\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[mathscr]{eucal}
%\usepackage{eulervm,eufrak}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add}
% Tapuscrit Denis Vergès
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Concours Avenir},
pdftitle = {29 avril 2023},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale spécialité}
\lfoot{\small{Concours Avenir}}
\rfoot{\small 29 avril 2023}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 29 avril 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet A Profil Violet et Vert\footnote{Candidats ayant suivi la spécialité mathématiques et une spécialité scientifique ou ayant suivi la spécialité mathématiques et une spécialité non scientifique}}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min

\medskip

\textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES}
\end{center}

\textbf{Lisez attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.\\
Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon.\\
L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique (connecté ou non) est interdit.\\
Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.}\\

\textbf{Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.\\
Si vous trouvez ce sujet \og difficile\fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e).\\
Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !}\\
\medskip

\textbf{Barème :}

\textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point}. 

\newpage

\begin{center}\textsc{\textbf{\large GÉOMÉTRIE DU PLAN ET DE L'ESPACE}}\end{center}

\smallskip

\textbf{Règle de nommage et représentation d'un cube}: Dans ce sujet, un cube ABCDEFGH, dénote le cube suivant (aux rotations près du cube) :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.4,3.3)
\pspolygon(1.3,0.2)(2.9,0.6)(2.9,2.3)(1.3,1.9)%FBCG

\uput[d](1.3,0.2){F}\uput[dr](2.9,0.6){B}\uput[dr](2.9,2.3){C}\uput[dl](1.3,1.9){G}
\uput[l](0.4,2.7){H}\uput[l](0.4,1){E}\uput[ur](2,3.1){D}\uput[ur](2,1.4){A}
\psline(1.3,1.9)(0.4,2.7)(0.4,1)(1.3,0.2)%GHEF
\psline(2.9,2.3)(2,3.1)(0.4,2.7)(1.3,1.9)%CDHG
\psline[linestyle=dashed](2.9,0.6)(2,1.4)(0.4,1)%BAE
\psline[linestyle=dashed](2,3.1)(2,1.4)%AD
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Attention !} Pour les questions 1 à 5, on se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

\medskip

\textbf{Question 1}

On considère le plan $(P)$ d'équation : $x +2y +3z - 1 = 0$.

Quel vecteur est normal à $(P)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vect{n_1}(1~;~2~;~-1)$&\textbf{b.~~} $\vect{n_2}(1~;~2~;~3)$&
\textbf{c.~~} $\vect{n_3}(1~;~3~;~-1)$&\textbf{d.~~} $\vect{n_4}(2~;~3~;~-1)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

On considère la droite $(d)$ d'équation : $\dfrac{x - 2}{-1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z + 3}{1}$.

Déterminer un vecteur directeur de la droite $(d)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vect{u_1}(2~;~1~;~1)$&\textbf{b.~~} $\vect{u_2}(1~;~2~;~-3)$&
\textbf{c.~~} $\vect{u_3}(-1~;~2~;~1)$&\textbf{d.~~} $\vect{u_4}(2~;~1~;~-3)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

On considère les points A(1~;~3~;~0) et B$(5~;~1~;~-2)$.

Déterminer l'équation du plan médiateur du segment [AB].

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $2x - y - z - 5 = 0$&\textbf{b.~~} $2x - y - z + 5 = 0$&
\textbf{c.~~} $x + y + + 2z - 3 = 0$&\textbf{d.~~} $3x + 2y - z - 14 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

On considère les trois points suivants:
\begin{center}A$(-1~;~-2~;~3)$\qquad  B$(-6~;~1~;~1)$\qquad  C$(-5~;~-3~;~2)$\end{center}


Le triangle ABC est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} équilatéral &\textbf{b.~~} rectangle en A&  \textbf{c.~~} rectangle en C& \textbf{d.~~} isocèle en C
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

On considère les trois points suivants:
\begin{center}A(1~;~2~;~3) ;\qquad  B(3~;~3~;~5) ;\qquad  C$(-1~;~2~;~-4)$ \end{center}

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de C sur (AB) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(-1~;~1~;~1)$&\textbf{b.~~} $\left(2~;~\dfrac52~;~4\right)$&  \textbf{c.~~} $\left(0~;~\dfrac32~;~2\right)$& \textbf{d.~~} $(- 3~;~0~;~-1)$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Attention !} Dans les trois prochaines questions, on considère un cube ABCDEFGH, et les points: M le milieu de [CD], P le milieu de [GH] et N le centre de la face ABCD.

