\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen,color} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} %adresse de la vidéo du corrigé (semble comporter des erreurs) :https://www.youtube.com/watch?v=tFpiMqwlF5U \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Concours Accès}, %pdftitle = {11 avril 2024}, %allbordercolors = white} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Accès} \lfoot{\small{11 avril 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 11 avril 2024} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} durée de l'épreuve : 3~h \end{center} \bigskip \textbf{EXERCICES \No 1 À 5 : RAISONNEMENT LOGIQUE} \medskip \begin{enumerate} \item Le responsable Ressources Humaines d'une entreprise a reçu dix candidatures pour un poste de manager. Il a informé le directeur que parmi les candidats : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Il y a 6 femmes et 4 hommes. \item Ils sont tous titulaires d'un master et d'un seul dont la spécialisation est soit marketing, soit finance, soit communication digitale. \item Le nombre de candidats titulaires d'un master spécialisation marketing est égal à trois. \item Il y a un seul master spécialisation finance dont le titulaire est un homme. \end{itemize} \medskip À partir de ces informations, on peut conclure que : \textbf{A.} Les trois titulaires d'un master spécialisation marketing sont des hommes. \textbf{B.} Il y a autant de masters spécialisation marketing chez les femmes que de masters spécialisation communication digitale chez les hommes. \textbf{C.} Le nombre de masters spécialisation communication digitale chez les femmes est au moins égal à 3. \textbf{D.} Il y a plus de masters spécialisation marketing chez les femmes que chez les hommes. \item Dans une entreprise, Julie, Maeva et Sabine sont trois stagiaires. Chacune d'elles est affectée à un service parmi les trois suivants: Informatique, Ressources Humaines et Logistique. On sait que : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item La plus diplômée entre Julie et Maeva est la plus rémunérée des trois stagiaires. \item La plus rémunérée entre Maeva et Sabine est la plus diplômée des trois stagiaires. \item La moins diplômée entre Julie et Sabine est la plus rémunérée des trois stagiaires. \item La stagiaire affectée au service Logistique est moins rémunérée que la stagiaire affectée au service Ressources Humaines. \item La stagiaire affectée au service Informatique est moins diplômée que la stagiaire affectée au service Logistique. \end{itemize} \medskip À partir de ces informations, on peut conclure que : \textbf{A.} Julie est moins rémunérée que Sabine. \textbf{B.} Julie est la plus diplômée des trois stagiaires. \textbf{C.} Sabine est affectée au service Informatique. \textbf{D.} Maeva est affectée au service Ressources Humaines. \item Une enquête est réalisée, auprès de clients d'un magasin de bricolage, sur leurs achats au cours du mois écoulé, concernant 3 articles, à savoir: une tondeuse, un salon de jardin et un parasol. Sur les 300 personnes interrogées : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 62 ont répondu avoir acheté uniquement un salon de jardin, 120 avoir acheté un parasol et 40 avoir acheté une tondeuse. \item Les personnes ayant acheté uniquement un parasol sont 4 fois plus nombreuses que celles ayant acheté uniquement une tondeuse. \item Parmi les personnes ayant acheté une tondeuse, un quart d'entre elles ont également acheté un parasol mais pas de salon de jardin. \item 30 personnes ont à la fois acheté un parasol et un salon de jardin. \item 8 personnes ont acheté une tondeuse et un salon de jardin mais pas de parasol. \end{itemize} \medskip À partir de ces informations, on peut conclure que : \textbf{A.} 200 personnes n'ont pas acheté de salon de jardin. \textbf{B.} 80 personnes n'ont réalisé aucun achat de ces 3 articles. \textbf{C.} 4 personnes ont acheté une tondeuse, un salon de jardin et un parasol. \textbf{D.} 20 personnes ont acheté uniquement une tondeuse. \item Dans une équipe sportive, chaque fille a 2 fois plus de coéquipiers que de coéquipières. 40\,\% des membres composant cette équipe ont participé à l'entraînement de jeudi dernier. La moitié des filles et 23 garçons au total ont participé à cet entraînement. À partir de ces informations, on peut conclure que : \textbf{A.} Chaque garçon de ce groupe a deux fois moins de coéquipières que de coéquipiers. \textbf{B.} 40\,\% des garçons ont participé à l'entraînement de jeudi dernier. \textbf{C.