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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 25 avril 2023}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercices 1 à 5 : Raisonnement logique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une famille est composée des parents (Yves et Véronique) et de leurs quatre enfants (Louis, Simon, Pierre et Élise). Les 6 personnes viennent de se peser.

Pierre pèse plus que sa mère. 

Louis pèse la moitié du poids de Véronique.

Élise pèse plus que Louis et pèse moins que Simon.

Le poids de Simon est le tiers du poids de son père qui pèse plus que son épouse.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Louis a le poids le plus faible de la famille.
		\item Dans la famille, Yves a le poids le plus élevé.
		\item Le poids d'Yves est égal à une fois et demie celui de sa femme.
		\item Simon et Élise réunis pèsent plus que leur père.
	\end{enumerate}
\item Sophie souhaite reconstituer l'arbre généalogique de sa famille. Mais elle ne dispose que de quelques éléments :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Aucun membre de la famille n'a le même prénom;
\item Son père avait trois oncles, c'est-à-dire des frères de son père: Xavier, Yves et Zénobe ;
\item Xavier, Yves et Zénobe ont eu quatre garçons (Alexis, Bastien, Cédric et Damien) et deux filles (Émilie et Florence) ;
\item Yves a eu la famille la plus nombreuse;
\item Émilie est enfant unique;
\item Damien n'a qu'un frère et pas de sœur;
\item Florence est la sœur d'Alexis et a un autre frère;
\item Xavier n'a pas eu de fille;
\item Le seul frère de Cédric est plus âgé que Bastien.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que : 

	\begin{enumerate}
		\item Le père d'Émilie avait trois frères.
		\item Yves a eu 3 enfants.
		\item Le frère de Damien est Cédric.
		\item Le grand-père de Sophie s'appelait Yves.
	\end{enumerate}
\item Un tournoi d'échec accueille $128$ joueurs. Le tournoi se joue en confrontation directe après tirage au sort. Chaque partie est à élimination directe. Le vainqueur continue le tournoi et celui-ci s'arrête pour le perdant. \np{6300}~coups ont été joués au cours du tournoi.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $127$ parties ont dû être organisées pour décider du vainqueur du tournoi.
		\item Le nombre moyen de coups joués par partie est supérieur à 25.
		\item Le nombre moyen de parties par joueur est supérieur à 2.
		\item Le vainqueur du tournoi aura battu au total 8 adversaires.
	\end{enumerate}
\item Un père lègue son héritage de \np{150000}~\euro à ses 5 descendants. Les 5 parts léguées ne sont pas égales.
Mais on sait que chaque descendant recevrait la même part :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item si le père donnait \np{10000}~\euro{} de plus au premier;
\item si le père reprenait \np{1000}~\euro{} au deuxième;
\item si le père multipliait par 1,5 la part du troisième; 
\item si le père divisait la part du quatrième par $1,5$ ;
\item et que le père reprenait \np{4000}~\euro{} au cinquième.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Le premier et le troisième ont reçu des parts d'une valeur identique.
		\item C'est le deuxième qui a reçu la part la plus élevée.
		\item La part la plus élevée est égale à $1,5$ fois la 2\up{e} part la plus élevée.
		\item La moyenne des parts léguées est de \np{28500}~\euro.
	\end{enumerate}
\item Pour le premier semestre de l'année, une entreprise reçoit une aide égale à \np{3400}~\euro{} pour organiser des formations à son personnel. L'entreprise organise pour ses $200$ salariés, deux formations, d'une journée chacune et à des dates différentes du premier semestre de l'année:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item La formation A : maîtriser un tableur%le logiciel Excel ;
\item La formation B : comptabilité avancée.
\end{itemize}

Le service des ressources humaines a confié ces formations à deux intervenants externes : M. Xavier pour la formation A et M\up{me} Dupond pour la formation B. Les intervenants et le service des ressources humaines ont trouvé un accord pour un tarif journalier en fonction du nombre de participants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 100~\euro{} par participant pour les dix premiers inscrits à la formation A et 20~\euro{} pour chaque participant supplémentaire;
\item 120~\euro{} par participant pour les quinze premiers inscrits à la formation B et 25~\euro{} pour chaque participant supplémentaire.
\end{itemize}

L'accord n'inclut pas les frais de repas et déplacement. Ils sont facturés par les intervenants et s'ajoutent aux tarifs liés aux interventions. Pour les frais de repas et déplacement, M. Xavier a facturé 100~\euro{} et M\up{me} Dupond $200$~\euro.

