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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Accès}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 8 avril 2021}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}
 
durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercices 1 à 5 : Raisonnement logique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pierre utilise son vélo pour effectuer le matin, le trajet de son domicile à son bureau et le soir le trajet identique mais en sens inverse. Ce trajet est composé de montées, de descentes et de plats.

Pierre roule à 10 km/h en montée, à 30 km/h en descente et à 15 km/h en plat.

Il a 2 heures de trajet aller-retour par jour.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Si le trajet comporte le même nombre de kilomètres de montées et de descentes, Pierre
met le même temps à l'aller qu'au retour.
		\item Pierre travaille à plus de 16 km de son domicile.
		\item Si le trajet aller comporte 4 km de montées et 8 km de descentes, Pierre met 16 minutes de plus sur le trajet retour.
		\item Si le trajet aller comporte 5 km de montées et 7 km de descentes, Pierre roule 10 minutes le matin sur le plat.
	\end{enumerate}
\item Lors de l'entretien du concours d'une école de management:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Si Pierre dit: « Je fais du sport, je postule pour une classe préparatoire, je n'ai pas d'ac-
tivité associative »,il ment une fois et une seule.
\item Si Pierre dit: «Je ne fais pas de sport, je n'ai pas d'activité associative », il ment une fois
et une seule.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Si Pierre dit qu'il ne fait pas de sport et qu'il postule pour une classe préparatoire, il ment 2 fois.
		\item En réalité, Pierre ne fait pas de sport.
		\item En réalité, Pierre fait du sport et n'a pas d'activité associative.
		\item En réalité, Pierre postule pour une classe préparatoire.
	\end{enumerate}
\item Trois salariés: Perrine, Pierre et Paul perçoivent, chaque mois, une prime de transport.

La prime de Paul vaut 3~\euro{} de moins que 7 fois celle de Perrine.

La prime de Pierre vaut 14~\euro{} de moins que trois fois celle de Paul et 13~\euro{} de plus que 12 fois celle de Perrine.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item La moyenne de la prime mensuelle de transport de ces 3 salariés est égale à 30~\euro. 
		\item La médiane de la prime mensuelle de transport de ces 3 salariés est égale à 25~\euro. 
		\item La prime mensuelle de transport de Perrine est supérieure à 5~\euro.
		\item La prime mensuelle de transport de Pierre est supérieure à 60~\euro.
	\end{enumerate}
\item Une grande entreprise propose à ses \np{1000} salariés trois formations: 

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item La formation A : Tableur
\item La formation B : Comptabilité
\item La formation C : Team Building
\end{itemize}

Nous disposons des informations suivantes:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $400$ salariés ont suivi la formation A, $200$ la formation B et $200$ la formation C.
\item $20$ salariés ont suivi les trois formations.
\item $100$ salariés ont suivi uniquement la formation C.
\item Le nombre de salariés qui ont suivi seulement les formation A et C est égal au nombre
de salariés qui ont suivi seulement les formations B et C. On note x ce nombre.
\item Le nombre de salariés qui ont suivi seulement les formations A et B est égal à 50.
\end{itemize}
À partir de ces informations, on peut conclure que : 

	\begin{enumerate}
		\item x=25.
		\item Le nombre de salariés qui ont suivi uniquement la formation B est égal à $100$.
		\item Le nombre de salariés qui ont suivi au moins deux formations est égal à $130$.
		\item Le nombre de salariés qui n'ont pas suivi de formation est égal à $370$.
	\end{enumerate}
\item Le code d'une carte bancaire est toujours composé de quatre chiffres de 0 à 9.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Si le code est un nombre divisible par 5, alors le nombre de combinaisons possibles est égal à \np{2000}.
		\item Le nombre de combinaisons paires possibles est égal à celui de combinaisons impaires possibles.
		\item Si un voleur a constaté que les deux premiers chiffres du code sont identiques, alors le nombre de combinaisons possibles est égal à $100$.
		\item Si un voleur se rappelle d'un chiffre de votre code et de son emplacement, alors le nombre de combinaisons possibles est égal à \np{1000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercices 6 à 10 : Raisonnement logique}

\medskip

\begin{enumerate}[start=6]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R \ \{1\}$ par :
\[f(x) = x^2- 4x + 3x - 1.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan.

