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%Sujet aimablement fourni par Éric Loutoby
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 13 mai 2014\\[5pt] Agencement de l'environnement architectural}}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip
 
On souhaite étudier le refroidissement du café servi par une machine initialement à une température de 70~\degres~C. On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20~\degres~C. La température (en \degres~C) du café à l'instant $t$ (en min) vaut $f(t)$, où $f$ est une fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$.
 
On modélise le problème par la loi de refroidissement, énoncée par Isaac Newton : \og la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant \fg, soit: 

\[\theta' = k\left(\theta - \theta_{0}\right)\]
 
où $\theta$ est la température du corps étudié, $\theta'$ la vitesse de refroidissement, $\theta_{0}$ la température ambiante et $k$ une constante négative propre au corps étudié.
 
\textbf{Dans l'exemple traité ici}, on estime que la fonction $f$ vérifie alors l'équation :
 
\[(E) : \quad  y' + 0,2y = 4\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ et $y'$ sa dérivée première.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Elle correspond à la vitesse de refroidissement du café servi, en degrés par minute.

\begin{center} 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle 

\[E_{0} : \quad  y' + 0,2y = 0.\]
 
\item Trouver le réel $a$ tel que la fonction constante $g(t) = a$ soit solution de l'équation $E$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire la solution générale de $(E)$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la fonction $f$ sachant que la température initiale du café est de 70~\degres C.
\end{enumerate}
 
\begin{center} 
\textbf{Partie B}
\end{center}

On admet que la fonction $f$, dont la courbe est représentée en annexe, est définie pour tout $t \in  [0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t) = 20 + 50\text{e}^{- 0,2t}.\]
 
\emph{Pour la suite de cet exercice, en cas de résolution par lecture graphique, on laissera sur le document annexe une trace des traits de construction, et on explicitera la démarche.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Justifier la décroissance de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et l'interpréter dans le contexte proposé. 
\item Déterminer le comportement de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. 
\item Résoudre l'équation $f(t) = 42$ (arrondir à la seconde près). 
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item Calculer $f'(0)$. 
\end{enumerate} 

\begin{center} 
\textbf{Partie C}
\end{center}
 
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 

Les réponses doivent être justifiées.

\medskip
 
\emph{On pourra s'aider des résultats obtenus précédemment. En cas de résolution par lecture graphique, on laissera sur le document annexe  une trace des traits de construction, et on explicitera la démarche.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La température du café finit par atteindre 19~\degres C.
\item La vitesse de refroidissement du café à $t = 0$ est de $10$ degrés par minutes. 
\item Monsieur Lemcho n'apprécie son café que si sa température est supérieure à 42~\degres C. Il dispose alors de moins de 3 minutes pour déguster son café. 
\item La température moyenne du café durant les 10 premières minutes est d'environ 40~\degres C, à un degré près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip
 

\textbf{Les quatre parties peuvent être traitées indépendamment}
 
\begin{center} 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
Un sachet de café est conditionné à l'entreprise MDD par une ensacheuse.
 
On teste l'efficacité de l'ensacheuse sur un échantillon de $300$~sachets en mesurant leur masse. On obtient les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse en g& [242~;~246[& [246~;~250[& [250~;~254[& [254~;~258[& [258~;~262[\\ \hline 
effectifs& 2& 8& 268& 21& 1\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
La machine a besoin d'un réglage si l'une des conditions n'est pas vérifiée : 

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item la masse moyenne des sachets de l'échantillon est comprise entre 252 g et 254 g. 
\item l'écart type de la série de l'échantillon est inférieur à 1,5 g. 
\item la proportion de sachets ayant une masse inférieure à 250 g est inférieure à 4\,\%. 
 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Cette machine doit-elle être réglée? Justifier la réponse.

\begin{center} 
\textbf{Partie B}
\end{center}
 
L'entreprise Café grand Père commercialise les sachets de café. On admettra que la variable aléatoire $X$ qui représente la masse d'un sachet suit la loi normale de moyenne $\mu = 253$ et d'écart type $\sigma = 1,5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(X \leqslant 250)$. Donner la valeur numérique arrondie au millième. 
\item Un sachet est vendu pour un poids de 250~g. Quelle est la probabilité que la masse d'un sachet soit d'au moins 250~g ? Donner la valeur numérique arrondie au millième. 
\item La société voudrait que le taux de sachet dont la masse est inférieure à 250~g soit inférieur à 1\,\%, sans changer la valeur de l'écart type. Quelle devrait être la valeur de la moyenne $\mu$ ? (à 0,1~g près) 
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie C}
\end{center}

Les sachets sont conditionnés par lots de $100$. On note $E$ l'évènement : 
$E$ : \og un sachet a une masse inférieure à 250~g \fg. On supposera que $p(E) = 0,02$ et que les sachets sont répartis de façon indépendante dans chaque lot.
 
Soit $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de sachets vérifiant l'évènement $E$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
\item En moyenne, combien y-a-t-il de sachets dont la masse est inférieure à 250~g dans un lot ? 
\item Calculer la probabilité que tous les sachets aient une masse supérieure à 250~g. Donner la valeur numérique arrondie au millième. 
\item Calculer $p(Y \geqslant 2)$. Donner la valeur numérique arrondie au millième. 
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie D}
\end{center}

Un distributeur de café est installé dans l'entreprise MDD et on note qu'en moyenne il y a $5$ personnes utilisant le distributeur entre 10~h et 10~h 30 un jour de semaine.
 
Soit $Z$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes utilisant le distributeur de café entre 10~h et 10~h 30 un jour de semaine. On admet que $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $\lambda$ ? 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait moins de 5 personnes au distributeur de café entre 10~h et 10~h 30 un jour de semaine. Donner la valeur numérique arrondie au millième. 
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\bigskip

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\bigskip

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\begin{pspicture}(-0.5,-5)(11,77)
\uput[r](0,77){Température (en \degres~C)}
\uput[u](9.5,0){Temps (en minutes)} 
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\end{center}
\end{landscape}
\end{document}