\medskip

\textbf{Question 6}

Quels sont les points coplanaires ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} M, C, P et F &\textbf{b.~~} A, B, C et P &\textbf{c.~~} M, N,  E et H &\textbf{d.~~} M, P{}, E et F
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 7}

Le plan et la droite sécants sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} (ABE) et (CP) &\textbf{b.~~} (ABC) et (DH) &\textbf{c.~~} (MNH) et (BC)&\textbf{d.~~} (DAP) et (MG)
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 8}

Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{FG}}$ dirigent le plan :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} (BCD) &\textbf{b.~~} (ABF) &\textbf{c.~~} (ABG)&\textbf{d.~~} (FGB)
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 9}

Soit ABCDEFGH et BIJCFLKG deux cubes de même taille disposés côte à côte.

Soit le point X défini par $\vect{\text{AX}} = 2\vect{\text{CJ}} + \vect{\text{DH}} + \vect{\text{FG}}$.

Le point X se situe en :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} H &\textbf{b.~~} G &\textbf{c.~~} K&\textbf{d.~~} J
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 10}

Soit ABCDEFGH un cube de côté non nul.

Soit les points I et J tels que $\vect{\text{EI}} = \dfrac13\vect{\text{EF}}$ et $\vect{\text{GJ}} = \dfrac23\vect{\text{GC}}$.

Quel vecteur est dans le plan dirigé par $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{IJ}}$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vect{\text{EA}}$ &\textbf{b.~~} $\vect{\text{FE}}$ &\textbf{c.~~} $\vect{\text{FG}}$&\textbf{d.~~} $\vect{\text{FJ}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 11}

Soit $x \in \R_+^{*}$ et un parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que AD = AE $= x$AB.

Pour quelle valeur de $x$, les droites (BH) et (AG) sont-elles orthogonales?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ &\textbf{c.~~} $\sqrt 2$&\textbf{d.~~} $\dfrac12$
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textsc{\textbf{\large CALCUL NUMÉRIQUE, SUITES NUMÉRIQUES}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 12}

Soit $\left(U_n\right)$ une suite géométrique telle que $U_1 = 3$ et $U_2 = 9$.

Déterminer la raison de $\left(U_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 6$ &\textbf{b.~~} $3$ &\textbf{c.~~} $12$&\textbf{d.~~} $6$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 13}

Déterminer la limite suivante : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{- x^2 - 2x + 3}{x^2 - 3x + 2}$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $0$ &\textbf{c.~~} $- \infty$&\textbf{d.~~} $0$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 14}

Soit $a$ un réel strictement positif.

Que vaut $\ln \left(\sqrt{a}\right)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac12 \ln (a)$ &\textbf{b.~~} $2 + \ln (a)$ &\textbf{c.~~} $\dfrac12 + \ln (a)$&\textbf{d.~~} $2 \ln (a)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 15}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right)$.

La fonction $f$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} croissante sur $\R$ &\textbf{b.~~} {\small décroissante sur $\R$} &\textbf{c.~~} positive sur 
$\R$&\textbf{d.~~} négative sur $\R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 16}

Calculer la somme à progression géométrique suivante:

\[128 + 32 + 8 + \cdots + \dfrac18\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $+ \infty$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{512}{3}$ &\textbf{c.~~} $\dfrac{\np{1365}}{8}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{\np{3075}}{8}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 17}

Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique définie sur $\N$ telle que $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$.

Déterminer la formule explicite de $u_n$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $u_{n+1} = 2u_n$&\textbf{b.~~} $u_n = 2 \times 3^n$&\textbf{c.~~} $u_n = 2n$&\textbf{d.~~} $u_n = 3 \times 2^n$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 18}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = - \dfrac12 u_n + 3$.

Cette suite est:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} ni minorée, ni majorée&\textbf{b.~~} minorée par $\dfrac12$ et majorée par 5\\
\textbf{c.~~} non minorée et majorée par 5
&\textbf{d.~~} minorée par $\dfrac12$ et non majorée\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 19}

Quelles sont les solutions de l'inéquation $3^x < 2$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $\left]- \infty~;~\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right[$&\textbf{b.~~} $\left]\dfrac{\ln 2}{\ln 3}~;~+ \infty\right[$&\textbf{c.~~}$\left]- \infty~;~\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\right[$&$\left]\dfrac{\ln 3}{\ln 2}~;~+ \infty\right[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 20}

Résoudre $\dfrac{\ln (5x)}{\ln (3)} =2$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $x= \dfrac85$&\textbf{b.~~} $x = 9$&\textbf{c.~~}$x= \dfrac95$&$x = 8$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textsc{\textbf{\large FONCTIONS}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 21}

Soit $m \in \R$ et $f$ la fonction définie sur $\R \backslash \{-m\}$ par $f(x) = \dfrac{x + 3}{x + m}$.

