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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale spécialité}
\lfoot{\small{Concours Avenir}}
\rfoot{\small 30 avril 2022}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 29 avril 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet B Profil Jaune\footnote{Candidats ayant suivi deux spécialités scientifiques  mais pas la spécialité mathématiques}}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min

\medskip

\textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES}
\end{center}

\textbf{Lisez attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.\\
Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon.\\
L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique (connecté ou non) est interdit.\\
Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.}\\

\textbf{Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.\\
Si vous trouvez ce sujet \og difficile\fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e).\\
Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !}\\
\medskip

\textbf{Barème :}

\textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point}. 

\newpage

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Équations, fonctions polynômes du second degré}}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 1}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$. Sa courbe représentative est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{x x dup mul sub 1 sub}
\end{pspicture*}&\textbf{b.~~} \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x 1 add x dup mul 2 mul sub}
\end{pspicture*}\\
\textbf{c.~~} \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x dup mul 2 mul 1 sub x sub}
\end{pspicture*}&\textbf{d.~~} \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x dup mul 3 mul 2 x mul sub 1 add }
\end{pspicture*}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 3x + 2$ est positive sur :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\R$ &\textbf{b.~~} $]- \infty - 1] \cup [1~;~+\infty[$ \\
\textbf{c.~~} [1~;~2] &\textbf{d.~~} $]- \infty~;~ 1] \cup [2~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Pour quelle(s) valeur(s) de $m$, l'équation $x^2 + mx + m = 0$ admet-elle une unique solution ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$m = 2$ 			&\textbf{b.~~}$m = - 2$\\
\textbf{c.~~}$m = 0$ ou $m = 4$ &\textbf{d.~~} Aucune des réponses précédentes
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 4}

La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 7(x - 2)(x + 1)$ admet un extremum atteint pour la valeur:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $x = 0$ 			&\textbf{b.~~} $x = - \dfrac 32$\\
\textbf{c.~~} $x = \dfrac 32$ 	&\textbf{d.~~} $x = \dfrac 12$
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Suites numériques, modèles discrets}}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 5}

La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 par $u_n = \dfrac{n + 1}{n - 1}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} décroissante &\textbf{b.~~}croissante \\
\textbf{c.~~} constante &\textbf{d.~~}stationnaire
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 6}


La somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{100}  2k = 2 + 4 + 6 + \ldots + 200$ est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \np{5050}&\textbf{b.~~}\np{10100}\\
\textbf{c.~~} $\dfrac{101 \times (200 + 2)}{2}$&\textbf{d.~~}$2 \times \left(2^{100} - 1\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 7}

On place une somme d'argent initiale de $200$ euros sur un compte épargne bloqué qui rapporte 1,5\,\% d'intérêts par an et on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = 200$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente la somme d'argent sur le compte après $n$ années.

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $1,5$&\textbf{b.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,015$\\
\textbf{c.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison 0,015&\textbf{d.~~}La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,015$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 8}

La proposition exacte est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Toute suite strictement croissante diverge vers $+ \infty$&\textbf{b.~~}Toute suite décroissante est majorée\\
\textbf{c.~~} Toute suite non monotone diverge&\textbf{d.~~} Toute suite géométrique de raison strictement négative diverge
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 9}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 500\\
u_{n+1} &=& 1,3 \times u_n
\end{array}\right.$.
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
u = 500\\
N = 0\\
while u <= \np{1000} :\\
\quad u = u * 1.3\\
\quad N = N + 1 \\
print (N)
\end{tabular}
\end{center}

Le programme ci-dessus, écrit en Python, affiche :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Le premier terme de la suite strictement supérieur à \np{1000}&\textbf{b.~~}
Le rang du premier terme de la suite strictement supérieur à \np{1000}\\
\textbf{c.~~}La valeur de $u_{\np{1001}}$&\textbf{d.~~} Le rang du dernier terme de la suite inférieur ou égal à \np{1000}.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 10}

La suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n = -\sqrt 2 \times \left(\dfrac{\pi}{\text{e}}\right)^n$ admet pour limite :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}0&\textbf{b.~~} $+\infty$\\
\textbf{c.~~} $-\sqrt 2$&\textbf{d.~~}$- \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 11}

Soient les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par
\begin{center}$u_n = \dfrac{n+2}{n+3}$\quad et \quad $v_n = \dfrac{u_n + 2}{u_n - 1}.$\end{center}

On peut alors affirmer que: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = - \infty$\\
\textbf{c.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = + \infty$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = - 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 12}

La population d'une espèce animale dans une réserve naturelle diminue chaque année de 10\,\%.

