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%Sujet aimablement fourni par Éric Loutoby
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environ-\\nement architectural}}
\rfoot{\small{14 mai 2013}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2013\\ Agencement de l'environnement architectural}}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une usine fabrique des plaques d'isolation phonique. Une machine de cette usine est chargée de percer des trous dans ces plaques de $80$~mm de diamètre. 

La figure ci-dessous représente l'histogramme d'un échantillon do 100 diamètre de  trous choisis dans plusieurs plaques. 

Exemples : 

- il y a un seul trou dont le diamètre appartient à la classe [79,54~;~79,62]

- il n'y en a aucun dans la classe [79,62~;~79,70].

\begin {center}
\psset{xunit=10cm,yunit=2.5mm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.07,-5)(1,30)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=79.54,Dx=0.08,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.07,-5)(1,30)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.08,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.16,0)(0.24,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.24,0)(0.32,12)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.32,0)(0.40,16)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.40,0)(0.48,22)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.48,0)(0.56,25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.56,0)(0.64,13)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.64,0)(0.72,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.72,0)(0.80,3)
\uput[u](0.92,0){diamètre}\uput[r](0,28){effectif}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.05,-4)(0.13,-3)
\uput[u](0.04,1){1} \uput[u](0.20,4){4} \uput[u](0.28,12){12} \uput[u](0.36,16){16} 
\uput[u](0.446,22){22} \uput[u](0.52,25){25} \uput[u](0.60,13){13} \uput[u](0.68,4){4} \uput[u](0.76,3){3}\uput[dl](0,-0.8){{\footnotesize 79,54}}
\rput(0.18,-3.5){$= 1$} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Calculer à l'aide de la calculatrice la moyenne et l'écart type de cet échantillon.

Arrondir les résultats au centième. 
\item Calculer le pourcentage de trous de cet échantillon dont le diamètre est compris entre 79,86 mm et 80,18 mm. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère maintenant que la variable aléatoire $Z$ qui à chaque trou associe son diamètre suit la loi normale de moyenne $m = 80$ et d'écart-type $\sigma = 0,13$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère qu'un trou est conforme si son diamètre appartient à l'intervalle 
[79,74~;~80,26 ]. Calculer la probabilité qu'un trou soit conforme. 

Donner une valeur approchée du résultat arrondie à $10^{- 3}$ 
\item Calculer une nouvelle valeur de l'écart-type $\sigma$ pour que la probabilité qu'un trou soit conforme soit égale à $0,99$. 

Donner une valeur approchée du résultat arrondie au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
On décide de contrôler la qualité des trous dans la production d'une journée. 

On suppose que la probabilité qu'un trou soit défectueux est $0,05$.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~trous choisis au hasard, associe le nombre de trous défectueux.
 
La production quotidienne des plaques est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler le choix des 100~trous à un tirage avec remise pour assurer l'indépendance des choix.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ (\emph{justifier votre réponse}). 
		\item Donner les paramètres de cette loi.
	\end{enumerate} 
\item Calculer une valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité pour un tel échantillon : 
	\begin{enumerate}
		\item de n'avoir aucun trou défectueux ; 
		\item d'avoir un seul trou défectueux ; 
		\item d'avoir au moins deux trous défectueux.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson notée $Y$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre de cette loi. 
		\item En utilisant cette loi de Poisson déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité de l'événement du 2. b.
	\end{enumerate} 
\item En comparant les résultats des questions 2. b. et 3. b., calculer le pourcentage d'erreur commis en remplaçant la variable aléatoire $X$ par $Y$ pour calculer la probabilité d'avoir un seul trou défectueux. 

Donner une valeur approchée à 0,1\,\% près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Pour tester la résistance d'une plaque d'isolation phonique à la chaleur on porte en laboratoire sa température à 100\degres\,C et on étudie l'évolution de sa température en fonction du temps $t$ (en minutes).
 
Soit $\theta(t)$ la température (en degré Celsius) de la plaque à l'instant $t (t$ exprimé en minutes).
 
La température ambiante du laboratoire est de 19\degres\,C et après 6 minutes la température est redescendue à 82\degres\,C.
 
En exploitant ces données on peut affirmer que la fonction $\theta$ est solution de l'équation différentielle :
 
\[(E)\: :\quad  y'(t) + 0,042y(t) = 0,798.\]
 
où $y$ est la fonction inconnue, de variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : 

\[y'(t) + 0,042 y(t) = 0\]

 sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Trouver une solution particulière de $(E)$ constante du type $g(t) = a$, où $a$ est un nombre réel à déterminer. 
\item En déduire toutes les solutions de $(E)$. 
\item D'après l'énoncé, donner $\theta(0)$, puis déterminer la solution $\theta$ de l'équation $(E)$ vérifiant cette condition initiale. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, 

\[\theta(t) = 81 \text{e}^{-0,042t} + 19.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la température de la plaque après 35 minutes. Vérifier ce résultat à l'aide du graphique, en annexe, en laissant apparents les traits de construction. 
\item Calculer la fonction dérivée $\theta'$ sur $[0~;~+ \infty[$. 

En déduire le sens de variation de $\theta$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer le temps à partir duquel la température de la plaque est inférieure à 30\degres\,C. 

Vérifier ce résultat à l'aide du graphique, en annexe, en laissant apparents les traits de construction. 
\item Déterminer la limite de $\theta(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe : Exercice 2 -- Courbe représentative de la fonction \boldmath $\theta$ \unboldmath}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(160,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-5)(160,110)
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+5}{23}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](0,\n)(160,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{81 2.71828 0.042 x mul exp div 19 add}
\uput[u](155,0){minutes}\uput[r](0,108){degrés}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}