%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen,color} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours Accès}, pdftitle = {2014}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Accès} \lfoot{\small{2014}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 2014} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} durée de l'épreuve : 3~h \end{center} \textbf{Exercices \no 1 à 6 : Raisonnement logique} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un cinéma, on vend des glaces et des popcorns, les dimanches après-midi. La monnaie locale est l'UM. Les glaces achetées 3 UM sont revendues 4 UM et les popcorns vendues 5 UM sont achetées 2,5 UM. Par beau temps, le cinéma vend 200 glaces et 150 popcorns. Par mauvais temps, l'affluence au cinéma est plus forte et l'on y vend 150 glaces et 250 popcorns. Le samedi, le gérant achète ses produits en fonction des prévisions météorologiques du dimanche. Par exemple, si le beau temps est prévu, il achètera 200 glaces et 150 popcorns. Ses produits étant périssables, il ne pourra conserver les invendus pour le dimanche suivant. \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} A. Le gérant fait un bénéfice maximal lors d'une journée de mauvais temps qu'il avait anticipée. &\textbf{B.~} Quel que soit le temps et sa prévision, le gérant aura toujours un bénéfice. &\textbf{C.~} Le bénéfice minimal sera obtenu lorsque le gérant prévoira du mauvais temps et que le dimanche sera beau. &\textbf{D.~} Ayant subi quelques déboires de prévision, il décide d'acheter tous les samedis 150 glaces et 150 popcorns. Cela lui assurera un bénéfice de 525 UM chaque dimanche. \end{tabularx} \medskip \item Un grossiste achète 2 articles pour un total de 114~\euro. Il les revend à un détaillant en faisant une marge de 25\,\% sur le premier article et de 30\,\% sur le deuxième. Le détaillant tente de les vendre dans son magasin en affichant des prix lui permettant de s'octroyer une marge de 20~\euro{} sur le premier article et de 15~\euro{} sur le second. Finalement, après avoir accordé une réduction de 20\,\% sur le prix affiché du premier article, le détaillant réussit à les vendre tous les deux au même prix. \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} \textbf{A.~} Le grossiste a acheté le premier article 50~\euro. &\textbf{B.~} Le grossiste a gagné plus de 30~\euro{} en revendant les 2 articles au détaillant. &\textbf{C.~} Les 2 articles ont été vendus 80~\euro{} pièce au client final. &\textbf{D.~} Le détaillant a gagné plus de 20~\euro{} en revendant les 2 articles à son client. \end{tabularx} \medskip \item Un cycliste doit effectuer un aller-retour entre 2 villes distantes de $x$ km en 6~h. À mi-parcours, soit après $x$ km, il remarque que sa vitesse moyenne a été trop faible de 2 km/h pour respecter son timing. \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} \textbf{A.~} Sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet doit être de $\dfrac{x}{6}$ km/h pour respecter son timing. &\textbf{B.~} Il a mis $\frac{x}{\frac{x}{3} - 2}$ h pour effectuer l'aller. &\textbf{C.~} Sa vitesse moyenne pour le retour doit être de $\frac{x}{6 - \frac{x}{\frac{x}{2} - 2}}$ km/h pour respecter son timing. &\textbf{D.