Pour quelles valeurs de $m$ cette fonction est-elle strictement croissante sur $]- \infty~;~-6[$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $]3~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} ]3~;~6] &\textbf{c.~~} ]3~;~6[ &\textbf{d.~~} [3~;~6]
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 22}

Soit $f$ une fonction de variable réelle dont le tableau de variations est donné ci-dessous.



\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14,3)
\psframe(14,3)\psline(0,2)(14,2)\psline(2,0)(2,3)
\psline(0,2.5)(14,2.5)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.4,2.4){$-\infty$} \uput[u](5,2.4){$-2$} \uput[u](8,2.4){$0$} 
\uput[u](11,2.4){$2$} \uput[u](13.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$} \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](6.5,1.9){$-$}
\uput[u](8,1.9){$0$} \uput[u](9.5,1.9){$+$} \uput[u](11,1.9){$0$} \uput[u](12.5,1.9){$-$}
\uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[d](5,2){3}\uput[u](8,0){$-1$}\uput[d](11,2){3}\uput[u](13.5,0){$- \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5,)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)\psline{->}(11.5,1.5)(13.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer le nombre de solution(s) de l'équation : $2f(x) - 3 = 0$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $2$ &\textbf{b.~~} 1 &\textbf{c.~~} 4 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 23}

Soit $f$ une fonction de variable réelle telle que pour tout $x$ réel, $f'(x) = x(x + 2)^2$.

Déterminer le nombre d'extremums de $f$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} 3 &\textbf{c.~~} 2 &\textbf{d.~~} 1
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 24}

Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^2 - 3x}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(2x - 3)\text{e}^{x^2 - 3x}$ &\textbf{b.~~} $\text{e}^{x^2 - 3x}$ &\textbf{c.~~} $\left(x^2 - 3x\right)\text{e}^{x^2 -3x - 1}$ &\textbf{d.~~} $\left(x^2 - 3x\right)\text{e}^{2x-3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Attention !} Pour les deux prochaines questions, on considère la courbe suivante :

\medskip

\textbf{Question 25}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.25,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.25,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul  sub 3 add}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = x^3 - 3x^2 + 3$ &\textbf{b.~~} $y = - x^3 + 3x^2 + 3$ &\textbf{c.~~} $y = x^4 - 2x^2 + 3$ &\textbf{d.~~} $y = - x^4 + 2x^2 + 3$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 26}

Sur quel intervalle est-elle convexe ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $]1~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} $]0~;~+ \infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~1[$ &\textbf{d.~~} $]-\infty~;~0[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 27}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R\backslash \{-2~;~-1~;~ 1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^3 + 2x^2 - x - 2}$.

\smallskip

Combien d'asymptotes possède la courbe représentative de $f$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $2$ &\textbf{b.~~} $3$ &\textbf{c.~~} $4$ &\textbf{d.~~} $5$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 28}

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est convexe sur $]0~;~+ \infty[$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x) = \ln \left(\text{e}^x - 1\right)$ &\textbf{b.~~} $f(x) = - \dfrac 1x$ &\textbf{c.~~} $f(x) = \ln (x)$ &\textbf{d.~~} $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 29}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right)$.

La fonction $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}}
\textbf{a.~~} décroissante sur $\R$ &\textbf{b.~~} décroissante sur $\R_-^{*}$ &\textbf{c.~~} décroissante sur $\R_+^{*}$ &\textbf{d.~~} croissante sur $\R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 30}

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, dont le tableau de signes de la dérivée est donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,1.5)
\psframe(9,1.5)\psline(0,0.75)(9,0.75) \psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.8){$x$} \uput[u](1.4,0.8){$-\infty$} \uput[u](3,0.8){$-3$}
\uput[u](5,0.8){$-1$} \uput[u](7,0.8){$1$} \uput[u](8.6,0.8){$+\infty$}
\uput[u](0.5,-0){$f'(x)$}\uput[u](2,0.1){$-$}\uput[u](6,0.1){$-$}\uput[u](4,0.1){$+$}
\uput[u](8,0.1){$+$}
\uput[u](3,0.1){$0$}\uput[u](5,0.1){$0$}\uput[u](7,0.1){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(3 - 2x)$.

