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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}\\

\medskip

4 mai 2019 -- Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\medskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous
jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous
jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Questions obligatoires}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2 - x}{2x^2+ 1} = \dfrac{1}{2}$.
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
		\item $\displaystyle\lim_{x \to 0}  \ln (x) = 0$. 
		\item Si $2\ln (a) + 1 > 0$ alors $a > \sqrt{\text{e}}$. 
		\item Sur $]0~;~+\infty[$, la dérivée de la fonction $x \longmapsto  x \ln(x)$ est la fonction $x \longmapsto \ln(x)$. 
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine O. 

Pour tout point $M$ du plan, l'affixe de $M$ est noté $z_M$. A, B et C désignent trois points du plan distincts de O. 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Si $Z = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{6}}$ alors $|Z| = \dfrac{1}{2}$ et arg$(Z) = \dfrac{7\pi}{12}\: [2\pi]$. 
		\item Si $Z = - 2 \left(\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}\right) + \text{i}\sin \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$  alors $|Z| = 2$ et arg$(Z) = - \dfrac{3\pi}{4}\: [2\pi]$. 
		\item Si les points A et B sont symétriques par rapport à O alors $Z_{\text{A}} = \overline{Z_{\text{B}}}$. 
		\item Si $\left|Z_{\text{A}}\right| = \left|Z_{\text{B}}\right| = \left|Z_{\text{C}}\right|$ alors ABC est un triangle équilatéral. 
		\item Si arg$\left(Z_{\text{A}}\right) = \pi + \text{arg}\left(Z_{\text{B}}\right)\: [2\pi]$ alors O, A et B sont alignés. 
	\end{enumerate}
\item $f$ est une fonction définie et dérivable sur un ensemble $D$. 
	\begin{enumerate}
		\item Si $D = \R$ et $f(x) = \dfrac{x^2 - 2}{x^2 + 1}$ alors $f'(x) = \dfrac{4x}{\left(x^2 + 1 \right)^2}$. 
		\item Si $D = \R*$ et $f(x) = \left(x^2 - x\right)\text{e}^{1/x}$  alors $f'(x) = \text{e}^{1/x}\left(\dfrac{2x^2 - 2x + 1}{x} \right)$. 
		\item Si $D = \R*$ et $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right)$ alors $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. 
		\item  $\displaystyle\int_0^1  \dfrac{4x}{x^2 + 1}\:\text{d}x = \ln (2)$. 
		\item  $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x + \pi) \:\text{d}x = 0$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{1 - x}$ et $\mathcal{C}_f$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal. 

Soit $d$ la droite d'équation $y = \text{e}x + 15$ et $D$ la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$. 
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = -\infty$. 
		\item Pour tout réel $x$,\: $f'(x) = (1 - x)\text{e}^{1 - x}$. 
		\item Il existe une tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ qui est parallèle à la droite $d$. 
		\item $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la droite $D$ sur $]- \infty~;~0[$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{(\ln (x))^2}{x}$  représentée par la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère  orthonormal.  

Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[ $  par $h(x) = \dfrac{1}{x}$, représentée par la courbe $\mathcal{C}'$.
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = 0$. 
		\item Pour tout réel x strictement positif, $g'(x) = \dfrac{2\ln (x) - (\ln (x))^2}{x^2}$.  
		\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\dfrac{g(x)}{2} = \left(\dfrac{ \ln \left(\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}\right)^2$. 
		\item $\mathcal{C}$ admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses. 
		\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{C}'$ sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$. 
	\end{enumerate}
\item Un magasin d'électroménager vend deux modèles de robot au même prix et de marques $M_1$ et $M_2$. 

Les deux robots ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. 

D'après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70\,\% des acheteurs ont choisi le robot $M_1$ et, parmi eux, 60\,\% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs 20\,\% des clients ayant acheté un robot $M_2$ l'ont choisi de couleur blanche. 

On utilise la liste des clients ayant acheté l'un ou l'autre des robots précédemment cités et on choisit un client au hasard. 

Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'un même univers $\Omega$ tels que $P(A) = 0,3$ et 

$P(A \cup B) = 0,65$. 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un robot $M_2$ de couleur noire est égale à $\dfrac{6}{25}$. 
		\item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un robot de couleur noire est égale à $\dfrac{6}{25}$. 
		\item Le client a choisi un robot de couleur noire. La probabilité qu'il soit de marque $M_2$ est égale à $\dfrac{33}{50}$. 
		\item La probabilité de l'évènement $B$ est égale à $0,5$. 
		\item $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{\Large Questions à choisir}
\end{center}
\medskip 

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(\Bigl(1 - \text{e}^x\Bigr)^2\right)$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x \ne 0,\: f(x) > 0$. 
		\item L'axe des abscisses est une asymptote de $\mathcal{C}$ en $- \infty$. 
		\item Pour tout $x \ne 0,\, f(x) = 2\ln \left(1 - \text{e}^x\right)$. 
		\item Pour tout $x \ne 0, \,(f(x) > 0$ si et seulement si $x < 0)$. 
		\item $f$ est décroissante sur $]- \infty~;~0[$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N,\, u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$. 

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N$ par $v_n = - 2 u_n + 3n - \dfrac{21}{2}$. 

On considère l'algorithme ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$N$ est un entier, $U$ est un réel\\
$U \gets 1 ; N \gets 0$ ;\\
Tant que $(U \leqslant  0$ ou $N = 0$)\\
\hspace{0.8cm} $U \gets \dfrac{U}{3} + N - 2$\\
\hspace{0.8cm} $N \gets N + 1$\\ 
Fin Tant que\\ 
Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item $u_3 = - \dfrac{14}{27}$. 
		\item L'algorithme affiche la valeur de $u_3$. 
		\item Pour tout $n \in \N$,\: $(n \geqslant 5 \Longrightarrow u_n \geqslant  n - 3)$. 
		\item $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 
		\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. 

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N$,\: $\ln \left(v_{n+1}\right) = \ln \left(v_n\right) - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Si pour tout réel $x$,\: $f'(x) < 0$ alors $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante. 
		\item $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. 
		\item $\left(v_n\right)$ est convergente. 
		\item La suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout $n \in \N$ par $t_n = \left(n^2 - 200\right)\sqrt{n}$ est décroissante. 
		\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2^k} = + \infty$ 
	\end{enumerate}
\item $f$ est une fonction définie sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Si pour tout réel $x > 1$,\: $1 + \dfrac{1}{x} < f(x) < \dfrac{x^2 + x + 100}{x^2 + 1}$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. 
		\item Si $f(x) = 2x + 3 - \sin(2x)$ alors pour tout réel $x$,\: $f(x) \leqslant 2x + 2$.
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x \sin \left(\dfrac{1}{2x}\right) = 1$. 
		\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{3 + 2^n}{3 + 4^n} = 1$.  
		\item Si $0 < x < 1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left[(1 - x)^n(1 + x)^n\right] = +\infty$. 
	\end{enumerate}
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal d'origine 0, on considère les points E et F d'affixes respectives $-2 + \text{i}$ et $2 + 4\text{i}$ et $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant 

$|z + 2 - \text{i}| = |z - 2 - 4\text{i}|$. 

Pour tout point $M$ du plan, l'affixe de $M$ est notée $z_M$. 

	\begin{enumerate}
		\item Le point G d'affixe $3 - \dfrac{3}{2}\text{i}$ appartient à $\mathcal{E}$. 
		\item $\mathcal{E}$ est le cercle de diamètre [EF]. 
		\item Le triangle OEF est rectangle. 
		\item Si $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}$,\: $z_{\text{B}} = - 26 + 18\text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 2$, alors A, B et C sont alignés. 
		\item Si  $z_{\text{A}} = 3\text{e}^{2\text{i}\pi/3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-5\text{i}\pi/6}$ alors le triangle OAB est rectangle. 
	\end{enumerate}
\item L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. 

