\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip 5 mai 2018 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \begin{center} \textbf{\Large Questions obligatoires} \end{center} \medskip \begin{list}{\textbullet}{\textbf{1.} } \item \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{ x^2 + 2x - 3} = + \infty$ \item \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln (x)}{x- 1} = 1$ \item \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{2x -1}{x^2} = - \infty$ \item \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \text{e}^{\frac{\ln (1 +x)}{x}} = \text{e}$ \item \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 1$ \end{list} \bigskip \begin{list}{\textbullet}{\textbf{2.} } \item \textbf{(A)} Si $f(x) = -3x^4 + 2x^2 + 1$ alors $f'(x) = - 12x^3 + 4x + 1$ \item \textbf{(B)} Si $f(x) = 2x^3 + x + \dfrac{4}{x^2}$ alors $f'(x) = 6x^2 + 1 + \dfrac{4}{x^3}$ \item \textbf{(C)} Si $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x 1}$ alors $f'(x) =\dfrac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$ \item \textbf{(D)} Si $f(x) = \dfrac{\ln (x)}{\text{e}^x}$ alors $f'(x) = \dfrac{1 - x \ln (x)}{x\text{e}^x}$ \item \textbf{(E)} Si $f(x) = \cos^2 (x)$ alors $f'(x) = - \sin (2x)$ \end{list} \bigskip \textbf{3.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = x - \ln \left(x^2\right)$. On donne $\ln (2) \approx 0,69$. \begin{list}{\textbullet}{ } \item \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = + \infty$ \item \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ \item \textbf{(C)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ \item \textbf{(D)} $f'(1) = 0$ \item \textbf{(E)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, $f(x) \geqslant 0$ \end{list} %\bigskip \newpage \begin{list}{\textbullet}{\textbf{4.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = \text{e}^{x + \ln (x)}$.} \item \textbf{(A)} $f(1) = \text{e}$ \item \textbf{(B)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, $f(x) = \text{e}^{x} + x$ \item \textbf{(C)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ \item \textbf{(D)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, $f'(x) = (x + 1)\text{e}^{x}$ \item \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = 1$ \end{list} \bigskip \begin{list}{\textbullet}{\textbf{5.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R\setminus\left\lbrace 0\strut\right \rbrace$ définie par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} - 3}{\text{e}^{x} - 1}$.} \item \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$ \item \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$ \item \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = - \infty$ \item \textbf{(D)} Pour tout $x \in \R\backslash\{0\}$, \:$f'(x) = \frac{2}{\left(\text{e}^{x} - 1\right)^2}$ \item \textbf{(E)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ \end{list} \bigskip \textbf{6.} Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ On considère que les trois énoncés suivants sont vrais : \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ] $P_1$ : Si $f(0) = 1$ et $f(1) \neq 2$ alors $f(2) = 3$ \item[ ] $P_2$ : Si $f(2) = 3$ ou $f(3) \neq 4$ alors $f(0) \neq 1$ \item[ ] $P_3$ : Si $f(1) = 2$ alors $f(3) \neq 4$ \end{description} \setlength\parindent{0mm} \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{(A)} $P_2$ est équivalent à : Si $f(0) = 1$ alors $f(2) \neq 3$ ou $f(3) = 4$ \item \textbf{(B)} Si $f(0) = 1$ alors $f(2) \neq 3$ \item \textbf{(C)} On peut avoir $f(0) = 1$ et $f(1) \neq 2$ \item \textbf{(D)} On peut avoir $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$ \item \textbf{(E)} On peut affirmer que $f(0) \neq 1$ \end{list} \vspace{1cm} \begin{center} \textbf{\Large Questions à choisir} \end{center} \begin{list}{\textbullet}{\textbf{7.} Soit $q \in \R$ et pour tout $n \in \N$,\: $S_n = 1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n q^k$.} \item \textbf{(A)} Pour tout $n \geqslant 1$, \:$\displaystyle\sum_{k=1}^n q^k = S_n - 1$ \item \textbf{(B)} Pour tout $n \geqslant 1$, \:$\displaystyle\sum_{k=1}^n q^k = qS_n - 1$ \item \textbf{(C)} Si $q = 1$ alors pour tout $n \in \N$,\: $S_n = n$ \item \textbf{(D)} Si $q = - 1$ alors pour tout $n \in \N$,\: $S_n = 0$ \item \textbf{(E)} Si $q \in –1~;~1[$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{1}{1 - q}$ \end{list} \newpage \begin{list}{\textbullet}{ \textbf{8.} Soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 > 0$ et pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} = u_n\text{e}^{-u_n}$.} \item\textbf{(A)} $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique \item\textbf{(B)} $\left(u_n\right)$ est croissante \item\textbf{(C)} Pour tout $n \in \N$,\: $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$ \item\textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ \item\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ \end{list} \bigskip \begin{list}{\textbullet}{\textbf{9.