~} Sa vitesse moyenne pour le retour devra être de $\frac{x}{6 - \frac{x}{\frac{x}{2} - 2}} - \left(\frac{x}{3} - 4 \right)$ km/h supérieure à celle de l'aller pour respecter son timing. \end{tabularx} \medskip \item Un détournement de fonds a été réalisé par un ou plusieurs membres du personnel d'une entreprise. Le commissaire chargé de l'enquête est confronté aux problèmes suivants: \setlength\parindent{7mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] rien ne permet de distinguer les coupables des innocents ; \item[$\bullet~~$] les coupables mentent systématiquement à toutes les questions qu'on leur pose, alors que les innocents disent toujours la vérité. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le commissaire interroge un groupe de trois personnes : X, Y et Z qui connaissent les coupables et déclarent : \setlength\parindent{7mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]X : \og Aucun de nous n'est innocent. \fg \item[$\bullet~~$]Y : \og Je suis innocent. \fg \item[$\bullet~~$]Z : \og Au moins deux d'entre nous sont des coupables. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} \textbf{A.~} Y dit la vérité. &\textbf{B.~} Il y a 2 innocents. &\textbf{C.~} Z ment. &\textbf{D.~} X et Y sont coupables. \end{tabularx} \medskip \item Jean et Mathieu effectuent un stage d'été de 30 jours ouvrables dans la même entreprise. Chacun doit classer $N$ dossiers sur cette période. \setlength\parindent{7mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Jean débute le classement dès le premier jour et programme de classer $a$ dossiers par jour. \item[$\bullet~~$] Mathieu déclare : \og Je commencerai le classement quand après-demain sera hier. Les 9 premiers jours, je classerai $b$ dossiers par jour puis je doublerai ma cadence journalière tous les 9 jours. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Jean et Mathieu terminent leur classement le dernier jour de leur stage. \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} \textbf{A.~} $a = 2\times b$ &\textbf{B.~} Si $N = \np{1260}$ alors $b$ est égal à $22$.&\textbf{C.~} Si $b = 40$ alors $a$ est égal à 84&\textbf{D.~} Mathieu a réalisé le classement en exactement 28 jours \end{tabularx} \medskip \item Dans une école de commerce, la promotion de première année comprend 200 étudiants qui doivent pratiquer au moins l'une des trois langues suivantes : anglais, allemand, espagnol. On sait que : \setlength\parindent{7mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]160 étudiants pratiquent l'anglais \item[$\bullet~~$]120 étudiants pratiquent l'espagnol \item[$\bullet~~$]60 étudiants pratiquent l'allemand. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} \textbf{A.~} Si 30 étudiants pratiquent les 3 langues alors 80 étudiants pratiquent exactement 2 langues. &\textbf{B.~} Si 60 étudiants pratiquent seulement une langue alors aucun étudiant pratique les 3 langues. &\textbf{C.~} Le nombre d'étudiants pratiquant une seule langue est inférieur ou égal à 130. &\textbf{D.~} Plus de 180 étudiants pratiquent au moins l'une des deux langues : allemand ou espagnol. \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercices \no 7 à 12 : Raisonnement mathématique} \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6} \item La fonction $f(x) = \dfrac{(x - 1)^2}{x - 2}$. $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$. \textbf{A.~} $f(x) = ax + \dfrac{b}{x - 2}$ avec $a = 1$ et $b = 1 \: \forall x \ne 2$. \textbf{B.~} $\mathcal{C}_f$ a une asymptote verticale $x = 2$. \textbf{C.~} La droite d'équation $y = x$ est asymptote (oblique) à la courbe $\mathcal{C}_f$ quand $x$ tend vers $- \infty$ ou $+ \infty$. \textbf{D.~} La courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite d'équation $y = x$ lorsque $x \in \R - \{2\}$. \medskip \item Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{x^2}{2^x} = \dfrac{x^2}{\text{e}^{x \ln 2}}\: \text{pour tout }\:x \in \R.