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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}\\

\medskip

5 mai 2018 -- Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\medskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous
jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous
jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Questions obligatoires}
\end{center}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{1.} }
\item \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{ x^2  + 2x - 3} = + \infty$
\item \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln (x)}{x- 1} = 1$
\item \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{2x -1}{x^2} = - \infty$
\item \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \text{e}^{\frac{\ln (1 +x)}{x}} = \text{e}$
\item \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 1$
\end{list}

\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{2.} }
\item \textbf{(A)} Si $f(x) = -3x^4 + 2x^2 + 1$ alors $f'(x) = - 12x^3 + 4x + 1$
\item \textbf{(B)} Si $f(x) = 2x^3 + x + \dfrac{4}{x^2}$ alors $f'(x) = 6x^2 + 1 + \dfrac{4}{x^3}$
\item \textbf{(C)} Si $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x  1}$ alors $f'(x) =\dfrac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$
\item \textbf{(D)} Si $f(x) = \dfrac{\ln (x)}{\text{e}^x}$ alors $f'(x) = \dfrac{1 - x \ln (x)}{x\text{e}^x}$
\item \textbf{(E)} Si $f(x) = \cos^2 (x)$ alors $f'(x) = - \sin (2x)$
\end{list}

\bigskip

\textbf{3.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = x - \ln \left(x^2\right)$.

On donne $\ln (2) \approx 0,69$.
 
\begin{list}{\textbullet}{ }
\item \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = + \infty$
\item \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$
 \item \textbf{(C)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$
 \item \textbf{(D)} $f'(1) = 0$
 \item \textbf{(E)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, $f(x) \geqslant 0$
\end{list}

%\bigskip
\newpage

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{4.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = \text{e}^{x + \ln (x)}$.}
\item \textbf{(A)} $f(1) = \text{e}$
\item \textbf{(B)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, $f(x) = \text{e}^{x} + x$
\item \textbf{(C)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$
\item \textbf{(D)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, $f'(x) = (x + 1)\text{e}^{x}$
\item \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = 1$
\end{list}

\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{5.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R\setminus\left\lbrace 0\strut\right \rbrace$ définie par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} - 3}{\text{e}^{x} - 1}$.}
\item \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$
\item \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$
\item \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}  f(x) = - \infty$
\item \textbf{(D)} Pour tout $x \in \R\backslash\{0\}$, \:$f'(x) = \frac{2}{\left(\text{e}^{x} - 1\right)^2}$
\item \textbf{(E)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$
\end{list}

\bigskip

\textbf{6.} Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ On considère que les trois  énoncés suivants sont vrais :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $P_1$ : Si $f(0) = 1$ et $f(1) \neq 2$ alors $f(2) = 3$
\item[ ] $P_2$ : Si $f(2) = 3$ ou $f(3) \neq 4$ alors $f(0) \neq 1$
\item[ ] $P_3$ : Si $f(1) = 2$ alors $f(3) \neq 4$
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{(A)} $P_2$ est équivalent à : Si $f(0) = 1$ alors $f(2) \neq 3$ ou $f(3) = 4$
\item \textbf{(B)}  Si $f(0) = 1$ alors $f(2) \neq 3$
\item \textbf{(C)} On peut avoir $f(0) = 1$ et $f(1) \neq 2$
\item \textbf{(D)} On peut avoir $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$
\item \textbf{(E)} On peut affirmer que $f(0) \neq 1$
\end{list}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{\Large Questions à choisir}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{7.}  Soit $q \in \R$ et pour tout $n \in \N$,\: $S_n = 1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n q^k$.}
\item \textbf{(A)} Pour tout $n \geqslant 1$, \:$\displaystyle\sum_{k=1}^n q^k = S_n - 1$
\item \textbf{(B)} Pour tout $n \geqslant 1$, \:$\displaystyle\sum_{k=1}^n q^k = qS_n - 1$
\item \textbf{(C)} Si $q = 1$ alors pour tout $n \in \N$,\: $S_n = n$
\item \textbf{(D)} Si $q = - 1$ alors pour tout $n \in \N$,\: $S_n = 0$
\item \textbf{(E)} Si $q \in –1~;~1[$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{1}{1 - q}$
\end{list}

\newpage

\begin{list}{\textbullet}{ \textbf{8.} Soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 > 0$ et pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} = u_n\text{e}^{-u_n}$.}
\item\textbf{(A)} $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique
\item\textbf{(B)} $\left(u_n\right)$ est croissante
\item\textbf{(C)} Pour tout $n \in \N$,\: $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$
\item\textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$
\item\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$
\end{list}

\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{9.}} 
\item\textbf{(A)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \left( 3x - \frac{\pi}{2}\right)\: \text{d}x = 1$
\item\textbf{(B)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (3x)\: \text{d}x = \dfrac{1}{3}$
\item\textbf{(C)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos^2 (x)}\:\text{d}x = 1 - \sqrt{2}$
\item\textbf{(D)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(1 + \tan^2 (x)\right)\: \text{d}x = 1$
\item\textbf{(E)} $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x)\:\text{d}x = 1$
\end{list}

\bigskip

\textbf{10.} Pour un nombre complexe $z$, Re($z$) désigne sa partie réelle, Im$(z)$ sa partie imaginaire.