} Le nombre de filles de cette équipe est égal à 32. \textbf{D.} Le nombre de garçons de cette équipe est un multiple de 3. \item Lors d'un interrogatoire, un suspect d'un vol a menti pour chacune de ces quatre affirmations suivantes : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item J'étais chez mes parents à la date du vol. \item Je n'ai jamais vu la victime du vol. \item Tous les membres de ma famille peuvent confirmer que j'avais une blessure à la main à la date du vol. \item J'ai actuellement un travail et je gagne bien ma vie. \end{itemize} \medskip À partir de ces informations, on peut conclure que : \textbf{A.} Le suspect était présent sur le lieu du vol. \textbf{B.} Le suspect a déjà vu au moins une fois la victime du vol. \textbf{C.} Tous les membres de sa famille peuvent confirmer qu'il n'avait pas une blessure à la main à la date du vol. \textbf{D.} Il n'a pas actuellement un travail et il ne gagne pas bien sa vie. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercices \no 6 à 10 : Raisonnement mathématique} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Soit la fonction $f$ définie par : \[f(x) = \dfrac{3+ \e^x}{1 - 2\e^x}.\] Soit $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$. \medskip \textbf{A.} Pour tout $x \in \R$, la fonction $f$ est définie \textbf{B.} $f'(x) = \dfrac{\e^x}{1 + 2\e^x} + \dfrac{2\e^x\left(\e^x + 3 \right)}{\left(1 - 2\e^x \right)^2}$. \textbf{C.} $f'(\ln (1)) = 7$ \textbf{C.} $f$ est strictement croissante pour tout $x \in \mathcal{D}_f$. \item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $]-\infty~;~ -5[ \cup ]-5~;~ +\infty[$. On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$ \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(11,3) \psframe(11,3)\psline(0,2.5)(11,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline(4.95,0)(4.95,2.5)\psline(5.05,0)(5.05,2.5) \psline{->}(2.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2)\psline{->}(8.5,2)(10.5,0.5) \uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.4,2.4){$- \infty$}\uput[u](5,2.4){$-5$}\uput[u](6.5,2.4){$-1$} \uput[u](8,2.4){$4$}\uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} \rput(6.5,1.25){0} \uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2.5){$+ \infty$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$}\uput[d](8,2.5){$5$} \uput[u](10.5,0){$1$} \rput(1,1.5){Variations} \rput(1,1.15){de $g$} \end{pspicture} \end{center} Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \ln (g(x)).\] \textbf{A.} Pour tout réel $x \in ]-1~;~+\infty[,\: g(x) \leqslant 5$ \textbf{B.} Pour tout réel $x \in ]-5~;~4],\: g'(x) \geqslant 0$ \textbf{C.} La fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[4~;~+\infty[$ \textbf{D.} La dérivée $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ est négative sur $[4~;~+\infty[$ \item On jette deux dés cubiques normaux et non pipés, l'un noir, l'autre blanc. Les faces de chacun des dés sont numérotées de 1 à 6. On note $n$ la face apparente du dé noir et $b$ celle du dé blanc. Soit $E$ l'équation du second degré dans $\R :\quad x^2 - 2nx + b^2 = 0$ alors : \textbf{A.} La probabilité que E ait une racine double est égale à $\dfrac16$ \textbf{B.} La probabilité que E n'ait aucune racine réelle est égale à $\dfrac{5}{12}$ \textbf{C.} La probabilité que E ait deux racines réelles distinctes est égale à $\dfrac{5}{12}$ \textbf{D.} Si $E$ a deux racines réelles distinctes, la probabilité qu'elles soient de même signe est egale a $\dfrac12$. %%% page 5 \item Une usine a fabriqué des clous de 1,8 centimètres de longueur. Ces clous sont stockés dans une caisse. On note $X$ la variable aléatoire ayant pour valeurs les longueurs de clous possibles exprimées en centimètres, $p_i$ la probabilité qu'un clou soit de longueur $x_i$. On donne : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$&1,4& 1,6& 1,8& 2& 2,2\\ \hline $p_i$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac16$&$\dfrac12$&$\dfrac16$&$\dfrac{1}{12}$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1.} \end{center} \textbf{A.} L'espérance mathématique de $X$ est 1,8 \textbf{B.} Si on prélève un clou au hasard dans la caisse, la probabilité qu'il mesure 2 centimètres ou plus est égale à $\dfrac14$ \textbf{C.} 4 fois de suite, on prélève au hasard un clou dans la caisse, on le mesure et on l'y remet. La probabilité d'avoir prélevé un ou plusieurs clous mesurant 1,4 centimètres est égale à $\left(\dfrac{1}{12}\right)^4$ \textbf{D.