\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage[mathscr]{eucal} %\usepackage{eulervm,eufrak} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours Avenir}, pdftitle = {29 avril 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Terminale spécialité} \lfoot{\small{Concours Avenir}} \rfoot{\small 29 avril 2023} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 29 avril 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet A Profil Violet et Vert\footnote{Candidats ayant suivi la spécialité mathématiques et une spécialité scientifique ou ayant suivi la spécialité mathématiques et une spécialité non scientifique}}} \vspace{0,5cm} DURÉE: 1~h~30~min \medskip \textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES} \end{center} \textbf{Lisez attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.\\ Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon.\\ L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique (connecté ou non) est interdit.\\ Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.}\\ \textbf{Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.\\ Si vous trouvez ce sujet \og difficile\fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e).\\ Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !}\\ \medskip \textbf{Barème :} \textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point}. \newpage \begin{center}\textsc{\textbf{\large GÉOMÉTRIE DU PLAN ET DE L'ESPACE}}\end{center} \smallskip \textbf{Règle de nommage et représentation d'un cube}: Dans ce sujet, un cube ABCDEFGH, dénote le cube suivant (aux rotations près du cube) : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(3.4,3.3) \pspolygon(1.3,0.2)(2.9,0.6)(2.9,2.3)(1.3,1.9)%FBCG \uput[d](1.3,0.2){F}\uput[dr](2.9,0.6){B}\uput[dr](2.9,2.3){C}\uput[dl](1.3,1.9){G} \uput[l](0.4,2.7){H}\uput[l](0.4,1){E}\uput[ur](2,3.1){D}\uput[ur](2,1.4){A} \psline(1.3,1.9)(0.4,2.7)(0.4,1)(1.3,0.2)%GHEF \psline(2.9,2.3)(2,3.1)(0.4,2.7)(1.3,1.9)%CDHG \psline[linestyle=dashed](2.9,0.6)(2,1.4)(0.4,1)%BAE \psline[linestyle=dashed](2,3.1)(2,1.4)%AD \end{pspicture} \end{center} \textbf{Attention !} Pour les questions 1 à 5, on se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. \medskip \textbf{Question 1} On considère le plan $(P)$ d'équation : $x +2y +3z - 1 = 0$. Quel vecteur est normal à $(P)$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\vect{n_1}(1~;~2~;~-1)$&\textbf{b.~~} $\vect{n_2}(1~;~2~;~3)$& \textbf{c.~~} $\vect{n_3}(1~;~3~;~-1)$&\textbf{d.~~} $\vect{n_4}(2~;~3~;~-1)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 2} On considère la droite $(d)$ d'équation : $\dfrac{x - 2}{-1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z + 3}{1}$. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(d)$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\vect{u_1}(2~;~1~;~1)$&\textbf{b.~~} $\vect{u_2}(1~;~2~;~-3)$& \textbf{c.~~} $\vect{u_3}(-1~;~2~;~1)$&\textbf{d.~~} $\vect{u_4}(2~;~1~;~-3)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 3} On considère les points A(1~;~3~;~0) et B$(5~;~1~;~-2)$. Déterminer l'équation du plan médiateur du segment [AB]. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $2x - y - z - 5 = 0$&\textbf{b.~~} $2x - y - z + 5 = 0$& \textbf{c.~~} $x + y + + 2z - 3 = 0$&\textbf{d.~~} $3x + 2y - z - 14 = 0$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 4} On considère les trois points suivants: \begin{center}A$(-1~;~-2~;~3)$\qquad B$(-6~;~1~;~1)$\qquad C$(-5~;~-3~;~2)$\end{center} Le triangle ABC est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} équilatéral &\textbf{b.~~} rectangle en A& \textbf{c.~~} rectangle en C& \textbf{d.~~} isocèle en C \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 5} On considère les trois points suivants: \begin{center}A(1~;~2~;~3) ;\qquad B(3~;~3~;~5) ;\qquad C$(-1~;~2~;~-4)$ \end{center} Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de C sur (AB) : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $(-1~;~1~;~1)$&\textbf{b.~~} $\left(2~;~\dfrac52~;~4\right)$& \textbf{c.~~} $\left(0~;~\dfrac32~;~2\right)$& \textbf{d.~~} $(- 3~;~0~;~-1)$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Attention !} Dans les trois prochaines questions, on considère un cube ABCDEFGH, et les points: M le milieu de [CD], P le milieu de [GH] et N le centre de la face ABCD. \medskip \textbf{Question 6} Quels sont les points coplanaires ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} M, C, P et F &\textbf{b.~~} A, B, C et P &\textbf{c.~~} M, N, E et H &\textbf{d.~~} M, P{}, E et F \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 7} Le plan et la droite sécants sont : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} (ABE) et (CP) &\textbf{b.