\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage[mathscr]{eucal} %\usepackage{eulervm,eufrak} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours Avenir}, pdftitle = {30 avril 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Terminale spécialité} \lfoot{\small{Concours Avenir}} \rfoot{\small 30 avril 2022} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 29 avril 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet B Profil Jaune\footnote{Candidats ayant suivi deux spécialités scientifiques mais pas la spécialité mathématiques}}} \vspace{0,5cm} DURÉE: 1~h~30~min \medskip \textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES} \end{center} \textbf{Lisez attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.\\ Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon.\\ L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique (connecté ou non) est interdit.\\ Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.}\\ \textbf{Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.\\ Si vous trouvez ce sujet \og difficile\fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e).\\ Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !}\\ \medskip \textbf{Barème :} \textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point}. \newpage \begin{center}\textsc{\textbf{\large Équations, fonctions polynômes du second degré}}\end{center} \smallskip \textbf{Question 1} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$. Sa courbe représentative est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{x x dup mul sub 1 sub} \end{pspicture*}&\textbf{b.~~} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x 1 add x dup mul 2 mul sub} \end{pspicture*}\\ \textbf{c.~~} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x dup mul 2 mul 1 sub x sub} \end{pspicture*}&\textbf{d.~~} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.1,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2,2.1) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x dup mul 3 mul 2 x mul sub 1 add } \end{pspicture*} \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 2} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 3x + 2$ est positive sur : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $\R$ &\textbf{b.~~} $]- \infty - 1] \cup [1~;~+\infty[$ \\ \textbf{c.~~} [1~;~2] &\textbf{d.~~} $]- \infty~;~ 1] \cup [2~;~+\infty[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 3} \medskip Pour quelle(s) valeur(s) de $m$, l'équation $x^2 + mx + m = 0$ admet-elle une unique solution ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$m = 2$ &\textbf{b.~~}$m = - 2$\\ \textbf{c.~~}$m = 0$ ou $m = 4$ &\textbf{d.~~} Aucune des réponses précédentes \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question 4} La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 7(x - 2)(x + 1)$ admet un extremum atteint pour la valeur: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $x = 0$ &\textbf{b.~~} $x = - \dfrac 32$\\ \textbf{c.~~} $x = \dfrac 32$ &\textbf{d.~~} $x = \dfrac 12$ \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center}\textsc{\textbf{\large Suites numériques, modèles discrets}}\end{center} \smallskip \textbf{Question 5} La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 par $u_n = \dfrac{n + 1}{n - 1}$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} décroissante &\textbf{b.~~}croissante \\ \textbf{c.~~} constante &\textbf{d.~~}stationnaire \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 6} La somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} 2k = 2 + 4 + 6 + \ldots + 200$ est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} \np{5050}&\textbf{b.~~}\np{10100}\\ \textbf{c.~~} $\dfrac{101 \times (200 + 2)}{2}$&\textbf{d.~~}$2 \times \left(2^{100} - 1\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 7} On place une somme d'argent initiale de $200$ euros sur un compte épargne bloqué qui rapporte 1,5\,\% d'intérêts par an et on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = 200$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente la somme d'argent sur le compte après $n$ années. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $1,5$&\textbf{b.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,015$\\ \textbf{c.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison 0,015&\textbf{d.~~}La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,015$. \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 8} La proposition exacte est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} Toute suite strictement croissante diverge vers $+ \infty$&\textbf{b.~~}Toute suite décroissante est majorée\\ \textbf{c.~~} Toute suite non monotone diverge&\textbf{d.~~} Toute suite géométrique de raison strictement négative diverge \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 9} Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &=& 500\\ u_{n+1} &=& 1,3 \times u_n \end{array}\right.