On sait que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 30 salariés ont participé à une et une seule des deux formations proposées; 
\item 160 salariés n'ont suivi aucune des deux formations proposées;
\item M. Xavier a encaissé au total \np{1200}~\euro.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item $10$ salariés ont suivi les deux formations proposées.
		\item $20$ salariés ont suivi la formation de M. Xavier.
		\item M\up{me} Dupond a encaissé au total \np{2300}~\euro.
		\item Compte tenu de l'aide reçue, ces formations n'ont coûté à l'entreprise qu'une somme équivalente aux frais de repas et de déplacement des intervenants.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Exercices \no 6 à 10: Raisonnement mathématique}

\medskip

\begin{enumerate}[start=6]
\item On considère la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = x + \ln (-2x + 2).\]

On désigne par $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$.

	\begin{enumerate}
		\item $f$ est définie sur $]l~;~+\infty[$
		\item $f'(x) = \dfrac{x}{ x - 1}$
		\item $f$ est concave sur $\mathcal{D}_f$
		\item $f$ admet un maximum en $0$.
	\end{enumerate}
\item On considère un dé qui a été truqué pour que :
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item le numéro 6 sorte une fois sur trois;
\item les autres numéros (1 ; 2 ; 3 ; 4; 5) ont chacun la même probabilité de sortir.
\end{itemize}

On lance ce dé une fois, et on note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item l'évènement \og le 6 est sorti\fg{} ;
\item $A$ : l'évènement \og le 1 est sorti\fg{} ;
\item $T$ : l'évènement \og le 3 est sorti\fg{} ;
\item $I$: l'évènement \og il est sorti un numéro impair\fg.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Les évènements $S$ et $A$ ne sont pas indépendants.
		\item Les évènements $T$ et $I$ sont incompatibles.
		\item Les évènements $S$ et $I$ sont équiprobables.
		\item $p(A) = \dfrac15$
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = \ln \left(x^2 - 4\right).\]

On désigne par $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$.

	\begin{enumerate}
		\item Sur $\mathcal{D}_f,\:  f(x) = \ln (x+2) + \ln(x - 2)$
		\item $\mathcal{D}_f =\R -[-2~;~ 2]$
		\item Sur $\mathcal{D}_f, \: f'(x) = \dfrac{2}{x^2 - 4}$
		\item $f$ est paire.
	\end{enumerate}
	
\item Deux évènements $A$ et $B$ d'un même univers vérifient:

$p(A) = 0,2\quad  p(B) = 0,8 \quad p(A \cap B) = 0,1$

Deux évènements indépendants $C$ et $D$ d'un même univers vérifient: 

$p(C) = 0,3\quad  p(C \cup D) = 0,65$

	\begin{enumerate}
		\item $p(A \cap  B) = 0,16$
		\item $p(A \cup B) = 0,9$
		\item $p(D) = 0,5$
		\item $C$ et $D$ sont des évènements indépendants.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction f définie par $f(x) = \dfrac{x}{1 +x^2}$ 

On désigne par $\mathcal{D}_f$  l'ensemble de définition de $f$.

	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble de définition est $\mathcal{D}_f = \R - \{0\}$.			\item On a $f'(x)= \dfrac{1 - x^2}{\left(1+x^2\right)}$
		\item Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
		\item La fonction $f$ possède deux extremums.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercices \no 11 à 15 : Problème mathématique}

\medskip

\textbf{Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres nécessitent les résultats obtenus dans les questions précédentes.}

\medskip

\begin{enumerate}[start=11]
\item Monsieur Martin, directeur d'une entreprise, projette d'aménager un local disponible, en cafétéria.

Afin de connaître le pourcentage de salariés favorables à la création de cette cafétéria, Monsieur Martin réalise, le premier février de cette année, une enquête auprès de l'ensemble de son personnel, composé de $300$~salariés. Dans cette entreprise, deux tiers des salariés sont des femmes.

Les résultats de cette enquête sont les suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 60\,\% des femmes sont favorables à la création d'une cafétéria;
\item Deux tiers des salariés (hommes et femmes confondus) sont favorables à la création d'une cafétéria.
\end{itemize}