} 4 fois de suite, on prélève au hasard un clou dans la caisse, on le mesure et on l'y remet. La probabilité d'avoir prélevé un ou plusieurs clous de longueur strictement inférieure à 1,6 centimètre est $1 - \left(\dfrac{11}{12}\right)^4$ \item Soit la fonction $f$ définie par \[f(x) = \ln \left(x^4 - 1\right).\] Soit $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$. \textbf{A.} L'ensemble de définition est $\mathcal{D}_f =]0~;~ +\infty[$ \textbf{B.} Pour tout $x \in \mathcal{D}_f ,\: f'(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$ \textbf{C.} $f$ est strictement croissante sur $\mathcal{D}_f$ \textbf{D.} $f(x) = \ln \left(x^4\right) - \ln(1)$ \end{enumerate} %%% page 6 \newpage \textbf{Exercices n° 11 à 15 : Problème mathématique} \medskip \fbox{Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres nécessitent les résultats obtenus dans les questions précédentes.} \medskip Monsieur Antonio, propriétaire d'un kiosque vendant uniquement des pizzas et partant en retraite, offre son commerce à son fils Paolo. Paolo souhaite comprendre un peu mieux le coût d'une pizza et la marge qui est faite lors de sa vente. Il a donc effectué des recherches sur internet pour l'éclairer sur le sujet. Il a collecté des éléments de comptabilité analytique dont voici un résumé: \medskip \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Le coût de revient unitaire correspond à la somme de l'ensemble des charges directes et indirectes, supportées par l'entreprise pour produire un bien, rapportée à la quantité de biens produits : Coût de revient unitaire =Somme des charges directes et indirectes / Quantités produites \item Les charges directes sont celles qui résultent du processus de fabrication du produit : matières premières pour fabriquer un produit, frais de consommation d'énergie liés au fonctionnement des machines, charges de personnel affecté à la production du produit, ... \item Les charges indirectes ne sont pas liées pas au processus de production mais participent au fonctionnement de l'entreprise: frais généraux, loyer, publicité, ... \item Le coût de revient permet de déterminer le niveau minimal de fixation du prix de vente du produit pour que l'entreprise puisse couvrir ses frais. \item Il faut ensuite déterminer le montant de la marge qui permettra de dégager des bénéfices de la vente des produits, en tenant compte des prix pratiqués par les concurrents. \item \emph{Marge unitaire =Prix de vente unitaire $-$ Coût de revient unitaire} \item \emph{Marge totale = Montant total des ventes $-$ (Charges directes $+$ Charges indirectes)} \phantom{Marge totale} \emph{= Marge unitaire $*$ Quantité vendue} \end{itemize} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item La nouvelle entreprise de Paolo produit $500$ pizzas par mois. Chaque mois, elle supporte les charges directes suivantes: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Pâte à pizza $300$~\euro \item Ingrédients pour les pizzas \np{1000}~\euro \item Électricité pour le four $150$~\euro \item Salaire du pizzaïolo \np{1400}~\euro{} + 25\,\% de charges sociales à payer à l'État \item Une boîte à 0,20\euro{} la pièce pour chacune des pizzas fabriquées \end{itemize} \medskip À partir des informations précédentes, on peut conclure que : \textbf{A.~} Le coût unitaire de la pâte à pizza (coût pour une pizza) représente 0,50 \euro. \textbf{B.~}Le coût unitaire du pizzaïolo (charges sociales comprises) représente 3,50\euro (coût pour une pizza). \textbf{C.~}L'ensemble des charges directes mensuelles représentent \np{3000}\euro. \textbf{D.~} Le coût de l'ensemble des charges directes représente $6,60$\euro{} par pizza. \item Chaque mois, l'entreprise a également à supporter les charges indirectes suivantes : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Loyer \np{1500}~\euro \item Frais généraux divers $500$~\euro \item Autres charges de personnel \np{1600}~\euro{} + 25\,\% de charges sociales à payer à l'État \item Publicité $400$~\euro \end{itemize} \medskip Le coût unitaire de chaque charge indirecte (coût par pizza) sera calculé en divisant la charge indirecte mensuelle par la quantité de pizzas produites mensuellement. \medskip À partir des informations précédentes, on peut conclure que : \textbf{A.~} Le coût unitaire des autres charges de personnel (charges sociales incluses) représente 4~\euro. \textbf{B.~} Le coût de revient d'une pizza (coût de revient unitaire) est de 15,30~\euro. \textbf{C.~} En vendant une pizza 16~\euro, la marge unitaire représentera plus de 4\,\% du prix de vente unitaire. \textbf{D.