En contrepartie, les scientifiques introduisent chaque année 50 individus.

Au début de l'expérience, la population compte $200$ individus et on note pour tout entier naturel $n, u_n$ le nombre d'individus l'année après $n$ année(s). Ainsi $u_0 = 200$.

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 500$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 50$\\
\textbf{c.~~}$\forall n \in \N, \: u_n = 200 \times 0,9^n + 50n$&\textbf{d.~~}La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Dérivation, variations et courbes représentatives des fonctions}}\end{center}

\textbf{Question 13}

Soit une fonction $f$. On a représenté ci-dessous la courbe de sa fonction dérivée $f'$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3.25)(2.1,1.75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-3.25)(2.1,1.75)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.25}{2}{x 3 exp x dup mul 4 mul add x add 6 sub 2 div}
\uput[r](1.2,1.4){\blue $\mathcal{C}_{f'}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f$ est monotone sur $[0~;~ +\infty[$&\textbf{b.~~} $f(0) < f(1)$\\
\textbf{c.~~} $f$ est croissante sur $[-3~;~-2]$&\textbf{d.~~}$f$ admet un extremum atteint pour $x = 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 14}

Soit $f$ la fonction racine carrée. On appelle $\mathcal{D}$ l'ensemble sur lequel elle est dérivable et $f'$ sa fonction dérivée. 

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\mathcal{D} = [0~;~+\infty[$&\textbf{b.~~} $f'(4) = \dfrac14$\\
\textbf{c.~~} $\forall x \in \mathcal{D},\: f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$&\textbf{d.~~} $f'$ admet au moins un antécédent de 0.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 15}

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{1 -2x}{x^2}$.

La fonction dérivée $f'$ est définie par:

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{2x - 2}{x^3}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x}{ x^4}$ \\
\textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{6x^2 - 2x}{x^4}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{-6x - 2}{x^3}$
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 16}

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ telles que $f$ soit strictement croissante et $g$ soit strictement décroissante. On considère la fonction $h = f \times g$. 

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $h$ est strictement croissante &\textbf{b.~~} $h$ est constante\\
\textbf{c.~~} $h$ est strictement décroissante&\textbf{d.~~} Sans autres informations, on ne peut rien
conclure sur les variations de $h$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 17}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 3x - 2$. 

Son tableau de variations est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](3,1.9){$-1$}\uput[u](5,1.9){1}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](3,2){0}\uput[u](5,0){$-4$}
\psline{->}(1.4,0.4)(2.6,1.6)\psline{->}(3.4,1.6)(4.6,0.4)\psline{->}(5.4,0.4)(6.6,1.6)
\end{pspicture} &\textbf{b.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](4,2){$-2$}
\psline{->}(1.4,0.4)(3.6,1.6)\psline{->}(4.4,1.6)(6.6,0.4)
\end{pspicture} \\
\textbf{c.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](3,1.9){$-1$}\uput[u](5,1.9){1}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](3,0){-4}\uput[d](5,2){$0$}
\psline{->}(1.4,1.6)(2.6,0.4)\psline{->}(3.4,0.4)(4.6,1.6)\psline{->}(5.4,1.6)(6.6,0.4)
\end{pspicture} &\textbf{d.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$-2$}
\psline{->}(1.4,1.6)(3.6,0.4)\psline{->}(4.4,0.4)(6.6,1.6)
\end{pspicture} 
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 18}

Soit une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et $f'$ sa fonction dérivée.