\] Soit $h(x) = \left[\dfrac{x^2}{\ln 2} + \dfrac{2x}{(\ln 2)^2} + \dfrac{2}{(\ln 2)^3}\right]2^{- x}.$ \textbf{A.~} $f'(x) = \dfrac{x(2 - x\ln 2)}{2^x}$. \textbf{B.~} Sur $[0~;~+\infty[$, $f$ a un minimum $m$ lorsque $x = \dfrac{2}{\ln 2}$. \textbf{C.~} $h'(x) = - x^2 \text{e}^{- x \ln 2}$. \textbf{D.~} Une primitive de $f$ est $F$ définie par : $F(x) = - h(x)$. \medskip \item Soit $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{a}{\text{e}^{bx} + 1}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Soient A(0~;~6) et B(4~;~0) deux points. La droite (AB) est tangente à la courbe au point A. Soit $f(x) = \text{e}^{bx} - 1$ pour tout réel $x$ dans $[0~;~+ \infty[$. \textbf{A.~} $g(0) = 6$ et $g'(0) = - \dfrac{3}{2}$. \textbf{B.~} $g'(x) = \dfrac{a}{\left(\text{e}^{bx} + 1\right)^2}$. \textbf{C.~} Nous avons $a = 12$ et $b = \dfrac{1}{2}$. \textbf{D.~} La solution de l'équation $f(x) = g(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$ est $x = \dfrac{\ln (a + 1)}{2b}$. \medskip \item Pour un prix de vente unitaire $x$, exprimé en centaines d'euros, $f(x)$ est le nombre d'objets, exprimés en centaines, proposés sur le marché et $g(x)$ est le nombre d'objets, exprimés en centaines que les consommateurs sont prêts à acheter. La fonction $f$ est la fonction d'Offre : $f(x) = \text{e}^{\frac{1}{2}x} - 1$. La fonction $g$ est la fonction de Demande : $g(x) = \dfrac{12}{\text{e}^{\frac{1}{2}x} + 1}$. \textbf{A.~} Le prix d'équilibre (prix auquel la demande est égale à l'offre) est $p = \ln 13$ centaines d'euros. \textbf{B.~} Si $n = f(p)$ avec $p =$ prix d'équilibre, $n = \sqrt{13} - 1$. \textbf{C.~} $\displaystyle\int_0^{\ln 13} \left(\text{e}^{\frac{1}{2}x} - 1\right)\:\text{d}x = 2\sqrt{13} - \ln (13) - 2$. \textbf{D.~} Soit $R = np - \displaystyle\int_0^{p} \left(\text{e}^{\frac{1}{2}x} - 1\right)\:\text{d}x$, la rente du producteur. Alors $R = \sqrt{13} \ln (13) - 2\sqrt{13} + 2$. \medskip \item Une entreprise embauche des cadres ingénieurs, les uns sous contrat A travaillant 35 heures et payés 550~euros par semaine, les autres sous contrat B travaillant 20 heures et payés 220~euros par semaine. Le chef d'entreprise peut embaucher au plus 8 personnes sous contrat A et 15 personnes sous contrat B. Chaque semaine, il dispose d'un budget de \np{5060}~euros et 370~heures de travail au moins, doivent être effectuées. Pour satisfaire ses besoins, l'entreprise ne peut pas embaucher: \textbf{A.~} 7 personnes en contrat A et 7 personnes en contrat B. \textbf{B.~} 4 personnes en contrat A et 12 personnes en contrat B. \textbf{C.~} 2 personnes en contrat A et 14 personnes en contrat B. \textbf{D.~} 6 personnes en contrat A et 8 personnes en contrat B. \medskip \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{ \ln 10}$. \textbf{A.~} $f(2x) = f(2) + f(x)$. \textbf{B.~} $f\left(2^n\right) = n f(2)$. \textbf{C.~} $f\left(\frac{1}{2}\right) = - \dfrac{\ln 2}{\ln 10}$. \textbf{D.~} $f^{-1}(y) = 10^y$ définie sur $\R$ est la réciproque de $f$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercices \no 13 à 18 : Problème mathématique} \medskip Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres nécessitent les résultats obtenus dans les questions précédentes. On dispose d'une machine M$_1$ depuis déjà un certain temps et on anticipe qu'elle puisse être en panne au cours des prochains mois. L'entreprise peut acheter le modèle M$_2$ dès maintenant ou acheter le modèle M$_3$ qui sortira dans 6 mois. On sait que le modèle M$_1$ va certainement résister pendant encore au moins 2 