À partir des informations précédentes, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Le nombre de femmes favorables à la création d'une cafétéria est égal à 120.
		\item La proportion d'hommes favorables à la création d'une cafétéria est inférieure à 60\,\%.
		\item Le nombre d'hommes qui ne sont pas favorables à la création d'une cafétéria est inférieur à 30.
		\item 35\,\% des salariés favorables à la création d'une cafétéria sont des hommes.
	\end{enumerate}
\item Suite aux résultats de ce sondage, Monsieur Martin décide donc le lancement de ce projet dont la planification des tâches est donnée dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Tâche&Libellé&Durée en jours&Tâches antécédentes\\ \hline
A &Plomberie&3&\\ \hline
B&Électricité&2&\\ \hline
C&Isolation phonique&3&A et B\\ \hline
D& Pose de l'évier&1&A\\ \hline
E& Peinture (portes et plafond)&1&C et D\\ \hline
F& Carrelage (sol et murs)&3&C, D et E\\ \hline
G& Installation mobilier&1&F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Une tâche débute toujours en début de journée et se termine toujours en fin de journée. Une tâche ne peut débuter que lorsque les éventuelles tâches antécédentes sont terminées.

Pour mieux visualiser l'enchaînement des différentes tâches, un calendrier peut être réalisé selon le modèle suivant:

\emph{Exemple fictif} :

{\Large Jour $\to \underbrace{1 \qquad 2 \qquad 3}_{\text{Tâche M}} \qquad \underbrace{\underbrace{4 \qquad 5}_{\text{Tâche N}}  \qquad \underbrace{6 \qquad 7 \qquad 8}_{\text{Tâche O}}}_{\text{Tâche P}}$}

 Lecture du calendrier de l'exemple :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item La tâche M dure 3jours;
\item La tâche N dure 2 jours et ne peut commencer avant la fin de la tâche M (tâche antécédente) ;
\item La tâche O dure 3 jours et ne peut commencer avant la fin de la tâche N (tâche antécédente) ;
\item La tâche P dure 4 jours et ne peut commencer avant la fin de la tâche M (tâche antécédente).
\end{itemize}

À des informations précédentes, on peut conclure que :

\begin{enumerate}
\item La durée totale des travaux est égale à 14 jours.
\item Les travaux de peinture des portes et du plafond peuvent démarrer le 4\up{e} jour.
\item Si les travaux d'isolation duraient un jour de plus que prévu (4 jours au lieu de 3 jours), cela décalerait la fin de l'ensemble des travaux d'un jour.
\item Si les travaux d'électricité duraient un jour de plus que prévu (3 jours au lieu de 2 jours), la durée totale des travaux serait inchangée.
\end{enumerate}

\item Le local aménagé en cafétéria est une pièce rectangulaire dont les dimensions sont les suivantes

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Largeur $= 5$ mètres;
\item Longueur $= 10$ mètres; 
\item Hauteur $= 3$ mètres.
\end{itemize}

Sur chacun de ses quatre murs, ce local est équipé d'une porte rectangulaire dont la largeur est 1,25 mètre et dont la hauteur est de 2 mètres. Monsieur Martin opte pour la pose d'un carrelage sur le sol et sur tous les murs du local et pour la pose d'une peinture sur le plafond et les portes.

Monsieur Martin visite un premier fournisseur de carrelage qui lui propose un carrelage mural et un carrelage pour le sol dont le coût total est de \np{4500}~\euro.

Lors de la visite auprès d'un deuxième fournisseur de carrelage, Monsieur Martin est séduit par deux produits. Le prix au m$^2$ du carrelage mural de ce deuxième fournisseur est supérieur de $5$~\euro{} à celui du premier fournisseur.

Mais pour être compétitif, le deuxième fournisseur propose à Monsieur Martin, un prix au m$^2$ sur le carrelage au sol égal à la moitié de celui du premier fournisseur car il en possède une importante quantité en stock.

Monsieur Martin choisit le deuxième fournisseur dont la facture totale est de \np{3650}~\euro.

À partir des informations précédentes, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item La surface totale à carreler (sol + murs) est égale à $140$~m$^2$
		\item Le prix au m$^2$ du carrelage mural du deuxième fournisseur est égal à 25~\euro.
		\item Le prix au m$^2$ du carrelage au sol du premier fournisseur est égal à 45~\euro.
		\item La remise accordée par le deuxième fournisseur pour le carrelage au sol est égale à \np{1250}~\euro.
	\end{enumerate}
\item Pour la peinture du plafond et des portes, quatre types de peintures (P1, P2, P3 et P4) figurent dans l'ensemble des choix de Monsieur Martin qui souhaite réaliser 3 couches. Pour chacun des 4 types de peintures, un litre de peinture couvre une surface de 8 m$^2$.