Parmi les propositions ci-dessous, laquelle est toujours vraie ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Si $f'$ s'annule en 0 alors $f$ admet un minimum ou un maximum en 0&
\textbf{b.~~} $\forall x \in  \R,\: \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x +h) - f(x)}{h}$ est finie.\\
\textbf{c.~~} Si $f$ est strictement croissante sur $\R$ alors il existe $x \in \R$ tel que $f(x) > 0$.&
\textbf{d.~~} Si $f = f'$ alors $f$ est la fonction exponentielle 
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 19}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x) = 3x - \dfrac{2}{x^2}$.

L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $y = -x - 4$ &\textbf{b.~~} $y = 7x - 6$\\
\textbf{c.~~} $y = - x - 6$ &\textbf{d.~~}$y = 7x - 4$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques
}}\end{center}

\textbf{Question 20}

Les solutions dans l'intervalle $[0~;~2\pi[$ de l'équation $\cos(x) = - \dfrac{\sqrt 3}{2}$ sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{5\pi}{6}$ et $-\dfrac{5\pi}{6}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{7\pi}{6}$\\
\textbf{c.~~} $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 21}

L'équation $\sin(x) = \dfrac12$ admet sur $\R$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} 0 solution&\textbf{b.~~} 2 solutions exactement\\
\textbf{c.~~} 1 solution exactement  &\textbf{d.~~} Une infinité de solutions
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 22}

Lequel de ces nombres est un entier naturel ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $- \sqrt 3 \times \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right)$&\textbf{b.~~} $\sqrt 2 \times \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} \right)$\\
\textbf{c.~~}$- 18 \times \sin \left(\dfrac{7\pi}{6} \right)$&\textbf{d.~~}$\sqrt 3 \times \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 23}

 
Soit $x \in \R$, l'expression suivante e $\times \dfrac{\text{e}^{5x} \times \text{e}^{- 9 + x}}{\left(\text{e}^{3x - 3}\right)^2}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} e&\textbf{b.~~} $\text{e}^{-4}$\\
\textbf{c.~~} $\text{e}^{-2}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{-15}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Calcul vectoriel et produit scalaire}}\end{center}

\textbf{Question 24}

Dans un repère orthonormé \Oij{} on considère le point A$(-5~;~2)$.

Une équation du cercle de centre A et de rayon $R = \sqrt 2$ est donnée par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$(x + 5)^2 - (y - 2)^2 = 2$&\textbf{b.~~}$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = \sqrt 2$\\
\textbf{c.~~}$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 2$&\textbf{d.~~}$(x - 5)^2 - (y + 2)^2 = \sqrt 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 25}

Dans un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A(3~;~3), B(1~;~4), C(1~;~3) et la droite 
$\mathcal{D}$ d'équation réduite $y = 2x$. On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Les droites (AB) et $\mathcal{D}$ sont perpendiculaires&\textbf{b.~~} Les droites (BC) et $\mathcal{D}$ sont parallèles  \\
\textbf{c.~~} Les droites (AC) et $\mathcal{D}$ sont perpendiculaires&\textbf{d.~~} Les droites (AC) et $\mathcal{D}$ sont parallèles
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 26}

Dans la figure suivante, le repère \Oij{} est orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(5.5,4.5)
\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.5,-2.5)(5.5,5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(5,3)(2,-1)%AB
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(5,3)(-1,4)%AC
\uput[ur](5,3){A} \uput[dr](2,-1){B} \uput[ul](-1,4){C}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

Le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ est alors égal à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $- 27$&\textbf{b.~~} 22\\
\textbf{c.~~} $- 22$&\textbf{d.~~} 14
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 27}

À partir de la figure suivante, le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$
est égal à :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(4.8,3)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(4.1,0)%AB
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(2.828;135)%AC
\psline[linewidth=1.25pt](-3.5,0)
\uput[ur](0,0){A} \uput[ur](4.1,0){B} \uput[u](2.828;135){C}
\uput[d](2.05,0){4} \uput[ur](1.414;135){$2\sqrt 2$}\rput(-0.85,0.35){$45\degres$}
\psarc(0,0){0.6}{135}{180} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $4\sqrt 2$&\textbf{b.~~} 8\\
\textbf{c.~~} $- 8$&\textbf{d.~~} $- 4\sqrt 2$
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Probabilités et statistiques}}\end{center}