~~} (ABC) et (DH) &\textbf{c.~~} (MNH) et (BC)&\textbf{d.~~} (DAP) et (MG) \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 8} Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{FG}}$ dirigent le plan : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} (BCD) &\textbf{b.~~} (ABF) &\textbf{c.~~} (ABG)&\textbf{d.~~} (FGB) \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 9} Soit ABCDEFGH et BIJCFLKG deux cubes de même taille disposés côte à côte. Soit le point X défini par $\vect{\text{AX}} = 2\vect{\text{CJ}} + \vect{\text{DH}} + \vect{\text{FG}}$. Le point X se situe en : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} H &\textbf{b.~~} G &\textbf{c.~~} K&\textbf{d.~~} J \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 10} Soit ABCDEFGH un cube de côté non nul. Soit les points I et J tels que $\vect{\text{EI}} = \dfrac13\vect{\text{EF}}$ et $\vect{\text{GJ}} = \dfrac23\vect{\text{GC}}$. Quel vecteur est dans le plan dirigé par $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{IJ}}$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\vect{\text{EA}}$ &\textbf{b.~~} $\vect{\text{FE}}$ &\textbf{c.~~} $\vect{\text{FG}}$&\textbf{d.~~} $\vect{\text{FJ}}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 11} Soit $x \in \R_+^{*}$ et un parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que AD = AE $= x$AB. Pour quelle valeur de $x$, les droites (BH) et (AG) sont-elles orthogonales? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ &\textbf{c.~~} $\sqrt 2$&\textbf{d.~~} $\dfrac12$ \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center}\textsc{\textbf{\large CALCUL NUMÉRIQUE, SUITES NUMÉRIQUES}}\end{center} \medskip \textbf{Question 12} Soit $\left(U_n\right)$ une suite géométrique telle que $U_1 = 3$ et $U_2 = 9$. Déterminer la raison de $\left(U_n\right)$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 6$ &\textbf{b.~~} $3$ &\textbf{c.~~} $12$&\textbf{d.~~} $6$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 13} Déterminer la limite suivante : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{- x^2 - 2x + 3}{x^2 - 3x + 2}$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $0$ &\textbf{c.~~} $- \infty$&\textbf{d.~~} $0$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 14} Soit $a$ un réel strictement positif. Que vaut $\ln \left(\sqrt{a}\right)$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\dfrac12 \ln (a)$ &\textbf{b.~~} $2 + \ln (a)$ &\textbf{c.~~} $\dfrac12 + \ln (a)$&\textbf{d.~~} $2 \ln (a)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 15} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right)$. La fonction $f$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} croissante sur $\R$ &\textbf{b.~~} {\small décroissante sur $\R$} &\textbf{c.~~} positive sur $\R$&\textbf{d.~~} négative sur $\R$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 16} Calculer la somme à progression géométrique suivante: \[128 + 32 + 8 + \cdots + \dfrac18\] \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $+ \infty$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{512}{3}$ &\textbf{c.~~} $\dfrac{\np{1365}}{8}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{\np{3075}}{8}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 17} Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique définie sur $\N$ telle que $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$. Déterminer la formule explicite de $u_n$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $u_{n+1} = 2u_n$&\textbf{b.~~} $u_n = 2 \times 3^n$&\textbf{c.~~} $u_n = 2n$&\textbf{d.~~} $u_n = 3 \times 2^n$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 18} Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = - \dfrac12 u_n + 3$. Cette suite est: \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} ni minorée, ni majorée&\textbf{b.~~} minorée par $\dfrac12$ et majorée par 5\\ \textbf{c.~~} non minorée et majorée par 5 &\textbf{d.~~} minorée par $\dfrac12$ et non majorée\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 19} Quelles sont les solutions de l'inéquation $3^x < 2$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\left]- \infty~;~\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right[$&\textbf{b.~~} $\left]\dfrac{\ln 2}{\ln 3}~;~+ \infty\right[$&\textbf{c.~~}$\left]- \infty~;~\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\right[$&$\left]\dfrac{\ln 3}{\ln 2}~;~+ \infty\right[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 20} Résoudre $\dfrac{\ln (5x)}{\ln (3)} =2$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $x= \dfrac85$&\textbf{b.