~} La marge totale sur le mois est de $300$~\euro{} si toutes les pizzas fabriquées sont vendues à 16~\euro l'unité. \item Il est probable que Paolo ait besoin de changer son four à pizza rapidement. Deux options s'offrent à lui: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Hypothèse 1 : il loue un nouveau four identique à celui qu'il possède. Dans ce cas, la production mensuelle restera égale à $500$ pizzas. Il devra dans ce cas supporter une charge indirecte mensuelle supplémentaire de \np{1000}~\euro{} ; \item Hypothèse 2: il loue un nouveau four plus performant que celui qu'il possède. Dans ce cas, la charge indirecte mensuelle supplémentaire sera de \np{1100}~\euro. \end{itemize} Mais ce four permettra de gagner du temps pour le pizzaïolo pour la cuisson et la production passera à $600$ pizzas par mois. Cette production de $600$ pizzas entrainera une augmentation de 20\,\%des charges directes mensuelles de la pâte à pizza et des ingrédients. Le salaire du pizzaïolo restera le même. Quelle que soit l'hypothèse retenue, le coût mensuel de l'électricité pour le four restera à 150~\euro. \medskip À partir des informations précédentes, on peut conclure que : \textbf{A.~} Si l'hypothèse 1 est retenue, le coût de revient d'une pizza serait supérieur à 17~\euro. \textbf{B.~} Si l'hypothèse 2 est retenue, les charges directes mensuelles seraient de \np{3850}~\euro. \textbf{C.~} Si l'hypothèse 2 est retenue, le coût de revient d'une pizza serait inférieur au coût de revient d'une pizza avec l'hypothèse 1. \textbf{D.~} Si l'hypothèse 2 est retenue et que les $600$ pizzas sont vendues à 16~\euro l'unité, la marge totale mensuelle serait supérieure à $0$. %%% page 8 \item Après de nombreux tests, Paolo se rend compte qu'il n'aura pas besoin de remplacer son four dans les prochains mois. Son entreprise continuera à produire $500$ pizzas mensuellement. Cependant, il décide de diversifier sa production en proposant 2 types de pizzas, jouant sur les ingrédients uniquement : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item La meilleure qualitativement appelée P1 sera proposée à 17,50~\euro l'unité. Le coût unitaire des ingrédients de P1 est de 2,60~\euro ; \item La moins chère appelée P2 sera toujours vendue 16~\euro{} l'unité. Le coût unitaire des ingrédients de P2 est de 1,60~\euro. \end{itemize} Paolo s'est engagé auprès de son fournisseur à commander \np{1000}~\euro{} d'ingrédients par mois, ni plus, ni moins. \medskip À partir des informations précédentes, on peut conclure que : \textbf{A.~} L'entreprise pourrait fabriquer $500$ pizzas P2. \textbf{B.~} L'entreprise pourrait fabriquer $500$ pizzas P1. \textbf{C.~} Pour utiliser la pleine capacité de production et l'ensemble des ingrédients commandés, l'entreprise devrait produire $150$ pizzas P1 et $350$ pizzas P2 mensuellement. \textbf{D.~} Si l'entreprise utilise la pleine capacité de production et l'ensemble des ingrédients commandés et si elle arrivait à vendre toutes les pizzas fabriquées, alors sa marge totale mensuelle serait de 650~\euro. \item En mars, Paolo a réalisé une étude des ventes prévisionnelles de pizzas Pl pour les mois suivants: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Avril: $100$ pizzas P1 vendues \item Mai: $150$ pizzas P1 vendues \item Juin: $200$ pizzas P1 vendues \item Juillet: $250$ pizzas P1 vendues \end{itemize} Il reste contraint à commander \np{1000}~\euro{} d'ingrédients par mois à son fournisseur, que l'entreprise utilisera totalement ou partiellement. Les ingrédients non utilisés à la fin du mois seront détruits. La capacité de production mensuelle ne peut dépasser $500$ pizzas peu importe leur type. L'ensemble des pizzas produites est vendu sur le mois. \medskip À partir des informations précédentes, on peut conclure que : \textbf{A.~} En avril, l'entreprise pourra produire $400$ pizzas P2 en plus des $100$ pizzas P1 et elle aura une marge totale de $450$~\euro. \textbf{B.~} En mai, l'entreprise pourra produire $350$ pizzas P2 en plus des $150$ pizzas P1 et elle augmentera sa marge totale de 20\,\% par rapport à avril. \textbf{C.~} D'avril à juin, si l'entreprise produit $500$ pizzas par mois dont le nombre des pizzas P1 prévu par l'étude à chacun des mois, la marge totale sera de \np{1575}~\euro. \textbf{D.~} En juillet, l'entreprise pourra produire $250$ pizzas P2 en plus des $250$ pizzas P1 et elle aura une marge totale de $675$~\euro. \end{enumerate} \end{document}