autres mois mais qu'il y a des chances égales qu'il s'arrête au cours du 3\up{e}, 4\up{e}, 5\up{e} ou 6\up{e} mois ; et qu'il y a aussi une probabilité égale à $0,40$ qu'il fonctionnera correctement jusqu'à l'arrivée du modèle M$_3$. S'il s'arrête avant l'arrivée du modèle M$_3$, on estime qu'il serait illogique d'acheter le modèle M$_2$ plus tard et qu'il serait alors plus sage de louer une autre machine à un coût égal à 500~\euro{} par mois jusqu'à l'arrivée du modèle M$_3$. Si on achète le modèle M$_2$ maintenant, on va le payer \np{14000}~\euro{} que nous pourrons amortir de façon linéaire sur 66 mois mais si nous attendons l'arrivée du modèle M$_3$, nous allons le payer \np{12900}~\euro{} que nous pourrons amortir de façon linéaire sur 60 mois. Ces machines, compte tenu de leurs capacités respectives, généreront des revenus de 2~\euro{} par unité fabriquée. Le modèle M$_1$ permet de fabriquer 200 unités par mois, une machine louée pourrait fabriquer 220 unités par mois, les modèles M$_2$ et M$_3$ pourront fabriquer 250~unités par mois. \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{12} \item \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Si on décide d'acheter le modèle M$_3$ qui sortira dans 6 mois et si le modèle M$_1$ ne tombe pas en panne dans cette période, le bénéfice total réalisé jusqu'à la fin de l'amortissement serait de \np{19500}~\euro. \textbf{B.~} Si on décide d'acheter le modèle M$_3$ qui sortira dans 6 mois et si le modèle M$_1$ tombe en panne à la fin du 2\up{e} mois, le bénéfice total réalisé jusqu'à la fin de l'amortissement serait de \np{17660}~\euro. \textbf{C.~} Si on décide d'acheter le modèle M$_3$ qui sortira dans 6 mois et si le modèle M$_1$ tombe en panne à la fin du 3\up{e} mois, le bénéfice total réalisé jusqu'à la fin de l'amortissement serait de \np{18120}~\euro. \textbf{D.~} Si on décide d'acheter le modèle M$_2$ dès maintenant le bénéfice total réalisé jusqu'à la fin de l'amortissement serait de \np{19000}~\euro. \medskip \item \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} 30 mois après l'achat du modèle M$_3$, la somme restante à amortir est égale à \np{6450}~\euro. \textbf{B.~} 33 mois après l'achat du modèle M$_2$, la somme restante à amortir est strictement supérieure à \np{7000}~\euro. \textbf{C.~} $x$ mois après l'achat du modèle M$_2$, la somme restante à amortir est égale à $\np{14000} \left(1 - x/66\right)$~\euro. \textbf{D.~} $y$ mois après l'achat du modèle M$_3$, la somme restante à amortir est égale à $\np{12900} \left(1 - y/60\right)$~\euro. \medskip \item Soit une expérience aléatoire produisant $n$ évènements $A_1,\: A_2, \ldots, A_n$ pouvant conduire respectivement aux bénéfices : $x_1,\: x_2, \ldots, x_n$ (nombres réels) avec les probabilités respectives : $p_1,\:p_2, \ldots, \:p_n\: \left(\text{avec}\: p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\right)$. On appelle bénéfice espéré associé à une telle expérience la quantité réelle : $p_1x_1 + p_2x_2 + \ldots + p_nx_n$. On décide d'acheter le modèle M$_3$ qui sortira dans 6 mois. \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Les valeurs possibles du bénéfice (notées $x_i$) sont au nombre de 5. \textbf{B.~} Les valeurs $x_i$ varient entre \np{17660} et \np{19500}~\euro. \textbf{C.~} La probabilité $p_i$ associée à la plus petite valeur $x_i$ est $0,20$. \textbf{D.