~~} $x = 9$&\textbf{c.~~}$x= \dfrac95$&$x = 8$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center}\textsc{\textbf{\large FONCTIONS}}\end{center} \medskip \textbf{Question 21} Soit $m \in \R$ et $f$ la fonction définie sur $\R \backslash \{-m\}$ par $f(x) = \dfrac{x + 3}{x + m}$. Pour quelles valeurs de $m$ cette fonction est-elle strictement croissante sur $]- \infty~;~-6[$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $]3~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} ]3~;~6] &\textbf{c.~~} ]3~;~6[ &\textbf{d.~~} [3~;~6] \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 22} Soit $f$ une fonction de variable réelle dont le tableau de variations est donné ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(14,3) \psframe(14,3)\psline(0,2)(14,2)\psline(2,0)(2,3) \psline(0,2.5)(14,2.5) \uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.4,2.4){$-\infty$} \uput[u](5,2.4){$-2$} \uput[u](8,2.4){$0$} \uput[u](11,2.4){$2$} \uput[u](13.5,2.4){$+ \infty$} \uput[u](1,1.9){$f'(x)$} \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](6.5,1.9){$-$} \uput[u](8,1.9){$0$} \uput[u](9.5,1.9){$+$} \uput[u](11,1.9){$0$} \uput[u](12.5,1.9){$-$} \uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[d](5,2){3}\uput[u](8,0){$-1$}\uput[d](11,2){3}\uput[u](13.5,0){$- \infty$} \rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5,)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)\psline{->}(11.5,1.5)(13.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} Déterminer le nombre de solution(s) de l'équation : $2f(x) - 3 = 0$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $2$ &\textbf{b.~~} 1 &\textbf{c.~~} 4 &\textbf{d.~~} 3 \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 23} Soit $f$ une fonction de variable réelle telle que pour tout $x$ réel, $f'(x) = x(x + 2)^2$. Déterminer le nombre d'extremums de $f$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} 3 &\textbf{c.~~} 2 &\textbf{d.~~} 1 \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 24} Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^2 - 3x}$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $(2x - 3)\text{e}^{x^2 - 3x}$ &\textbf{b.~~} $\text{e}^{x^2 - 3x}$ &\textbf{c.~~} $\left(x^2 - 3x\right)\text{e}^{x^2 -3x - 1}$ &\textbf{d.~~} $\left(x^2 - 3x\right)\text{e}^{2x-3}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Attention !} Pour les deux prochaines questions, on considère la courbe suivante : \medskip \textbf{Question 25} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.25,-2)(3,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.25,-2)(3,4) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 3 add} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $y = x^3 - 3x^2 + 3$ &\textbf{b.~~} $y = - x^3 + 3x^2 + 3$ &\textbf{c.~~} $y = x^4 - 2x^2 + 3$ &\textbf{d.~~} $y = - x^4 + 2x^2 + 3$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 26} Sur quel intervalle est-elle convexe ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $]1~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} $]0~;~+ \infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~1[$ &\textbf{d.~~} $]-\infty~;~0[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 27} Soit $f$ la fonction définie sur $\R\backslash \{-2~;~-1~;~ 1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^3 + 2x^2 - x - 2}$. \smallskip Combien d'asymptotes possède la courbe représentative de $f$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $2$ &\textbf{b.~~} $3$ &\textbf{c.~~} $4$ &\textbf{d.~~} $5$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 28} Parmi les fonctions suivantes, laquelle est convexe sur $]0~;~+ \infty[$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $f(x) = \ln \left(\text{e}^x - 1\right)$ &\textbf{b.~~} $f(x) = - \dfrac 1x$ &\textbf{c.~~} $f(x) = \ln (x)$ &\textbf{d.~~} $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 29} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right)$. La fonction $f$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}} \textbf{a.~~} décroissante sur $\R$ &\textbf{b.~~} décroissante sur $\R_-^{*}$ &\textbf{c.~~} décroissante sur $\R_+^{*}$ &\textbf{d.~~} croissante sur $\R$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 30} Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, dont le tableau de signes de la dérivée est donné ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,1.5) \psframe(9,1.5)\psline(0,0.75)(9,0.75) \psline(1,0)(1,1.5) \uput[u](0.5,0.8){$x$} \uput[u](1.4,0.8){$-\infty$} \uput[u](3,0.8){$-3$} \uput[u](5,0.8){$-1$} \uput[u](7,0.8){$1$} \uput[u](8.6,0.8){$+\infty$} \uput[u](0.5,-0){$f'(x)$}\uput[u](2,0.1){$-$}\uput[u](6,0.1){$-$}\uput[u](4,0.1){$+$} \uput[u](8,0.1){$+$} \uput[u](3,0.1){$0$}\uput[u](5,0.1){$0$}\uput[u](7,0.1){$0$} \end{pspicture} \end{center} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(3 - 2x)$. Sur quel intervalle la fonction $g$ est-elle strictement décroissante? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} \textbf{a.~~} $]4~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} $]2~;~4[$& \textbf{c.~~} $]1~;~2[$ &\textbf{d.~~} $]- 2~;~1[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 31} On considère la fonction $f$ définie sur~: par $f(x) = 2x^2 \ln (x) - x^2 + 3x - 2$. Le point d'inflexion de la courbe représentative de $f$ a pour abscisse : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} \textbf{a.~~} $x = \text{e}$ &\textbf{b.~~} $x = \text{e}^{-1}$& \textbf{c.~~} $x = - \text{e}$ &\textbf{d.~~} $x = 1$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 32} Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^{*}$ : par $f(x) = - x \ln (x) + 2x + 1$. La courbe représentative de $f$: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\small}X}} \textbf{a.~~} est entièrement située sous ses tangentes &\textbf{b.~~} est entièrement située au dessus de ses tangentes\\ \textbf{c.~~} traverse sa tangente au point $x = $e &\textbf{d.~~} traverse sa tangente au point $x = 1$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 33} On considère la figure suivante représentant la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\R$. Déterminer le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation $f\left(x^2f(x)\right) +2 = 0$. \begin{center} \psset{xunit=5cm,yunit=1.25cm,comma} \begin{pspicture}(-0.2,-3.2)(2.1,0.6) \multido{\n=0.0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,0.5)} \multido{\n=-3.0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.2,\n)(2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.2,-3.2)(2.1,0.6) \psaxes[ticks=x,Dx=0.1,labels=none](2,0.1) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.15,0.5)(-0.125,0)(-0.1,-0.5)(-0.05,-1.5)(0,-2)(0.1,-2.7)(0.2,-3)(0.3,-2.8)(0.35,-2.65)(0.5,-2.1)(0.66,-1.47)(0.93,-1)(1,-1.04)(1.1,-1.25)(1.3,-2.1)(1.5,-2.82)(1.63,-3)(1.84,-2) \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $6 $ &\textbf{b.~~} $12$ &\textbf{c.~~} $8$ &\textbf{d.~~} $9$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 34} Soit f la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3\sqrt{\text{e}^x + x^2+ 3} - \ln \left(x^2 + \text{e}^x\right)$. L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0 est : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $y = 6 - \dfrac14 x$ &\textbf{b.~~} $y = 24 - 4x$ &\textbf{c.~~} $y = 4 - \dfrac x6$ &\textbf{d.~~} $y = 24 - 6x$ \end{tabularx} \end{center} \begin{center}\textsc{\textbf{\large PRIMITIVES}}\end{center} \medskip \textbf{Question 35} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{5x + 5}{x^2 + 2x + 5}$. Déterminer une primitive de $f$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $F(x)=- \dfrac25 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ &\textbf{b.~~} $F(x)=- \dfrac52 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ \\ \textbf{c.~~} $F(x)= \dfrac25 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ &\textbf{d.~~} $F(x)= \dfrac52 \ln\left(x^2 + 2x + 5\right)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 36} Soit $f$ la fonction définie sur $\R\backslash{-1}$ par $f(x) = \dfrac{2x - 1}{(x + 1)^2}$. Déterminer les primitives de $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) + \dfrac{2}{x + 1} +C$ &\textbf{b.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) - \dfrac{2}{x + 1} +C$ \\ \textbf{c.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) + \dfrac{3}{x + 1} +C$ &\textbf{d.~~} $F(x) = 2\ln (x + 1) - \dfrac{3}{x + 1} +C$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 37} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ et $g$ la fonction définie par $g(x) = (x + 1)f'(x)$. Déterminer les primitives de $g$. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $G(x) = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 4}} + C$ &\textbf{b.~~} $G(x) = \dfrac{2x^2 + x + 4}{\sqrt{x^2 + 4}} + C$ \\ \textbf{c.~~} $G(x) = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x^2 + 4}} +C$ & \textbf{d.~~} $G(x) = \dfrac{x + 4}{\sqrt{x^2 + 4}} +C$ \end{tabularx} \end{center} \begin{center}\textsc{\textbf{\large PROBABILITÉS}}\end{center} \medskip \textbf{Question 38} Une ville est constituée à 65\,\% d'hommes dont 30\,\% pratiquent un sport. Parmi les femmes (de cette même ville), 60\,\% pratiquent un sport. On prend une personne au hasard dans la ville. Quelle est la probabilité qu'elle fasse du sport ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,305$ &\textbf{b.