$. \begin{center} \begin{tabular}{l} u = 500\\ N = 0\\ while u <= \np{1000} :\\ \quad u = u * 1.3\\ \quad N = N + 1 \\ print (N) \end{tabular} \end{center} Le programme ci-dessus, écrit en Python, affiche : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} Le premier terme de la suite strictement supérieur à \np{1000}&\textbf{b.~~} Le rang du premier terme de la suite strictement supérieur à \np{1000}\\ \textbf{c.~~}La valeur de $u_{\np{1001}}$&\textbf{d.~~} Le rang du dernier terme de la suite inférieur ou égal à \np{1000}. \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 10} La suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n = -\sqrt 2 \times \left(\dfrac{\pi}{\text{e}}\right)^n$ admet pour limite : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}0&\textbf{b.~~} $+\infty$\\ \textbf{c.~~} $-\sqrt 2$&\textbf{d.~~}$- \infty$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 11} Soient les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par \begin{center}$u_n = \dfrac{n+2}{n+3}$\quad et \quad $v_n = \dfrac{u_n + 2}{u_n - 1}.$\end{center} On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = - \infty$\\ \textbf{c.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = + \infty$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = - 2$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 12} La population d'une espèce animale dans une réserve naturelle diminue chaque année de 10\,\%. En contrepartie, les scientifiques introduisent chaque année 50 individus. Au début de l'expérience, la population compte $200$ individus et on note pour tout entier naturel $n, u_n$ le nombre d'individus l'année après $n$ année(s). Ainsi $u_0 = 200$. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 500$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 50$\\ \textbf{c.~~}$\forall n \in \N, \: u_n = 200 \times 0,9^n + 50n$&\textbf{d.~~}La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante. \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center}\textsc{\textbf{\large Dérivation, variations et courbes représentatives des fonctions}}\end{center} \textbf{Question 13} Soit une fonction $f$. On a représenté ci-dessous la courbe de sa fonction dérivée $f'$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-4,-3.25)(2.1,1.75) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-3.25)(2.1,1.75) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.25}{2}{x 3 exp x dup mul 4 mul add x add 6 sub 2 div} \uput[r](1.2,1.4){\blue $\mathcal{C}_{f'}$} \end{pspicture*} \end{center} On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f$ est monotone sur $[0~;~ +\infty[$&\textbf{b.~~} $f(0) < f(1)$\\ \textbf{c.~~} $f$ est croissante sur $[-3~;~-2]$&\textbf{d.~~}$f$ admet un extremum atteint pour $x = 0$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 14} Soit $f$ la fonction racine carrée. On appelle $\mathcal{D}$ l'ensemble sur lequel elle est dérivable et $f'$ sa fonction dérivée. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $\mathcal{D} = [0~;~+\infty[$&\textbf{b.~~} $f'(4) = \dfrac14$\\ \textbf{c.~~} $\forall x \in \mathcal{D},\: f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$&\textbf{d.~~} $f'$ admet au moins un antécédent de 0. \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 15} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{1 -2x}{x^2}$. La fonction dérivée $f'$ est définie par: \renewcommand\arraystretch{1.9} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{2x - 2}{x^3}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x}{ x^4}$ \\ \textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{6x^2 - 2x}{x^4}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{-6x - 2}{x^3}$ \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} \medskip \textbf{Question 16} Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ telles que $f$ soit strictement croissante et $g$ soit strictement décroissante. On considère la fonction $h = f \times g$. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $h$ est strictement croissante &\textbf{b.~~} $h$ est constante\\ \textbf{c.~~} $h$ est strictement décroissante&\textbf{d.~~} Sans autres informations, on ne peut rien conclure sur les variations de $h$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 17} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 3x - 2$. Son tableau de variations est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,2.5) \psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](3,1.9){$-1$}\uput[u](5,1.9){1}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[d](3,2){0}\uput[u](5,0){$-4$} \psline{->}(1.4,0.4)(2.6,1.6)\psline{->}(3.4,1.6)(4.6,0.4)\psline{->}(5.4,0.4)(6.6,1.6) \end{pspicture} &\textbf{b.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(7,2.5) \psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[d](4,2){$-2$} \psline{->}(1.4,0.4)(3.6,1.6)\psline{->}(4.4,1.6)(6.6,0.4) \end{pspicture} \\ \textbf{c.