Sur quel intervalle la fonction $g$ est-elle strictement décroissante?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~} $]4~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} $]2~;~4[$& 
\textbf{c.~~} $]1~;~2[$  &\textbf{d.~~} $]- 2~;~1[$
\end{tabularx}
\end{center}


\medskip

\textbf{Question 31}

On considère la fonction $f$ définie sur~: par $f(x) = 2x^2 \ln (x) - x^2 + 3x - 2$.

Le point d'inflexion de la courbe représentative de $f$ a pour abscisse :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~} $x = \text{e}$ &\textbf{b.~~} $x = \text{e}^{-1}$& 
\textbf{c.~~} $x = - \text{e}$  &\textbf{d.~~} $x = 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 32}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^{*}$ : par $f(x) = - x \ln (x) + 2x + 1$.

 La courbe représentative de $f$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~} est entièrement située sous ses tangentes &\textbf{b.~~} est entièrement située au dessus de ses tangentes\\ 
\textbf{c.~~} traverse sa tangente au point $x = $e  &\textbf{d.~~}  traverse sa tangente au point $x = 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 33}

On considère la figure suivante représentant la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

Déterminer le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation $f\left(x^2f(x)\right) +2 = 0$.

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=1.25cm,comma}
\begin{pspicture}(-0.2,-3.2)(2.1,0.6)
\multido{\n=0.0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,0.5)}
\multido{\n=-3.0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.2,-3.2)(2.1,0.6)
\psaxes[ticks=x,Dx=0.1,labels=none](2,0.1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.15,0.5)(-0.125,0)(-0.1,-0.5)(-0.05,-1.5)(0,-2)(0.1,-2.7)(0.2,-3)(0.3,-2.8)(0.35,-2.65)(0.5,-2.1)(0.66,-1.47)(0.93,-1)(1,-1.04)(1.1,-1.25)(1.3,-2.1)(1.5,-2.82)(1.63,-3)(1.84,-2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $6 $ &\textbf{b.~~} $12$ &\textbf{c.~~} $8$ &\textbf{d.~~} $9$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 34}

Soit f la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3\sqrt{\text{e}^x + x^2+ 3} - \ln \left(x^2 + \text{e}^x\right)$.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0 est :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = 6 - \dfrac14 x$ &\textbf{b.~~} $y = 24 - 4x$ 
&\textbf{c.~~} $y = 4 - \dfrac x6$ &\textbf{d.~~} $y = 24 - 6x$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}\textsc{\textbf{\large PRIMITIVES}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 35}



Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{5x + 5}{x^2 + 2x + 5}$.

Déterminer une primitive de $f$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $F(x)=- \dfrac25 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ &\textbf{b.~~} $F(x)=- \dfrac52 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ \\ \textbf{c.~~} $F(x)= \dfrac25 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ &\textbf{d.~~} $F(x)= \dfrac52 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 36}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R\backslash{-1}$  par $f(x) = \dfrac{2x - 1}{(x + 1)^2}$.

Déterminer les primitives de $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) + \dfrac{2}{x + 1} +C$
 &\textbf{b.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) - \dfrac{2}{x + 1} +C$ \\
\textbf{c.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) + \dfrac{3}{x + 1} +C$ &\textbf{d.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) - \dfrac{3}{x + 1} +C$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 37}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ et $g$ la fonction définie par 

$g(x) = (x + 1)f'(x)$.

Déterminer les primitives de $g$.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $G(x) = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 4}} + C$
 &\textbf{b.~~} $G(x) = \dfrac{2x^2 + x + 4}{\sqrt{x^2 + 4}} + C$ \\
\textbf{c.~~} $G(x) = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x^2 + 4}} +C$ &
\textbf{d.~~} $G(x) = \dfrac{x + 4}{\sqrt{x^2 + 4}} +C$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}\textsc{\textbf{\large PROBABILITÉS}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 38}

Une ville est constituée à 65\,\% d'hommes dont 30\,\% pratiquent un sport. Parmi les femmes (de cette même ville), 60\,\% pratiquent un sport.