	\begin{enumerate}
		\item $f$ est définie pour tout $x$ différent de 1.
		\item L'équation $f(x) = -4$ admet 2 racinesdistinctes.
		\item $f$ est croissante sur $]1~;~+\infty[$.
		\item Pour tout $x$ différent de 1, $f(x) = x - 3$.
	\end{enumerate}
\item On considère une fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère orthonormal du plan et dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(13,4)
\psframe(13,4)\psline(0,2)(13,2)\psline(0,3)(13,3)
\psline(1,0)(1,4)\psline(1.15,0)(1.15,2)\psline(1.25,0)(1.25,2)
\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.2,2.9){$0$} \uput[u](4,2.9){$\dfrac{1}{\text{e}}$}
\uput[u](7,2.9){$\text{e}$} \uput[u](10,2.9){$5$} \uput[u](12.6,2.9){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$}
\uput[u](7,1.9){$0$} \uput[u](8.5,1.9){$-$} \uput[u](10,1.9){$0$} \uput[u](11.5,1.9){$+$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](1.4,2){7}\uput[u](4,0){$\ln \frac12$}\uput[d](7,2){3}\uput[u](10,0){$\text{e}-2$}\uput[d](12.8,2){2}
\psline{->}(1.4,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)
\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(10.5,0.5)(12.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On peut alors affirmer que :

	\begin{enumerate}
		\item L'équation $f(x) = 0$ admet exactement $2$ solutions réelles distinctes.
		\item $f(0) = 7$.
		\item La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3 peut avoir pour équation $y = 2x + 4$.
		\item Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~\e[,\: f(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(\dfrac{\e^x - 1}{\e^x + 1}\right)$.

On désigne par $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$.

	\begin{enumerate}
		\item On a $\mathcal{D}_f = ]0~;~+\infty[$.
		\item $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f$ et, pour tout $x \in \mathcal{D}_f, \:  f'(x) = 
\dfrac{2\e^x}{\e^{2x} - 1}$.
		\item Pour tout $x \in \mathcal{D}_f, \:  f(x) < 0$.
		\item L'équation $f(x) = 1$ possède une unique solution : $\alpha = \ln \left(\dfrac{\e + 1}{\e - 1 }\right)$.
		\end{enumerate}

\item Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(\e^x + \e^{-x}\right)$.

On désigne par $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$ et par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan.
	\begin{enumerate}
		\item On a $\mathcal{D}_f = ]0~;~ +\infty[$.
		\item  $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f$ et, pour tout $x \in  \mathcal{D}_f, \: f'(x) = \frac{1}{\e^x + \e^{-x}}$.
		\item Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est $\dfrac{\e^{2a} - 1}{\e^{2a} + 1}$.
		\item $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète.L'ensemble de ses valeurs possibles est l'ensemble
des entiers naturels non nuls, c'est-à-dire $\N \backslash \{O\} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}$.

$X$ est définie de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $p$ est un réel fixé dans l'intervalle ]0~;~1[
\item[$\bullet~~$] pour tout entier non nul $k$, on pose : $P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \times p$.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item $P(X \geqslant 2) = 1 - p$.
		\item $P(X \leqslant 2) = p(2 - p)$.
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul.On peut en déduire que

$P(X = 1)+ P(X = 2) + \ldots + P(X = n+1)= 1- (1- p)^n$.
		\item Soit la fonction suivante $f(p) = \dfrac12 P(X = 2) + 1$.
		
On peut confirmer que la fonction $f$ admet deux racines réelles distinctes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercices 11 à 15 : Problème mathématique}

\medskip

\textbf{Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres nécessitent les résultats
obtenus dans les questions précédentes.}

\medskip

Une usine de fabrication de clous a vendu, pendant les 6 premiers mois de l'année dernière, les quantités suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 	&$x$ - Numéro du mois&$y$ - Quantité vendue en tonnes\\ \hline
Janvier &1		& 103\\ \hline
Février	&2		&106\\ \hline
Mars 	&3 		&109\\ \hline
Avril 	&4		&112\\ \hline
Mai 	&5		&115\\ \hline
Juin 	&6		&118\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les quantités vendues pendant les 6 mois suivants ont continué à progresser en suivant la même évolution.

Le prix de vente de ces clous était de 1~\euro{} le kilo.

\medskip

\begin{enumerate}[start=11]
\item À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item L'an dernier, la quantité vendue (en tonnes) pendant un mois spécifique peut être calculée par la fonction $y = f(x) = 3x + 100$,\: $x$ étant le numéro du mois.
		\item En décembre dernier, l'entreprise a vendu $136$ tonnes de clous.
		\item Entre début juillet dernier et fin décembre dernier, les ventes mensuelles ont progressé de 20\,\%.
		\item Sur les 6 derniers mois de l'année dernière, la moyenne des ventes mensuelles est supérieure à $125$ tonnes.
	\end{enumerate}
\item  La fonction $y = f(x)$ nous a permis de calculer la quantité vendue chaque mois. Pour calculer les quantités totales vendues depuis le début de d'année jusqu'à un pic spécifique, qu'on noter $m$, nous utiliserons les fonctions $F$ et $Y$. Elles se définissent comme suit:
3x2
\begin{center}$F(x) = 2 + 100x$ et $Y(m) = F(m + 0,5) - F(0,5)$\end{center}

À partir de ces informations, on peut conclure que :
	\begin{enumerate}
		\item $Y(l) = 100$.
		\item $Y(2) - Y(1) = 106$.
		\item La quantité totale, en tonnes, vendue l'an dernier est égale à $Y(12) = \np{1434}$.
		\item Pour l'an dernier, le montant total des ventes est supérieur à \np{1400000}~\euro.
	\end{enumerate}
\item En janvier de cette année (13\up{e} mois de l'étude), l'entreprise a décider d'augmenter son prix de vente en le passant de 1~\euro{} à $1,10$~\euro{} le kilo. Cette augmentation a eu un impact immédiat sur la quantité vendue.