~~} $0,405$& \textbf{c.~~} $0,205$ &\textbf{d.~~} $0,505$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 39} Un jeu consiste à lancer trois dés A, B, C à 6 faces. L'objectif est d'obtenir au moins deux faces \og 6 \fg. Cependant les dés sont truqués. Il a été établi que : \begin{itemize} \item La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} avec le dé A est de 0,7 \item La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} avec le dé B est de 0,6 \item La probabilité de gagner à ce jeu est de 0,558 \end{itemize} Quelle est la probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} avec le dé C ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,3$ &\textbf{b.~~} $0,4$& \textbf{c.~~} $0,5$ &\textbf{d.~~} $0,6$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 40} \medskip Une urne contient trois boules blanches et six boules noires. On tire successivement trois boules avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir plus de boules blanches que de noires ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,2$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{7}{27}$ & \textbf{c.~~} $0,5$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{17}{27}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question 41} Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(15~;~0,4)$. Déterminer $P(X = 8)$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\binom{15}{8} \times 0,4^8 \times 0,6^7$ &\textbf{b.~~} $0,4^8 \times 0,6^7$ & \textbf{c.~~} $\binom{15}{8} \times 0,4^7 \times 0,6^8$ &\textbf{d.~~} $0,4^7 \times 0,6^8$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Attention !} Pour les deux questions suivantes, on se place dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O. Un robot part de O et se déplace aléatoirement verticalement ou horizontalement, de telle manière qu'à chaque pas, soit son abscisse soit sont ordonnée augmente. À chaque déplacement, la probabilité qu'il se déplace selon l'axe des abscisses est de 0,4. \medskip \textbf{Question 42} Quelle est la probabilité que le robot arrive au point M(7~;~9) au bout de $16$ étapes ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\binom{9}{7} \times 0,4^9 \times 0,6^7$ &\textbf{b.~~} $\binom{9}{7} \times 0,4^7 \times 0,6^{16}$ & \textbf{c.~~} $\binom{16}{9} \times 0,4^9 \times 0,6^7$ &\textbf{d.~~} $\binom{16}{7} \times 0,4^7 \times 0,6^9$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 43} Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de déplacements du robot selon l'axe des abscisses, après $16$ étapes. Déterminer l'espérance $E(X)$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $8$ &\textbf{b.~~} $6,4$ & \textbf{c.~~} $6$ &\textbf{d.~~} $8,4$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center}\textsc{\textbf{\large ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION }}\end{center} \medskip \textbf{Question 44} Déterminer l'affichage de l'algorithme suivant, sachant que l'on saisi la valeur $n = 10$ : \begin{center} \begin{tabular}{l l}\hline \multicolumn{2}{l}{Algorithme 1 : Avenir 2023}\\ \hline 1&Entrée\\ 2&\quad $n$ : entier naturel\\ 3& Variables\\ 4&\quad $u$ : réel\\ 5&\quad $i$ : entier naturel\\ 6& Traitement\\ 7&\quad Saisir $n$\\ 8&\quad Pour $i$ allant de 1 à n faire\\ 9& \qquad $u$ prend la valeur 1\\ 10& \qquad $u$ prend la valeur $\dfrac{3}{6 - 2u}$\\ 11&\quad Afficher $u$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{33}{52}$ &\textbf{c.~~} $\dfrac{52}{33}$ &\textbf{d.~~} $\dfrac34$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 45} On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{l l}\hline \multicolumn{2}{l}{Algorithme 2 : Avenir 2023 bis}\\ \hline 1&Variables\\ 2&\quad $u$ : réel\\ 3&\quad $i$ : entier naturel\\ 4& Initialisation\\ 5&\quad $i$ prend la valeur 0\\ 6&\quad $u$ prend la valeur 0\\ 7& Traitement\\ 8&\quad Tant que $i \leqslant 10$ faire\\ 9&\qquad $i$ prend la valeur $i+1$\\ 10&\qquad $u$ prend la valeur $2u + 3$\\ 11&\quad Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Que retourne cet algorithme? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} Le 10\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 2u_n + 3$ &\textbf{b.~~} Le 11\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 2u_n + 3$ \\ \textbf{c.~~} Le 10\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 3u_n + 2$ &\textbf{d.~~} Le 11\up{e} terme de la suite récurrente définie par $u_0 = 0\:, u_{n+1} = 3u_n + 2$ \end{tabularx} \end{center} \end{document}