Il dispose des notes (de 0 à 10) sur 4 caractéristiques de ces 4 types de peintures:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Type peinture& Résistance aux chocs& Résistance à  l'humidité&Prix& Éventail de couleurs\\ \hline
P1& 8& 10& 4& 5\\ \hline
P2& 9& 7& 4& 5\\ \hline 
P3& 6& 7& 8& 7\\ \hline
P4& 5& 6& 8& 8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour faire son choix, Monsieur Martin accorde une importance différente aux quatre caractéristiques et leur donne les poids suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 30\,\% pour la résistance aux chocs;
\item 20\,\% pour la résistance à l'humidité;
\item 40\,\% pour le prix;
\item 10\,\% pour l'éventail des couleurs.
\end{itemize}

Les données de cet exercice peuvent être présentées sous forme de matrice.
Définition d'une matrice: Soient $n$ et $p$ deux entiers positifs, on appelle matrice $A$ de dimensions $(n,\,p)$, tout tableau de nombres réels comportant $n$ lignes et $p$ colonnes de la forme:

\[A_{(n,\,p)} = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots& a_{1p}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots& a_{2p}\\
\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots& a_{np}\\
\end{pmatrix}\]

$a_{ij}$ est donc le terme général de la matrice $A$ se trouvant à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$.

Produit de deux matrices $A \times B$ :

Pour pouvoir réaliser le produit de deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice $A$ soit égal au nombre de lignes de la deuxième matrice $B$.

On appellera alors $C$ la matrice égale à $A \times B$ avec :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $a_{ij}$ qui est le terme général de la matrice $A$
\item $b_{ij}$ qui est le terme général de la matrice $B$
\item $c_{ij}$ qui est le terme général de la matrice $C$
\end{itemize}

$C_{(n, q)} = A_{(n,p)} \times  B_{(p, q)}$ est une matrice à $n$ lignes et $q$ colonnes avec 
\[c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b{pj}\]

\emph{Exemple} : Déterminer $C = A \times B$ avec :

\[A_{(2,~2)} = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} \qquad B_{(2,~2)} = \begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}\]

$C_{(2,~2)} = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} \times  B_{(2,~2)} = \begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3\\5&6\end{pmatrix}.$

Avec par exemple : $2 = 1\times2 + 0\times 1$.

\emph{Explication des calculs} : $c_{11}$ se trouve sur la première ligne et la première colonne de la matrice $C$. Pour trouver sa valeur, on fait le produit de la première ligne de la matrice $A$ par la première colonne de la matrice $B$ de la façon suivante :

\[ c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} = 1 \times 2 + 0 \times 1 = 2.\]

\smallskip

On appelle $C$ la matrice des caractéristiques des 4 types de peintures et $P$ la matrice des poids attribués par Monsieur Martin avec :

\[C = \begin{pmatrix}8&10&4&5\\9&7&4&5\\
6&7&8&7\\5&6&8&8\end{pmatrix} \qquad  P = \begin{pmatrix}0,3\\0,\\0,4\\0,1 \end{pmatrix}\]

La matrice des notes attribuées par Monsieur Martin sera notée $N$ (avec $N = C \times P$) et son
terme général sera noté $n_{ij}$.

Monsieur Martin achètera le type de peinture qui a obtenu la note la plus forte.

À partir des informations précédentes, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item $N$ est une matrice à une ligne et quatre colonnes.
		\item La note la plus forte attribuée par Monsieur Martin est égale à 7,1.
		\item $n_{41}$ correspond à la note la plus faible.
		\item Monsieur Martin doit acheter 22,5 litres de peinture de type P2.
	\end{enumerate}
\item Dans sa cafétéria, Monsieur Martin souhaite moduler le prix d'un repas (entrée + plat + dessert) en fonction du salaire mensuel du salarié.

On retient 2 tranches de salaires et donc 2 prix de repas différents.

Le prix du repas de la tranche 2 est majoré de 25\,\% par rapport à celui de la tranche 1.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tranche des salaires 	&Prix du repas en euros\\ \hline
1						&$x$\\ \hline
2						&7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On sait que 40\,\% des salariées femmes sont dans la tranche 1, que 70\,\% des salariés hommes sont dans la tranche 2 et qu'il n'y a pas eu de mouvement de personnel depuis l'enquête réalisée le 1\up{er} février de cette année.

À partir des informations précédentes, on peut conclure que : 

	\begin{enumerate}
		\item $x \leqslant 5,25$
		\item $110$ salariés hommes sont dans la tranche 1.
		\item Si tous les hommes déjeunent à la cafétéria (un repas par personne), ils règleront au total $658$~\euro.
		\item Si tout le personnel déjeune à la cafétéria (un repas par personne), un jour donné, la recette de la cafétéria sera supérieure à \np{2000}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}