%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen,color} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours Accès}, pdftitle = { 2013}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Accès} \lfoot{\small{2013}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 2013} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} durée de l'épreuve : 3~h \end{center} \textbf{Exercices \no 1 à 6 : Raisonnement logique} \medskip \begin{enumerate} \item On s'intéresse à trois membres du personnel d'une entreprise : Xavier, Yves et Zoran. On sait qu'ils occupent chacun l'un des postes de directeurs des services suivants : service marketing, service des ressources humaines et service financier. Par ailleurs on sait aussi que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Le financier est le moins ancien dans l'entreprise et qu'il n'a pas d'enfants à charge. \item Xavier a des enfants à charge. \item Yves est plus ancien dans l'entreprise que le directeur marketing. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Xavier est directeur financier. \textbf{B.~} Yves est directeur des ressources humaines. \textbf{C.~} Zoran est le moins ancien. \textbf{D.~} Le directeur des ressources humaines est le plus ancien des trois. \medskip \item Une société de location propose à une entreprise de travaux publics trois types de contrats pour la location d'un engin. Ces contrats sont valables à partir du 1\up{er} janvier 2012 : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Contrat \no 1 : le montant mensuel de la location est de \np{2000}~\euro{} et ce montant mensuel augmentera de $\alpha = 10$\,\% chaque année au 1\up{er} janvier (la première augmentation ayant donc lieu le 1\up{er} janvier 2013). \item Contrat \no 2 : le montant annuel de la location est de $a = \np{41000}$~\euro{} pour 2012 et il augmente de $b = \np{4000}$~\euro{} chaque année, dès le 1\up{er} janvier 2013. \item Contrat \no 3 : le montant mensuel de la location est de \np{3000}~\euro{} pour janvier 2012 et il augmente de $\beta = 2\,\%$ les 1\up{er} janvier et 1\up{er} juillet de chaque année et ce dès le 1\up{er} juillet 2012. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La société de location précise d'autre part à l'entreprise que la location de l'engin est valable pour des années complètes d'utilisation et que le montant total dû pour l'année est payable en début d'année. Soit $n$ le nombre d'années de location. On désigne par $u_n,\: v_n$ et $w_n$ respectivement le montant annuel de la location (en euros) pour les contrats \no 1, \no 2 et \no 3. \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} $u_n = u_1(1 + \alpha)^{n-1}$ \textbf{B.~} $w_n = w_1(1 + \beta)^{2n-2}$ \textbf{C.~} $v_n = a + (n - 1)b$ \textbf{D.~} Le montant annuel de la location avec le contrat \no 1 atteint le montant annuel de la location avec le contrat \no 3 pour $n = \dfrac{\ln w_1 - \ln u_1}{\ln(1 + \alpha) - 2\ln (1 + \beta)}$. \medskip \item Trois équipes de football d'écoles de commerce ont disputé un mini championnat entre-elles. Chaque équipe a joué une seule fois contre chaque adversaire. Vous trouverez ci-joint des informations incomplètes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline Equipe &Nombre de parties jouées&Nombre de parties gagnées&Nombre de parties perdues& Nombre de parties nulles&Nombre de buts marqués&Nombre de buts encaissés\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline X &2 &? & 1 &? &3 &2\\ \hline Y &? &? &1 &1 &0 &?\\ \hline Z &? &? &? &? &? &1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} L'équipe X a gagné une seule fois. \textbf{B.~} Le match entre les équipes Y et Z s'est terminé par un match nul. \textbf{C.~} L'équipe X a marqué plus de buts que les 2 autres équipes. \textbf{D.~} L'équipe X a battu l'équipe Y, 2 buts à 1. \medskip \item Ce matin, je suis parti avec $x$~\euro{} en poche et sur mon chemin j'ai rencontré trois personnes nécessiteuses. J'ai donné au premier 1~\euro{} de plus que la moitié de ce que j'avais en poche. Au second, j'ai remis 2~\euro{} de plus que la moitié de ce qui me restait alors. Le troisième a reçu 3~\euro{} de plus que la moitié de ce qui me restait à ce moment là. Il me reste 1~\euro. À partir de ces informations, on peut conclure que : \textbf{A.~} J'ai donné au premier $\dfrac{x+1}{2}$~\euro. \textbf{B.~} Après avoir donné de l'argent au second, il me restait $\dfrac{x+10}{4}$~\euro. \textbf{C.~} J'ai donné au troisième $\dfrac{x+14}{8}$~\euro. \textbf{D.