On considère les points suivants définis par leurs coordonnées: A$(1~;~ - 1~;~2)$, B$(3~;~3~;~8)$, C$( -3~;~5~;~4)$ et D$(1~;~2~;~3)$. 

On note $d$ la droite ayant pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 + \phantom{2}t\\ y &=& - 1 + 2t\\
z &=& - 2+ 3t
\end{array}\right. , t \in \R$.   

On note $d'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 + k\\ y&=&3 + k\\
 z&=&4 - k
 \end{array}\right. , k \in \R$.
 
 On note $P$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$. 

	\begin{enumerate}
		\item Le point C appartient à la droite $d$. 
		\item Les droites $d$ et $d'$ sont parallèles. 
		\item Le plan $P$ contient la droite $d$ et est orthogonal à la droite $d'$. 
		\item Le triangle BCD est rectangle. 
		\item On note $P'$ le plan contenant la droite $d'$ et le point A.
		
		 Un vecteur normal à ce plan est : $\vect{n}(3~;~ -1~;~2)$. 
	\end{enumerate}
\item On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = (x-1)^2$ et $g(x) = - x+1$ représentées graphiquement par leurs courbes respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-0.75)(2,2.75)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-0.75)(2,2.75)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1.5}{1 x sub}\uput[d](-1.,2){$\mathcal{C}_g$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1.5}{ x  1 sub dup mul}\uput[l](-0.5,2.4){\blue 
$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour tout $n \in \N$, on pose $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x}\: \text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item L'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ (pour $x \in [0~;~1]$) est égale à $\dfrac{1}{6}$. 
		\item $\displaystyle\int_0^1 (x - 1)^2\:\text{d}x  = \dfrac{2}{3}$. 
		\item $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(1 + x)^2} \:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$. 
		\item Pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} +u_n = \dfrac{1}{n+ 1}$. 
		\item $\ln \left(\dfrac{3}{2} \right) < \displaystyle\int_0^1\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} \:\text{d}x < \ln (2)$. 
	\end{enumerate}
\item Le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $0,7$. 

Marc se rend à son travail à pied ou en bus. Dans la ville où il habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu'il pleut, Marc se rend en bus à son travail dans 80\,\% des cas. 

Lorsqu'il ne pleut pas, il se rend à pied à son travail dans 60\,\% des cas. 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un client attende moins de $5$ minutes à ce guichet est égale à $\dfrac{\text{e}^{3,5} - 1}{ \text{e}^{3,5}}$.
		\item Sachant qu'un client attend depuis $5$ minutes, la probabilité qu'il attende au total plus de $10$ minutes à ce guichet est égale à $\text{e}^{-3,5}$. 
		\item Marc prend le bus un jour sur deux. 
		\item Soient $A$ et $B$ deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient: $P(A) = 0,4$,\: $P_A(B) = 0,7$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1$. 

Alors la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est égale à $\dfrac{14}{89}$. 

		\item  Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et dont la loi de probabilité  
admet comme densité la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2}{x^3}$. 

Alors $P(1 \leqslant X \leqslant 4) = \dfrac{15}{16}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center}
\textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL 
DE L'ÉPREUVE MATHÉMATIQUES }

\bigskip

(V)rai ou (F)aux 
\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No&   A&   B&   C&   D&  E\\ \hline   
1   &V  & V  & F  & F  & F \\ \hline  
2   &V  & F   &F   &F   &V\\ \hline   
3   &V  & V   &F   &F   &F\\ \hline   
4   &F  & V   &V   &V   &V\\ \hline   
5   &F   &V   &F   &V   &F\\ \hline   
6   &V   &F   &F   &V   &V\\ \hline   
7   &F   &V   &F   &F   &V\\ \hline   
8   &V   &F   &V   &F   &V\\ \hline   
9   &F   &V   &V   &F   &F\\ \hline   
10   &V   &F   &V   &F   &F\\ \hline   
11   &V   &F   &V   &V   &V\\ \hline   
12   &F   &F   &F   &V   &V\\ \hline   
13   &V   &F   &V   &V   &V\\ \hline   
14   &V   &V   &V   &F   &V\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}