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(7,2.5) \psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](3,1.9){$-1$}\uput[u](5,1.9){1}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](3,0){-4}\uput[d](5,2){$0$} \psline{->}(1.4,1.6)(2.6,0.4)\psline{->}(3.4,0.4)(4.6,1.6)\psline{->}(5.4,1.6)(6.6,0.4) \end{pspicture} &\textbf{d.~~} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(7,2.5) \psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.4,1.9){$- \infty$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$+\infty$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$-2$} \psline{->}(1.4,1.6)(3.6,0.4)\psline{->}(4.4,0.4)(6.6,1.6) \end{pspicture} \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 18} Soit une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et $f'$ sa fonction dérivée. Parmi les propositions ci-dessous, laquelle est toujours vraie ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} Si $f'$ s'annule en 0 alors $f$ admet un minimum ou un maximum en 0& \textbf{b.~~} $\forall x \in \R,\: \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x +h) - f(x)}{h}$ est finie.\\ \textbf{c.~~} Si $f$ est strictement croissante sur $\R$ alors il existe $x \in \R$ tel que $f(x) > 0$.& \textbf{d.~~} Si $f = f'$ alors $f$ est la fonction exponentielle \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 19} Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x) = 3x - \dfrac{2}{x^2}$. L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $y = -x - 4$ &\textbf{b.~~} $y = 7x - 6$\\ \textbf{c.~~} $y = - x - 6$ &\textbf{d.~~}$y = 7x - 4$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center}\textsc{\textbf{\large Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques }}\end{center} \textbf{Question 20} Les solutions dans l'intervalle $[0~;~2\pi[$ de l'équation $\cos(x) = - \dfrac{\sqrt 3}{2}$ sont : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $\dfrac{5\pi}{6}$ et $-\dfrac{5\pi}{6}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{7\pi}{6}$\\ \textbf{c.~~} $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 21} L'équation $\sin(x) = \dfrac12$ admet sur $\R$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} 0 solution&\textbf{b.~~} 2 solutions exactement\\ \textbf{c.~~} 1 solution exactement &\textbf{d.~~} Une infinité de solutions \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 22} Lequel de ces nombres est un entier naturel ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $- \sqrt 3 \times \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right)$&\textbf{b.~~} $\sqrt 2 \times \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} \right)$\\ \textbf{c.~~}$- 18 \times \sin \left(\dfrac{7\pi}{6} \right)$&\textbf{d.~~}$\sqrt 3 \times \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 23} Soit $x \in \R$, l'expression suivante e $\times \dfrac{\text{e}^{5x} \times \text{e}^{- 9 + x}}{\left(\text{e}^{3x - 3}\right)^2}$ est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} e&\textbf{b.~~} $\text{e}^{-4}$\\ \textbf{c.~~} $\text{e}^{-2}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{-15}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center}\textsc{\textbf{\large Calcul vectoriel et produit scalaire}}\end{center} \textbf{Question 24} Dans un repère orthonormé \Oij{} on considère le point A$(-5~;~2)$. Une équation du cercle de centre A et de rayon $R = \sqrt 2$ est donnée par : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$(x + 5)^2 - (y - 2)^2 = 2$&\textbf{b.~~}$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = \sqrt 2$\\ \textbf{c.~~}$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 2$&\textbf{d.~~}$(x - 5)^2 - (y + 2)^2 = \sqrt 2$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 25} Dans un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A(3~;~3), B(1~;~4), C(1~;~3) et la droite $\mathcal{D}$ d'équation réduite $y = 2x$. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} Les droites (AB) et $\mathcal{D}$ sont perpendiculaires&\textbf{b.~~} Les droites (BC) et $\mathcal{D}$ sont parallèles \\ \textbf{c.~~} Les droites (AC) et $\mathcal{D}$ sont perpendiculaires&\textbf{d.~~} Les droites (AC) et $\mathcal{D}$ sont parallèles \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 26} Dans la figure suivante, le repère \Oij{} est orthonormé. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(5.5,4.5) \psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.5,-2.5)(5.5,5) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(5,3)(2,-1)%AB \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(5,3)(-1,4)%AC \uput[ur](5,3){A} \uput[dr](2,-1){B} \uput[ul](-1,4){C} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture*} \end{center} Le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ est alors égal à: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $- 27$&\textbf{b.