~} Le bénéfice espéré est égal à \np{18580}~\euro. \medskip \item Un expert mécanicien jouissant d'une bonne expérience peut prédire avec un taux de réussite de 85\,\% si la machine va résister pour les 6 prochains mois et avec le même taux de réussite de 85\,\% si la machine tombera en panne. Mais il est incapable de prédire à quel moment elle tombera en panne si elle tombe en panne. \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut en conclure que :} \medskip \textbf{A.~} La probabilité que l'expert prédise que le modèle M$_1$ tombe en panne est $0,57$. \textbf{B.~} Si la machine ne tombe pas en panne, la probabilité que l'expert prédise qu'elle tombera en panne est $0,15$. \textbf{C.~} Sachant que l'expert affirme que la machine ne tombera en panne, la probabilité qu'elle ne tombe pas en panne est supérieure à $0,6$. \textbf{D.~} La probabilité que le modèle M$_1$ tombe en panne au cours du 3\up{e} mois est $0,30$. \medskip \item La production mensuelle $q$ d'un autre produit fabriqué par l'entreprise est lié à son prix de vente $p$ (exprimé en \euro) par la relation : $q - M + 2p = 0$, où $M$ est un paramètre entier positif. La fonction coût moyen mensuel notée $C(q)$ dépend de la production mensuelle $q$ avec : \[C(q) = q^2 - 8q + 57 + \dfrac{2}{q}.\] On note $R(q)$ la recette totale mensuelle en fonction de $q$. On note $G(q)$ le profit mensuel en fonction de $q$, égal à la différence entre recette totale mensuelle et le coût total mensuel. \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut en conclure que :} \medskip \textbf{A.~} La recette totale mensuelle s'écrit : $R(q) = \dfrac{q}{2}M - \dfrac{q^2}{2}$. \textbf{B.~} La recette totale mensuelle est maximale pour un volume de production de $M$ unités. \textbf{C.~} Le coût total mensuel est $q^3 - 8q^2 + 57q + 2$. \textbf{D.~} Le profit mensuel s'écrit $G(q) = - q^3 + \dfrac{15q^2}{2} + (M - 57)q - 2$. \item L'entreprise qui utilise les machines précédentes envisage aussi de confier à l'une de ses unités de production, à l'étranger, l'élaboration des produits A et des produits B demandés par certains industriels. Cette fabrication doit répondre aux contraintes mensuelles de fabrication minimale de \np{4000} produits A et de \np{5000} produits B. La matière première sera livrée par l'usine principale à l'unité de production qui traite un minimum de \np{36000} kg de matière. En ce qui concerne la main-d'oeuvre le maximum sera fixé à \np{20000} heures. Par ailleurs on dispose des informations suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Produit A &Produit B\\ \hline La matière première par produit &6 kg &9 kg\\ \hline La main d'œuvre par produit &2 heures &1 heure\\ \hline Poids du produit fini &3 kg &4 kg\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le coût des transports mis en place entre l'unité de production et l'unité principale pour l'acheminement des matières premières et le retour des produits finis devra être rendu minimal. Le prix de ce transport a été estimé à 4~\euro{} par kilogramme de matière ou de produit fini transporté. On note $x$ et $y$ respectivement le nombre de produits A et le nombre de produits B à fabriquer. \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut en conclure que :} \medskip \textbf{A.~} $\np{4000}- \dfrac{2}{3}x \leqslant y \leqslant \np{20000}$. \textbf{B.~} Le coût total des transports est égal à : $36x + 52y$. \textbf{C.~} En tenant compte de toutes les contraintes, il est possible de produire \np{7000} unités de A et \np{7000} unités de B. \textbf{D.~} La production qui rend minimal le coût total des transports et qui tient compte de toutes les contraintes est celle qui consiste à produire \np{5000} unités de A et \np{6000} unités de B. \end{enumerate} \end{document}