\textbf{Question 28}

On interroge des individus au hasard avant qu'ils passent un concours et on s'intéresse à deux caractéristiques présentées dans le tableau d'effectifs ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}				&Redoublant &Non redoublant\\ \hline
A révisé		& 80		& 70\\ \hline
N'a pas révisé	& 40		& 50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La probabilité que la personne interrogée soit non redoublante sachant qu'elle a révisé est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac78$&\textbf{b.~~} $\dfrac{70}{120}$\\
\textbf{c.~~} $\dfrac{70}{240}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{7}{15}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 29}

Soient deux évènements $A$ et $B$ avec $P(A) = 0,6$ et $P(B) = x$. De plus, on a $P(A \cup B) = 0,8$.

Pour quelle valeur de $x$, les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $x = 0,5$&\textbf{b.~~} $x = 0,2$\\
\textbf{c.~~} $x = 0,25$&\textbf{d.~~} $x = 0,75$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 30}

Soient deux évènements $A$ et $B$ avec $P_A(B) = 0,8$. 

À partir de l'arbre pondéré ci-dessous, on peut affirmer que :

\begin{center}
\psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=10mm,treemode=R}
\pstree{\TR{}}{
	\pstree{\TR{$A$}}
		{\TR{$B$}
		\TR{$\overline{B}$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,2}}
		{\TR{$B$} \taput{0,3}
		\TR{$\overline{B}$}
		}	
}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P\left(\overline{A} \cap B\right) = 0,5$&\textbf{b.~~} $P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,16$\\
\textbf{c.~~} $P(B) = 0,64$&\textbf{d.~~} $P\left(\overline{A}\right) = P\left(\overline{B}\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 31}

Soient deux évènements $A$ et $S$ avec $P(S) = 0,68$.

À partir de l'arbre pondéré ci-dessous, on peut affirmer que :

\begin{center}
\psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=10mm,treemode=R}
\pstree{\TR{}}{
	\pstree{\TR{$A$}}
		{\TR{$S$}
		\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,2}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
		{\TR{$S$} \taput{0,4}
		\TR{$\overline{S}$}
		}	
}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P(A) = 0,7$&\textbf{b.~~} $P\left(A \cap \overline{S}\right) = 0,2$\\
\textbf{c.~~} $P(A) = 0,17$&\textbf{d.~~} $P(A) = 2 \times P\left(\overline{A}\right)$
\end{tabularx}
\end{center}


\medskip

\textbf{Question 32}

Dans une urne contenant douze jetons numérotés de 1 à 12, on prélève un jeton au hasard et on regarde son numéro.

Si on tire un multiple de 3 on gagne 2 euros sinon on perd 1 euro.

Soit $X$ la variable aléatoire associée au gain algébrique d'espérance $E(X)$. On peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P(X = 2) = \dfrac14$&\textbf{b.~~} Le jeu est profitable au joueur car $E(X) > 0$ \\
\textbf{c.~~} $P(X = - 1) = \dfrac34$&\textbf{d.~~} Le jeu est équitable car $E(X) = 0$
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{Question 33}

Soient 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac12$ ;
\item[$\bullet~~$] $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = -3X + 1$.
\end{itemize}

On peut alors affirmer que la variance $V(Z) =$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $- 2$&\textbf{b.~~} 9 \\
\textbf{c.~~} $- 3$&\textbf{d.~~} 10
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 34}

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac12$ :  

$x  \hookrightarrow \mathcal{B}\left(3~;~ \dfrac12\right)$.

La probabilité $P(X \geqslant  1)$ est alors égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac18$&\textbf{b.~~} $\dfrac14$ \\
\textbf{c.~~} $1 - \dfrac18$&\textbf{d.~~} $1 - \dfrac14$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 35}

On lance un dé à 6 faces, équilibré, jusqu'à l'obtention de la face 6.