~} J'ai distribué 42~\euro. \medskip \item Dans un groupe composé de $x$ étudiants, on a relevé la couleur des yeux (brun, noir et bleu) et la couleur des cheveux (blond et noir) et les résultats sont les suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 20 étudiants ont les yeux bleus et les cheveux blonds; \item[$\bullet~~$] 60 ont les yeux noirs et les cheveux noirs ; \item[$\bullet~~$] 42 ont les cheveux blonds; \item[$\bullet~~$] 50 ont les yeux bruns ; \item[$\bullet~~$] 72 ont les yeux noirs. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Le pourcentage de ceux qui ont les yeux bruns et les cheveux noirs est de $\dfrac{40}{x}$\,\%. \textbf{B.~} $(x -120)$ étudiants ont les yeux bleus. \textbf{C.~} Le groupe est composé d'au moins 152 étudiants. \textbf{D.~} Il y a plus d'étudiants avec des cheveux noirs que des cheveux blonds. \medskip \item Dans une entreprise de \np{3000} personnes, le salaire moyen est de \np{2000}~\euro. Le salaire moyen des hommes est de \np{3000}~\euro, celui des femmes est de \np{1500}~\euro. Les 10\,\% de femmes les moins bien payées ont un salaire moyen de \np{1000}~\euro. \textcolor{blue}{À partir de ces informations, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Il y a un tiers d'hommes dans l'entreprise. \textbf{B.~} C'est un homme qui gagne le plus. \textbf{C.~} Si on retire le plus gros salaire gagné par un homme (\np{10000}~\euro), le salaire moyen des hommes devient inférieur à \np{2990}~\euro. \textbf{D.~} Les 10\,\% de femmes les moins bien payées gagnent moins de 3\,\% de la masse salariale totale. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercices \no 7 à 12 : Raisonnement mathématique} \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6} \item La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = a + bx\text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. La courbe représentative de $f$ passe par le point de coordonnées (0~;~1). En ce point, la tangente à la courbe a comme pente 1. \textbf{A.~} $f'(x) = b(1 + x)\text{e}^{-x}$. \textbf{B.~} $a = b = 1$. \textbf{C.~} $f$ admet un maximum qui vaut $1 + \text{e}$. \textbf{D.~} L'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$, avec $- 1 < a < 1$. \medskip \item On considère la fonction : $f (x) = \dfrac{2\ln x + 1}{x}$. Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$. \textbf{A.~} La droite $y = 0$ est une asymptote à $(C)$. \textbf{B.~} La droite $x = 0$ est une asymptote à $(C)$. \textbf{C.~} Sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$ la fonction $f$ est décroissante. \textbf{D.~} Les coordonnées du point d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses sont $\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~0\right)$. \item Soit la courbe $D$ d'équation $y = m x + 5$,\: $m \in \R$ et la courbe $P$ d'équation $y = ax^2 + bx + c$ avec $a,\:b,\:c \in \R$ et $a < 0$. Un point d'intersection des 2 courbes $P$ et $D$ est le point A d'abscisse $\dfrac{5}{2}$. La courbe $P$ a pour maximum le point B de coordonnées (2~;~7). \textbf{A.~} On a deux équations $4a + b = 0$ et $4a + 2b + c = \dfrac{5}{2}$. \textbf{B.~} On a une troisième équation $\dfrac{5}{2} m + 5 - \dfrac{25}{4}a - \dfrac{5}{2}b - c = 0$. \textbf{C.~} De l'énoncé, on conclut que $\left\{\begin{array}{l c r} a &=& - 8 + 10m\\ b &=& 32 - 40m\\ c &=& - 25 + 40m \end{array}\right.$ \textbf{D.~} Si $m = - 2$, les courbes $P$ et $D$ se coupent au point A et à un autre point d'abscisse $\dfrac{11}{7}$. \medskip \item Dans un plan orthonormé, on trace un carré A dont les sommets ont les coordonnées (2~;~2), $(2~;~-2)$, $(-2~;~-2)$ et $(-2~;~2)$. On trace également un cercle B de centre (0~;~0) et de rayon 2. On trace un second carré C dont les sommets sont les points d'intersection du cercle avec les 2 droites $x = 0$ et $y = 0$. On considère un point $p$ de coordonnées $(x~;~y)$. \textbf{A.~} Le point $p$ est à l'intérieur du carré A si $|x| \leqslant 2$ et $|y| \leqslant 2$. \textbf{B.~} Le point $p$ est à l'intérieur du cercle B si $\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 2$. \textbf{C.~} Le point $p$ est à l'intérieur du carré C si $|y| \leqslant |x| + 2$. \textbf{D.~} Sachant que le point $p$ est à l'intérieur du carré A, la probabilité que $p$ soit à l'intérieur du cercle B sans être à l'intérieur du carré C est de $\frac{\pi - 2}{4}$. \medskip \item Si $\left( 1 - \dfrac{1}{100}\right)^n \leqslant \dfrac{1}{2}$ alors : \textbf{A.~} $n \leqslant \ln \left(\dfrac{0,5}{1 - \frac{1}{100}} \right)$. \textbf{B.~} $n \geqslant - \dfrac{\ln 2}{\ln(99) - \ln (100)}$. \textbf{C.