~~} 22\\ \textbf{c.~~} $- 22$&\textbf{d.~~} 14 \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 27} À partir de la figure suivante, le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ est égal à : \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(4.8,3) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(4.1,0)%AB \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{->}(2.828;135)%AC \psline[linewidth=1.25pt](-3.5,0) \uput[ur](0,0){A} \uput[ur](4.1,0){B} \uput[u](2.828;135){C} \uput[d](2.05,0){4} \uput[ur](1.414;135){$2\sqrt 2$}\rput(-0.85,0.35){$45\degres$} \psarc(0,0){0.6}{135}{180} \end{pspicture*} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $4\sqrt 2$&\textbf{b.~~} 8\\ \textbf{c.~~} $- 8$&\textbf{d.~~} $- 4\sqrt 2$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center}\textsc{\textbf{\large Probabilités et statistiques}}\end{center} \textbf{Question 28} On interroge des individus au hasard avant qu'ils passent un concours et on s'intéresse à deux caractéristiques présentées dans le tableau d'effectifs ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} &Redoublant &Non redoublant\\ \hline A révisé & 80 & 70\\ \hline N'a pas révisé & 40 & 50\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La probabilité que la personne interrogée soit non redoublante sachant qu'elle a révisé est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $\dfrac78$&\textbf{b.~~} $\dfrac{70}{120}$\\ \textbf{c.~~} $\dfrac{70}{240}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{7}{15}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 29} Soient deux évènements $A$ et $B$ avec $P(A) = 0,6$ et $P(B) = x$. De plus, on a $P(A \cup B) = 0,8$. Pour quelle valeur de $x$, les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $x = 0,5$&\textbf{b.~~} $x = 0,2$\\ \textbf{c.~~} $x = 0,25$&\textbf{d.~~} $x = 0,75$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 30} Soient deux évènements $A$ et $B$ avec $P_A(B) = 0,8$. À partir de l'arbre pondéré ci-dessous, on peut affirmer que : \begin{center} \psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=10mm,treemode=R} \pstree{\TR{}}{ \pstree{\TR{$A$}} {\TR{$B$} \TR{$\overline{B}$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,2}} {\TR{$B$} \taput{0,3} \TR{$\overline{B}$} } } \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $P\left(\overline{A} \cap B\right) = 0,5$&\textbf{b.~~} $P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,16$\\ \textbf{c.~~} $P(B) = 0,64$&\textbf{d.~~} $P\left(\overline{A}\right) = P\left(\overline{B}\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 31} Soient deux évènements $A$ et $S$ avec $P(S) = 0,68$. À partir de l'arbre pondéré ci-dessous, on peut affirmer que : \begin{center} \psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=10mm,treemode=R} \pstree{\TR{}}{ \pstree{\TR{$A$}} {\TR{$S$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,2} } \pstree{\TR{$\overline{A}$}} {\TR{$S$} \taput{0,4} \TR{$\overline{S}$} } } \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $P(A) = 0,7$&\textbf{b.~~} $P\left(A \cap \overline{S}\right) = 0,2$\\ \textbf{c.~~} $P(A) = 0,17$&\textbf{d.~~} $P(A) = 2 \times P\left(\overline{A}\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 32} Dans une urne contenant douze jetons numérotés de 1 à 12, on prélève un jeton au hasard et on regarde son numéro. Si on tire un multiple de 3 on gagne 2 euros sinon on perd 1 euro. Soit $X$ la variable aléatoire associée au gain algébrique d'espérance $E(X)$. On peut affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $P(X = 2) = \dfrac14$&\textbf{b.~~} Le jeu est profitable au joueur car $E(X) > 0$ \\ \textbf{c.~~} $P(X = - 1) = \dfrac34$&\textbf{d.~~} Le jeu est équitable car $E(X) = 0$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 33} Soient \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac12$ ; \item[$\bullet~~$] $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = -3X + 1$. \end{itemize} On peut alors affirmer que la variance $V(Z) =$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $- 2$&\textbf{b.~~} 9 \\ \textbf{c.~~} $- 3$&\textbf{d.~~} 10 \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 34} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac12$ : $x \hookrightarrow \mathcal{B}\left(3~;~ \dfrac12\right)$. La probabilité $P(X \geqslant 1)$ est alors égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $\dfrac18$&\textbf{b.~~} $\dfrac14$ \\ \textbf{c.~~} $1 - \dfrac18$&\textbf{d.~~} $1 - \dfrac14$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 35} On lance un dé à 6 faces, équilibré, jusqu'à l'obtention de la face 6. Soit la variable $X$ comptant le nombre de lancers nécessaires. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $P(X = 6) = \dfrac16$&\textbf{b.~~} $P_{(X > 5)}(X = 6) = \left(\dfrac56\right)^5 \times \dfrac16$ \\ \textbf{c.~~} $P(X = 6) = \left(\dfrac16\right)^6$&\textbf{d.