Soit la variable $X$ comptant le nombre de lancers nécessaires. On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P(X = 6) = \dfrac16$&\textbf{b.~~} $P_{(X > 5)}(X = 6) = \left(\dfrac56\right)^5 \times \dfrac16$ \\
\textbf{c.~~} $P(X = 6) = \left(\dfrac16\right)^6$&\textbf{d.~~} $P_{(X > 5)}(X = 6) = \dfrac16$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Convexité, limites de fonctions et fonction logarithme népérien}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 36}

On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm,comma}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-0.7)(3,1.25)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{3}{x 3 exp x dup mul sub x 2 mul sub 0.1 mul}
\uput[r](2.6,0.4){\red $\mathcal{C}_{f''}$}
\rput(0.75,-0.9){Courbe représentative de $f''$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f$ est convexe sur [0~;~2]&\textbf{b.~~} $f$ est convexe sur $[0~;~+\infty[$ \\
\textbf{c.~~} $f$ est concave sur [0~;~2]&\textbf{d.~~} $f$ est concave sur $[0~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 37}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^4 + 6x^3$.

On peut alors affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f$ est concave sur $[-3~;~0]$&\textbf{b.~~} $f$ est concave sur $[0~;~+\infty[$ \\
\textbf{c.~~} $f$ est convexe sur $[-\infty~;~0]$&\textbf{d.~~} $f$ est convexe sur $[-3~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 38}

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = x\ln (x) - x + 1$.

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f$ est croissante sur $[0~;~1]$&\textbf{b.~~} $f$ est majorée sur $]0~;~+\infty[$ \\
\textbf{c.~~} $f$ est convexe sur $[0~;~+\infty]$&\textbf{d.~~} $f$ est concave sur $]0~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 39}

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = 5x + \text{e}^{-x} - \ln (x)$.

On peut alors affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = - \infty$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = 0$\\
\textbf{c.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = + \infty$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 40}

Pour toute fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ on a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~}Si $f$ est strictement décroissante alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = -\infty$&\textbf{b.~~}Si $f$ est convexe sur $\R$ alors 

$f(1) - f(0) \geqslant f'(0)$\\
\textbf{c.~~}Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  (f(x) - x) = 0$.&\textbf{d.~~}Si $f''(0) = 0$ alors $\mathcal{C}_f$ admet au moins un point
d'inflexion
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 41}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2  + 2\right)$.

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$&\textbf{a.~~} $f'(x) = 2x \ln \left(x^2  + 2\right)$.\\
\textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$&\textbf{d.~~} $f'(x) = \ln (2x)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Primitives et équations différentielles}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 42}

La solution $f$ de l'équation différentielle $y' + 2y = 1$ qui vérifie $f(1) = 1$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2} \times  \text{e}^{-2x} - 1\right)$&\textbf{b.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2x - 2} + 1\right)$\\
\textbf{c.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2x + 2} + 1\right)$  &\textbf{d.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2x} - 1\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 43}

Les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $2y' = y$ sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x) = C\text{e}^{2x}$, où $C \in \R$&\textbf{b.~~}  $f(x) = C\text{e}^{\frac x2}$, où $C \in \R$\\
\textbf{c.~~} $f(x) = C\text{e}^{-2x}$, où $C \in \R$&\textbf{d.~~}  $f(x) = C\text{e}^{-\frac x2}$, où $C \in \R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 44}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 - \text{e}^{-x} + 8$.

Une primitive  sur $\R$  de $f$  est donnée par $F(x) =$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $x^3 + \text{e}^{-x} +8x - 1$&\textbf{b.~~} $x^3 - \text{e}^{-x} +8x + 1$\\
\textbf{c.~~} $ 6x + \text{e}^{-x}$&\textbf{d.~~} $x^3 + \text{e}^{-x} +8$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 45}

On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$. Soit $F$ une primitive sur $\R$ de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{x dup mul 4 sub 0.5 mul}
\rput(0,-3){Courbe représentative de $f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut alors affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $F$ est monotone sur $]- \infty~;~ 0]$&\textbf{b.~~} $F$ change de variations sur $[-2~;~2]$\\
\textbf{c.~~} $F$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$&\textbf{d.~~}$F$ est décroissante sur [0~;~2]
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}