}} \item\textbf{(A)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \left( 3x - \frac{\pi}{2}\right)\: \text{d}x = 1$ \item\textbf{(B)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (3x)\: \text{d}x = \dfrac{1}{3}$ \item\textbf{(C)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos^2 (x)}\:\text{d}x = 1 - \sqrt{2}$ \item\textbf{(D)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(1 + \tan^2 (x)\right)\: \text{d}x = 1$ \item\textbf{(E)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x)\:\text{d}x = 1$ \end{list} \bigskip \textbf{10.} Pour un nombre complexe $z$, Re($z$) désigne sa partie réelle, Im$(z)$ sa partie imaginaire. Soit $S$ l'ensemble des solutions de l'équation complexe : $z + \left |z\strut\right | = 1 + 2\text{i}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item\textbf{(A)} Si $z \in S$ alors $z \neq \R$ \item\textbf{(B)} Si $z \in S$ alors Im$(z) = 2$ \item\textbf{(C)} Si $z \in S$ alors $\left |z\strut\right | \geqslant 2$ \item\textbf{(D)} Si $z \in S$ alors Re$(z) \geqslant - 1$ \item\textbf{(E)} $S = \{ - 1 + 2\text{i}\}$ \end{list} \bigskip \begin{list}{\textbullet}{\textbf{11.}} \item\textbf{(A)} $\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}}$ est imaginaire pur \item\textbf{(B)} $\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 - \text{i}}$ est imaginaire pur \item\textbf{(C)} $\dfrac{1 - 2\text{i}}{2 + \text{i}}$ est réel \item\textbf{(D)} $\left|\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}}\right| = 1$ \item\textbf{(E)} $\left|\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 - \text{i}}\right| = 1$ \end{list} \newpage \textbf{12.} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points \[\text{I}(3~;~-2~;~2),\: \text{J}(6~;~1~;~5),\: \text{K}(6~;~-2~;~-1) \text{ et } \text{L}(0~;~4~;~-1).\] \begin{list}{\textbullet}{} \item\textbf{(A)} $\vect{\text{IJ}} \cdot \vect{\text{IK}} = 0$ \item\textbf{(B)} Le triangle (IJK) est rectangle \item\textbf{(C)} $\text{KL}^2 = \text{KI}^2 + \text{IL}^2$ \item\textbf{(D)} Le triangle (IKL) est rectangle \item\textbf{(E)} Le triangle (IJL) est rectangle \end{list} \bigskip \textbf{13.} La durée de vie, en années, d'un composant électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. On note $f$ la fonction densité associée à $T$ et on rappelle que pour tout $t \geqslant 0$,\: $f(t) = \lambda \text{e}^{-\lambda t}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item\textbf{(A)} $P(T\leqslant 5) = \lambda \left(1 - \text{e}^{-5\lambda}\right)$ \item\textbf{(B)} Si $P(T \leqslant 5) = 0,9$ alors $\lambda = \dfrac{\ln (10)}{5}$ \item\textbf{(C)} La probabilité que le composant ne fonctionne plus au bout de $5$~ans, sachant qu'il fonctionne depuis $2$~ans, est $P(2 \leqslant T \leqslant 5)$ \item\textbf{(D)} La probabilité que le composant ait une durée de vie supérieure à $5$~ans, sachant qu'il fonctionne depuis 2 ans, est $\dfrac{P(T \geqslant 5)}{P(T \geqslant 2)}$ \item\textbf{(E)} Si l'espérance de $T$ est $5$ alors $\lambda = 5$ \end{list} \bigskip \textbf{14.} Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$, qui a $3$ racines réelles dans $]-2~;~2[$ dont une seule dans ]1~;~2[. On note $\alpha$ la racine dans ]1~;~2[. Pour avoir une valeur approchée de $\alpha$ on utilise l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X} Entrées : &Donner les valeurs de $a$, $b$, $N$\\ Variables : &$x$ réel, $i$ entier\\ Traitement :&Pour $i$ allant de $1$ à $N$\\ &\hspace{0,5cm}$x \gets a - \dfrac{b-a}{f(b) - f(a)}f(a)$\\ &\hspace{0,5cm}Si $f(a)f(x) > 0$\\ &\hspace{1cm}$a \gets x$\\ &\hspace{0,5cm}Sinon\\ &\hspace{1cm}$b \gets x$\\ &\hspace{0,5cm} Fin Si\\ &Fin Pour\\ Sortie: &Afficher $x$\\ \end{tabularx} \end{center} \bigskip \begin{list}{\textbullet}{} \item\textbf{(A)} L'algorithme est basé sur le théorème des valeurs intermédiaires. \item\textbf{(B)} Dans l'algorithme, $x$ est l'abscisse du point intersection d'une droite avec l'axe des abscisses. \item\textbf{(C)} Pour obtenir une valeur approchée de $\alpha$, on peut donner en entrées pour $a$ et $b$ : $a = 0$ et $b = 2$. \item\textbf{(D)} Les entrées $(a = 1$, $b = 2$, $N = 10$) et $(a = 2$, $b = 1$, $N = 10)$ donneront la même sortie. \item\textbf{(E)} On peut remplacer la boucle \og Pour $i$ allant de $1$ à $N$ \fg{} par une boucle conditionnelle \og Tant que $(b - a) > 10^{-N}$ \fg. \end{list} \newpage \begin{center} \textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \bigskip \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c||*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline\hline 1 &F &V &V &V &F\\ \hline 2 &F &F &V &V &V\\ \hline 3 &V &V &F &F &V\\ \hline 4 &V &F &V &V &F\\ \hline 5 &V &F &V &F &V\\ \hline 6 &F &V &F &F &V\\ \hline 7 &V &V &F &F &V\\ \hline 8 &F &F &V &F &V\\ \hline 9 &F &V &F &V &F\\ \hline 10 &V &V &V &F &F\\ \hline 11 &F &V &F &V &V\\ \hline 12 &V &V &V &V &V\\ \hline 13 &F &V &F &V &F\\ \hline 14 &V &V &F &V &V\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}