de $k$ chiffres, on tire \textbf{successivement et avec remise} $k$ chiffres de l'urne. On désigne, par exemple, par $P(112)$ la probabilité d'obtenir le nombre $112$. Alors : \medskip \textbf{(A)} $P(111) = P(123)$ \textbf{(B)} $P(11) < P(123)$ \textbf{(C)} $P(111) = P(1)^3$ \textbf{(D)} $P(1234)= P(1)P(234)$ \textbf{(E)} $P(1234) = P(12) P(34)$ \bigskip \hrulefill \textbf{14.} Une usine fabrique des vis d'un pas de $3$~cm de longueur. On note $X$ la variable aléatoire ayant pour valeurs les longueurs des pas possibles exprimées en cm, $p_i$ la probabilité qu'une vis ait un pas de longueur $x_i$ c'est-à-dire $p_i = P\left(X = x_i\right)$. On donne : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$& 2,8 &2,9 &3 &3,1 &3,2\\ \hline $p_i$&$\dfrac{1}{24}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{3}{4}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{24}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Alors : \medskip \textbf{(A)} Si on prélève au hasard une vis, $P (X \leqslant 2,9) = \dfrac{1}{8}$ \textbf{(B)} Si on prélève au hasard une vis, $P( X \geqslant 3) = \dfrac{7}{8}$ On prélève \textbf{successivement et avec remise} 2 vis, la probabilité d'avoir \textbf{(C)} exactement 2 vis de pas 3 cm est $\dfrac{9}{16}$ \textbf{(D)} aucune vis de pas 3 cm est $\dfrac{7}{16}$ \textbf{(E)} au moins une vis de pas égal à 3 cm est $\dfrac{15}{16}$ \bigskip \hrulefill \textbf{15.} Pour tout $\theta \in \left]0~;~\dfrac{\pi}{4}\right[$, on a : \medskip \textbf{(A)} $\cos \left(\dfrac{\pi}{2} + \theta \right) = \sin \theta$ \textbf{(B)} $\sin (\pi + \theta) = - \sin \theta$ \textbf{(C)} $\dfrac{1 + \cos 2\theta}{2} = \sin^2 \theta$ \textbf{(D)} $\dfrac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$ \textbf{(E)} $\dfrac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2\theta} = \tan 2\theta$ \bigskip \hrulefill \textbf{16.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(x) = 4 \sin^2 x - 3$. Alors : \medskip \textbf{(A)} Il suffit d'étudier $f$ sur $[0~;~\pi]$ \textbf{(B)} Pour tout $x \in \R$,\: $f(x - \pi) = f(x)$ \textbf{(C)} $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$ de $\R$, $f'(x) = - 4 \sin 2x$ \textbf{(D)} $f$ est décroissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in \R$,\: $f(x) \leqslant 1$ \medskip \hrulefill \newpage \begin{center} \textbf{\large RÉPONSES} \bigskip \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1 &F&V&F&F&F\\ \hline 2 &V&V&V&V&V\\ \hline 3 &F&F&F&F&F\\ \hline 4 &V&V&F&F&F\\ \hline 5 &F&F&V&V&F\\ \hline 6 &F&V&V&F&V \\ \hline 7 &V&F&V&V&V \\ \hline 8 &F&V&V&F&V \\ \hline 9 &F&F&V&V&F\\ \hline 10 &F&F&F&F&F \\ \hline 11 &V&V&V&F&V\\ \hline 12 &V&F&F&V&V \\ \hline 13 &V&F&V&V&V \\ \hline 14 &V&V&V&F&V \\ \hline 15 &F&V&F&F&F \\ \hline 16 &V&V&F&F&V\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}