~~} $P_{(X > 5)}(X = 6) = \dfrac16$ \end{tabularx} \end{center} \begin{center}\textsc{\textbf{\large Convexité, limites de fonctions et fonction logarithme népérien}}\end{center} \medskip \textbf{Question 36} On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$. \begin{center} \psset{unit=2.5cm,comma} \begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,1.25) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-0.7)(3,1.25) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{3}{x 3 exp x dup mul sub x 2 mul sub 0.1 mul} \uput[r](2.6,0.4){\red $\mathcal{C}_{f''}$} \rput(0.75,-0.9){Courbe représentative de $f''$} \end{pspicture*} \end{center} On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f$ est convexe sur [0~;~2]&\textbf{b.~~} $f$ est convexe sur $[0~;~+\infty[$ \\ \textbf{c.~~} $f$ est concave sur [0~;~2]&\textbf{d.~~} $f$ est concave sur $[0~;~+\infty[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 37} Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^4 + 6x^3$. On peut alors affirmer que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f$ est concave sur $[-3~;~0]$&\textbf{b.~~} $f$ est concave sur $[0~;~+\infty[$ \\ \textbf{c.~~} $f$ est convexe sur $[-\infty~;~0]$&\textbf{d.~~} $f$ est convexe sur $[-3~;~+\infty[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 38} Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = x\ln (x) - x + 1$. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f$ est croissante sur $[0~;~1]$&\textbf{b.~~} $f$ est majorée sur $]0~;~+\infty[$ \\ \textbf{c.~~} $f$ est convexe sur $[0~;~+\infty]$&\textbf{d.~~} $f$ est concave sur $]0~;~+\infty[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 39} Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = 5x + \text{e}^{-x} - \ln (x)$. On peut alors affirmer que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = - \infty$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = 0$\\ \textbf{c.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = + \infty$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x) = 1$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 40} Pour toute fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ on a : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\small}X}} \textbf{a.~~}Si $f$ est strictement décroissante alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = -\infty$&\textbf{b.~~}Si $f$ est convexe sur $\R$ alors $f(1) - f(0) \geqslant f'(0)$\\ \textbf{c.~~}Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (f(x) - x) = 0$.&\textbf{d.~~}Si $f''(0) = 0$ alors $\mathcal{C}_f$ admet au moins un point d'inflexion \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 41} Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 2\right)$. On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$&\textbf{a.~~} $f'(x) = 2x \ln \left(x^2 + 2\right)$.\\ \textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$&\textbf{d.~~} $f'(x) = \ln (2x)$. \end{tabularx} \end{center} \begin{center}\textsc{\textbf{\large Primitives et équations différentielles}}\end{center} \medskip \textbf{Question 42} La solution $f$ de l'équation différentielle $y' + 2y = 1$ qui vérifie $f(1) = 1$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2} \times \text{e}^{-2x} - 1\right)$&\textbf{b.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2x - 2} + 1\right)$\\ \textbf{c.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2x + 2} + 1\right)$ &\textbf{d.~~}$f(x) = \dfrac12\left(\text{e}^{-2x} - 1\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 43} Les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $2y' = y$ sont : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f(x) = C\text{e}^{2x}$, où $C \in \R$&\textbf{b.~~} $f(x) = C\text{e}^{\frac x2}$, où $C \in \R$\\ \textbf{c.~~} $f(x) = C\text{e}^{-2x}$, où $C \in \R$&\textbf{d.~~} $f(x) = C\text{e}^{-\frac x2}$, où $C \in \R$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 44} Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 - \text{e}^{-x} + 8$. Une primitive sur $\R$ de $f$ est donnée par $F(x) =$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $x^3 + \text{e}^{-x} +8x - 1$&\textbf{b.~~} $x^3 - \text{e}^{-x} +8x + 1$\\ \textbf{c.~~} $ 6x + \text{e}^{-x}$&\textbf{d.~~} $x^3 + \text{e}^{-x} +8$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 45} On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$. Soit $F$ une primitive sur $\R$ de $f$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{x dup mul 4 sub 0.5 mul} \rput(0,-3){Courbe représentative de $f$} \end{pspicture*} \end{center} On peut alors affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $F$ est monotone sur $]- \infty~;~ 0]$&\textbf{b.~~} $F$ change de variations sur $[-2~;~2]$\\ \textbf{c.~~} $F$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$&\textbf{d.~~}$F$ est décroissante sur [0~;~2] \end{tabularx} \end{center} \end{document}