$111,2$ tonnes ont été vendues sur le mois alors que l'on pouvait, selon notre étude, s'attendre à $y = f(13)$ tonnes vendues.

Cet impact s'exprime à travers le concept d'\og élasticité - prix de la demande\fg{} (ou \og élasticité - prix \fg).

L'élasticité-prix correspond au rapport entre la variation relative de la demande et la variation relative du prix. La variation relative de la demande est égale à la différence entre la quantité vendue et celle attendue par la quantité attendue.

La variation relative du prix se calcule suivant le même principe. 

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item La variation relative de la demande est de $-20$\,\%.
		\item L'élasticité-prix est ici égale à $-2$.
		\item Si l'entreprise n'avait pas augmenté son prix, son chiffre d'affaires du mois de janvier aurait été supérieur de \np{27800}~\euro.
		\item Si l'élasticité-prix, pour un produit, est positive, lorsque l'on augmente le prix de vente, les quantités vendues augmentent.
	\end{enumerate}
\item L'entreprise a analysé les ventes de l'an dernier, en France et à l'étranger, en fonction de ses commerciaux. lis sont au nombre de trois et s'appellent Pierre, Paul et Perrine.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Pierre a réalisé 40\,\% des quantités vendues par l'entreprise. Ses clients français repré- sentaient 60\,\% des quantités qu'ils a vendues.
\item 30\,\% des quantités vendues par Pauli 'ont été en France.
\item 80\,\% des quantités vendues par Perrine l'ont été à l'étranger et cela représentait 20 % des
quantités totales vendues par l'entreprise.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Paul a vendu 35\,\% des quantités totales vendues par l'entreprise.
		\item Sur le marché français, Pierre a vendu plus de clous que Perrine sur le marché étranger.
		\item L'entreprise a vendu moins de clous à l'étranger qu'en France.
		\item Perrine a vendu moins d'un tiers des clous vendus à l'étranger.
	\end{enumerate}
\item Les trois commerciaux (Pierre, Paul et Perrine) ont un salaire annuel composé d'une partie fixe et d'une partie variable.

Chacun de ces commerciaux reçoit un montant fixe qu'elles que soient les ventes annuelles de l'entreprise ils reçoivent également un montant variable basé sur leurs ventes annuelles en tonnes. Celui-ci sera parfois différencié en fonction des ventes en tonnes, en France et à l'étranger.

Les trois salaires annuels seront calculés de la manière suivante :

Salaire$_{\text{Pierre}} =$ Fixe$_{\text{Pierre}} + $ (Ventes$_{}$Totales$_{\text{Pierre}} \times \alpha$)

Salaire$_{\text{Paul}} =$ Fixe$_{\text{Paul}} +$ (Ventes$_{}$France$_{\text{Paul}} \times \alpha) +$ (Ventes$_{}$Etranger$_{\text{Paul}} \times \beta)$)

Salaire$_{\text{Perrine}} =$ Fixe$_{\text{Perrine}} +$ (Ventes$_{}$France$_{\text{Perrine}} \times 0,1 \times \alpha^2) +$ (Ventes$_{}$Etranger$_{\text{Perrine}} \times \beta)$.

\medskip

Nous avons les informations complémentaires suivantes, pour les salaires de l'an dernier: 

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Fixe$_{\text{Pierre}}$ est $20\,\%$ plus élevé que Fixe$_{\text{Paul}}$ ;
\item $\alpha = 40$~(\euro) ;
\item Salaire$_{\text{Pierre}} =$ Salaire$_{\text{Paul}}$ ;
\item Fixe$_{\text{Paul}} = \np{10000}$~\euro.
\end{itemize}

Après ré-analyse des ventes de l'année précédente, on a obtenu les chiffres suivants (en tonnes) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Commercial	&Quantités vendues en France&Quantités vendues à l'étranger\\ \hline
Pierre 		&350	&250\\ \hline
Paul 		&150	&400\\ \hline
Perrine		&50		&300\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Pierre a gagné \np{35000}~\euro{} l'année dernière.
		\item $\beta = 60$~(\euro).
		\item Le salaire annuel fixe de Perrine (Fixe$_{\text{Perrine}}$) aurait dû être de \np{15000}~\euro{} pour qu'elle eut gagné la même chose que Paul l'an dernier.
		\item Sachant que le salaire fixe de Perrine (Fixe$_{\text{Perrine}}$) n'a été que de \np{3000}~\euro{} l'an dernier, elle aurait dû négocier une commission à la tonne vendue en France différente des deux autres commerciaux, un $\alpha_{\text{Perrine}}$ différent, égal à $66$~\euro{} pour gagner la même chose que Pierre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}