On prend une personne au hasard dans la ville. Quelle est la probabilité qu'elle fasse du sport ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,305$ &\textbf{b.~~} $0,405$&
\textbf{c.~~} $0,205$ &\textbf{d.~~} $0,505$
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{Question 39}

Un jeu consiste à lancer trois dés A, B, C à 6 faces. L'objectif est d'obtenir au moins deux faces \og 6 \fg. Cependant les dés sont truqués.

Il a été établi que :

\begin{itemize}
\item La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} avec le dé A est de 0,7
\item La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} avec le dé B est de 0,6
\item La probabilité de gagner à ce jeu est de 0,558
\end{itemize}

Quelle est la probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} avec le dé C ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,3$ &\textbf{b.~~} $0,4$&
\textbf{c.~~} $0,5$ &\textbf{d.~~} $0,6$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 40}

\medskip

Une urne contient trois boules blanches et six boules noires. On tire successivement trois boules avec remise. 

Quelle est la probabilité d'obtenir plus de boules blanches que de noires ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,2$
 &\textbf{b.~~} $\dfrac{7}{27}$ &
\textbf{c.~~} $0,5$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{17}{27}$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 41}

Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(15~;~0,4)$.

Déterminer $P(X = 8)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\binom{15}{8} \times 0,4^8 \times 0,6^7$
 &\textbf{b.~~} $0,4^8 \times 0,6^7$ &
\textbf{c.~~} $\binom{15}{8} \times 0,4^7 \times 0,6^8$ &\textbf{d.~~} $0,4^7 \times 0,6^8$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Attention !} Pour les deux questions suivantes, on se place dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O.

Un robot part de O et se déplace aléatoirement verticalement ou horizontalement, de telle manière qu'à chaque pas, soit son abscisse soit sont ordonnée augmente. À chaque déplacement, la probabilité qu'il se déplace selon l'axe des abscisses est de 0,4.

\medskip

\textbf{Question 42}

Quelle est la probabilité que le robot arrive au point M(7~;~9) au bout de $16$ étapes ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\binom{9}{7} \times 0,4^9 \times 0,6^7$
 &\textbf{b.~~} $\binom{9}{7} \times 0,4^7 \times 0,6^{16}$ &
\textbf{c.~~} $\binom{16}{9} \times 0,4^9 \times 0,6^7$ &\textbf{d.~~} $\binom{16}{7} \times 0,4^7 \times 0,6^9$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 43}

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de déplacements du robot selon l'axe des abscisses, après $16$ étapes.

Déterminer l'espérance $E(X)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $8$
 &\textbf{b.~~} $6,4$ &
\textbf{c.~~} $6$ &\textbf{d.~~} $8,4$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textsc{\textbf{\large ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION
}}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 44}

Déterminer l'affichage de l'algorithme suivant, sachant que l'on saisi la valeur $n = 10$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}\hline
\multicolumn{2}{l}{Algorithme 1 : Avenir 2023}\\ \hline
1&Entrée\\
2&\quad	$n$ : entier naturel\\
3& Variables\\
4&\quad $u$ : réel\\
5&\quad $i$ : entier naturel\\
6& Traitement\\
7&\quad Saisir $n$\\
8&\quad Pour $i$ allant de 1 à n faire\\
9& \qquad $u$ prend la valeur 1\\
10& \qquad $u$ prend la valeur $\dfrac{3}{6 - 2u}$\\
11&\quad Afficher $u$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{33}{52}$ &\textbf{c.~~} $\dfrac{52}{33}$ &\textbf{d.~~} $\dfrac34$
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{Question 45}

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}\hline
\multicolumn{2}{l}{Algorithme 2 : Avenir 2023 bis}\\ \hline
1&Variables\\
2&\quad $u$ : réel\\
3&\quad $i$ : entier naturel\\
4& Initialisation\\
5&\quad $i$ prend la valeur 0\\
6&\quad $u$ prend la valeur 0\\
7& Traitement\\
8&\quad Tant que $i \leqslant 10$ faire\\
9&\qquad $i$ prend la valeur $i+1$\\
10&\qquad $u$ prend la valeur $2u + 3$\\
11&\quad Afficher $u$\\  \hline
\end{tabular}
\end{center}

Que retourne cet algorithme?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Le 10\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 2u_n + 3$ &\textbf{b.~~} Le 11\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 2u_n + 3$ \\
\textbf{c.~~} Le 10\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 3u_n + 2$ &\textbf{d.~~}  Le 11\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 3u_n + 2$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}