~} $n \geqslant \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,99)}$. \textbf{D.~} $n \leqslant \ln \left(0,5 - 100\right)$. \item Soit la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = 3x + \dfrac{1}{x + 2}$. On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté à un repère. \textbf{A.~} La courbe $(C)$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $3,5$. \textbf{B.~} $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = 6 + \ln 2$. \textbf{C.~} La droite d'équation $y = 3$ est asymptote verticale à $(C)$. \textbf{D.~} La fonction $g$ définie par $g(x) = \ln [f(x)]$ est croissante sur $]- 2~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercices \no 13 à 18 : Problème mathématique} \medskip \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres nécessitent les résultats obtenus dans les questions précédentes.\\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{12} \item Une société souhaite conquérir de nouveaux marchés. Pour élargir sa gamme de produits, elle décide de racheter une unité de production qui peut fabriquer deux types d'articles (X et Y) et dont l'organisation actuelle est présentée ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} &Article X &Article Y\\ \hline Quantités produites et vendues &\np{2000} &\np{1000}\\ \hline Prix de vente unitaire en euros &30 &20\\ \hline Charges variables de production unitaires en euros &12 &10\\ \hline Charges variables de distribution unitaires &\multicolumn{2}{|c|}{10\,\% du prix de vente}\\ \hline Charges fixes totales &\multicolumn{2}{|c|}{\np{20000}~\euro}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Le chiffre d'affaire total est égal à \np{80000}~\euro. \textbf{B.~} Les charges variables de distribution de Y s'élèvent à \np{2000}~\euro. \textbf{C.~} Le résultat global est égal à \np{18000}~\euro. \textbf{D.~} Pour que le résultat soit au moins égal à \np{22800}~\euro, il faudrait que les charges variables de distribution unitaires soit au plus égal à 5\,\% du prix de vente. \medskip \item Cette unité de production fabrique ces deux articles à partir d'une seule machine dont les temps d'utilisation en minutes sont de 1,2 pour X et 2,4 pour Y. La capacité de l'atelier de production est de 100 heures machine. En raison de la concurrence de plus en plus sensible, la société met au point un système de prix dégressif consenti aux clients. Le prix de vente de chaque article diminue désormais en fonction de la quantité vendue sur le modèle suivant : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.7} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} &Article X &Article Y\\ \hline Quantités vendues &$x$ & $y$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}Prix de vente unitaire &$30\left(1 - \dfrac{x}{\np{6000}}\right)$ &$20\left(1 - \dfrac{y}{\np{4000}}\right)$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \renewcommand\arraystretch{1} \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que lorsque la capacité de l'atelier est entièrement utilisée :} \medskip \textbf{A.~} $x = \np{5000} - 2y$. \textbf{B.~} Le chiffre d'affaires total est égal à : $\np{25000} + 60y - 0,025 y^2$. \textbf{C.~} Le chiffre d'affaires est maximum lorsque $y = \np{1000}$. \textbf{D.~} Le chiffre d'affaires est minimum lorsque $x = \np{2600}$. \medskip \item Le responsable des ventes de cette entreprise organise une formation aux articles X et Y destinés aux nouveaux commerciaux. Les opérations ou tâches à mener sont répertoriées dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}c|>{\small}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline Nom tâche& Nature& Durée en jours &Tâches précédentes*\\ \hline T1& Choisir le formateur &3 &T3\\ \hline T2& Définir avec lui le plan de formation &2 &T1\\ \hline T3& Choisir les dates et lieux &1 &Aucune\\ \hline T4& Sélectionner les formés &2 &Aucune\\ \hline T5& Rédiger et transmettre la convocation &4 &T2, T3 et T4\\ \hline T6& Informer les chefs de vente &5 &T3 et T4\\ \hline T7& Réaliser la formation &5 &T5 et T6\\ \hline \multicolumn{4}{l}{* Tâches qui doivent être préalablement achevées}\\ \end{tabularx} \end{center} Pour pouvoir superviser l'ensemble des opérations, on représente un calendrier où n'apparaissent que la numérotation des jours, le début et la fin de chacune des tâches évoquées ci-dessus, sachant que l'entreprise souhaite que la formation soit réalisée dans les plus courts délais. Une tâche débute toujours en début de journée et se termine toujours en fin de journée. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Exemple :\\ Numéro jour $\Rightarrow \underbrace{1\quad 2\quad 3}$ \quad \quad$\underbrace{4 \quad 5}$ \quad\quad\quad $\underbrace{6\quad 7\quad 8}$\\ \qquad\qquad\qquad\qquad Tâche M \quad$\underbrace{\text{Tâche N}\phantom{text{T}}}$ Tâche O\\ \hspace{4.8cm} Tâche P\\ Lecture du \og calendrier \fg{} de l'exemple : la tâche M dure 3 jours. La tâche N dure 2 jours et ne peut commencer avant la tâche M.\\ La tâche O dure 3 jours et ne peut commencer avant la tâche N. La tâche P dure 4 jours et ne peut commencer avant la tâche M.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans toute la suite : tout changement éventuel dans la durée d'une tâche quelconque doit être pris en compte indépendamment des autres changements. \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} Le retard maximum que la tâche T6 peut enregistrer sans retarder l'ensemble des opérations, ne doit pas excéder trois jours. \textbf{B.~} Le retard maximum que la tâche T2 peut enregistrer sans que la durée totale des opérations soit modifiée, ne doit pas excéder un jour. \textbf{C.~} Si aucun retard n'est pris dans aucune tâche, l'ensemble des opérations demandera exactement 15 jours. \textbf{D.~} Si un retard de 6 jours se produit pour la tâche T6, l'ensemble des opérations demandera exactement 21 jours. \medskip \item Afin de moderniser sa gamme de produits, cette entreprise a mis au point un nouvel article noté Z. Elle réalise une étude de marché sur $200$ personnes répartis dans trois régions différentes. Les résultats de cette enquête sont donnés dans le tableau ci-dessous (où $\alpha$ désigne un réel positif) et ont montré que 30\,\% de ces personnes interrogées ont acheté l'article Z. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Région &Proportion de personnes interrogées& Fréquence d'achat du produit Z\\ \hline 1 &0,2 &0,35\\ \hline 2 &0,5 &0,40\\ \hline 3 &0,3 &$\alpha$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} $\alpha = 0,25$. \textbf{B.~} La proportion d'acheteurs du nouvel article Z provenant de la région 2 est égale à $0,40$. \textbf{C.~} Le nombre d'acheteurs de la région 1 est égal au double de celui de la région 3. \textbf{D.~} La proportion de personnes provenant de la région 1 et ayant acheté le produit Z est égale à $0,07$. \medskip \item L'article Z se présente sous la forme d'un cône de hauteur $h$ mètres et dont la base est un disque de rayon $r$ mètres. La formule donnant son volume est $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$. La société s'intéresse à deux formules d'emballage de cet article : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la première notée E$_1$ est formée par un cylindre en carton dont la base est un disque de rayon $r$ mètres et dont la hauteur est $h$ ; \item[$\bullet~~$] la seconde notée E$_2$ est formée par un parallélépipède en carton dont la base est un carré de côté égal à $2r$ mètres et dont la hauteur est $h$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour les deux formules, le volume disponible entre l'emballage et l'article Z est meublé par de la mousse. \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} La surface en carton en m$^2$ de l'emballage E$_1$ est égale à $2\pi r^2 h$. \textbf{B.~} La surface en carton en m$^2$ de l'emballage E$_2$ est égale à $4r(2r + h)$. \textbf{C.~} Le volume en m$^3$ occupé par la mousse de l'emballage E$_1$ est égal à $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$. \textbf{D.~} Le volume en m$^3$ occupé par la mousse de l'emballage E$_2$ est égal à $r^2h\left(4 - \dfrac{\pi}{3}\right)$. \medskip \item Le coût d'un m$^2$ de carton est noté $c_c$ et le coût d'un m$^3$ de mousse est noté $c_m$. À ces coûts s'ajoutent les frais fixes pour la fabrication d'un emballage E$_1$ (notés $f_1$) et les frais fixes pour la fabrication d'un emballage E$_2$ (notés $f_2$). Tous ces prix sont donnés en euros. On appelle $p_1$ (respectivement $p_2$) le prix de revient en euros d'un emballage E$_1$ (respectivement E$_2$). \textcolor{blue}{À partir des informations précédentes, on peut conclure que :} \medskip \textbf{A.~} $p_1 = 2\pi r\left[(r + h)c_c + \dfrac{rh}{3}c_m \right] + f_1$. \textbf{B.~} Si $f_1 = f_2$ alors $p_1 < p_2$. \textbf{C.~} Si la hauteur du cône est divisé par 2 alors le coût du carton et le coût de la mousse sont réduits de moitié pour l'emballage E$_2$. \textbf{D.~} Le coût du carton de l'emballage E$_2$ est au moins 10\,\% plus cher que celui de l'emballage E$_1$. \end{enumerate} \end{document}