Soit $S$ l'ensemble des solutions de l'équation complexe : $z + \left |z\strut\right | = 1 + 2\text{i}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item\textbf{(A)} Si $z \in S$ alors $z \neq \R$
\item\textbf{(B)} Si $z \in S$ alors Im$(z) = 2$
\item\textbf{(C)} Si $z \in S$ alors $\left |z\strut\right | \geqslant 2$
\item\textbf{(D)} Si $z \in S$ alors Re$(z) \geqslant - 1$
\item\textbf{(E)} $S = \{ - 1 + 2\text{i}\}$
\end{list}

\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{11.}}
\item\textbf{(A)} $\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}}$ est imaginaire pur
\item\textbf{(B)} $\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 - \text{i}}$ est imaginaire pur
\item\textbf{(C)} $\dfrac{1 - 2\text{i}}{2 + \text{i}}$ est réel
\item\textbf{(D)} $\left|\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}}\right| = 1$
\item\textbf{(E)} $\left|\dfrac{1 + 2\text{i}}{2 - \text{i}}\right| = 1$
\end{list}

\newpage

\textbf{12.} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 

\[\text{I}(3~;~-2~;~2),\: \text{J}(6~;~1~;~5),\: \text{K}(6~;~-2~;~-1)
\text{ et } \text{L}(0~;~4~;~-1).\]

\begin{list}{\textbullet}{}
\item\textbf{(A)} $\vect{\text{IJ}} \cdot \vect{\text{IK}} = 0$
\item\textbf{(B)} Le triangle (IJK) est rectangle
\item\textbf{(C)} $\text{KL}^2 = \text{KI}^2 + \text{IL}^2$
\item\textbf{(D)} Le triangle (IKL) est rectangle
\item\textbf{(E)} Le triangle (IJL) est rectangle
\end{list}

\bigskip

\textbf{13.} La durée de vie, en années, d'un composant électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. On note $f$ la fonction densité associée à $T$ et on rappelle que pour tout $t \geqslant 0$,\: $f(t) = \lambda \text{e}^{-\lambda t}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item\textbf{(A)} $P(T\leqslant 5) = \lambda \left(1 - \text{e}^{-5\lambda}\right)$
\item\textbf{(B)}  Si $P(T \leqslant 5) = 0,9$ alors $\lambda = \dfrac{\ln (10)}{5}$
\item\textbf{(C)} La probabilité que le composant ne fonctionne plus au bout de $5$~ans, sachant qu'il fonctionne depuis $2$~ans, est $P(2 \leqslant T \leqslant 5)$
\item\textbf{(D)} La probabilité que le composant ait une durée de vie supérieure à $5$~ans, sachant qu'il fonctionne depuis 2 ans, est $\dfrac{P(T \geqslant 5)}{P(T \geqslant 2)}$
\item\textbf{(E)} Si l'espérance de $T$ est $5$ alors $\lambda = 5$
\end{list}

\bigskip

\textbf{14.} Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$, qui a $3$ racines réelles dans $]-2~;~2[$ dont une seule dans ]1~;~2[.

On note $\alpha$ la racine dans ]1~;~2[. Pour avoir une valeur approchée de $\alpha$ on utilise l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X}
Entrées :	&Donner les valeurs de $a$, $b$, $N$\\
Variables :	&$x$ réel, $i$ entier\\
Traitement :&Pour $i$ allant de $1$ à $N$\\
			&\hspace{0,5cm}$x \gets a - \dfrac{b-a}{f(b) - f(a)}f(a)$\\
			&\hspace{0,5cm}Si $f(a)f(x) > 0$\\
			&\hspace{1cm}$a \gets x$\\
			&\hspace{0,5cm}Sinon\\
			&\hspace{1cm}$b \gets x$\\
			&\hspace{0,5cm} Fin Si\\
			&Fin Pour\\
Sortie:		&Afficher $x$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{}
\item\textbf{(A)} L'algorithme est basé sur le théorème des valeurs intermédiaires.
\item\textbf{(B)} Dans l'algorithme, $x$ est l'abscisse du point intersection d'une droite avec l'axe des abscisses.
\item\textbf{(C)} Pour obtenir une valeur approchée de $\alpha$, on peut donner en entrées pour $a$ et $b$ : $a = 0$ et $b = 2$.
\item\textbf{(D)} Les entrées $(a = 1$, $b = 2$, $N = 10$) et $(a = 2$, $b = 1$, $N = 10)$ donneront la même sortie.
\item\textbf{(E)} On peut remplacer la boucle \og Pour $i$ allant de $1$ à $N$ \fg{} par une boucle conditionnelle \og  Tant que $(b - a) > 10^{-N}$ \fg.
\end{list}

\newpage

\begin{center}
\textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c||*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B &C &D &E\\ \hline\hline
1 	&F &V &V &V &F\\ \hline
2 	&F &F &V &V &V\\ \hline
3 	&V &V &F &F &V\\ \hline
4 	&V &F &V &V &F\\ \hline
5 	&V &F &V &F &V\\ \hline
6 	&F &V &F &F &V\\ \hline
7 	&V &V &F &F &V\\ \hline
8 	&F &F &V &F &V\\ \hline
9 	&F &V &F &V &F\\ \hline
10 	&V &V &V &F &F\\ \hline
11 	&F &V &F &V &V\\ \hline
12 	&V &V &V &V &V\\ \hline
13 	&F &V &F &V	&F\\ \hline
14 	&V &V &F &V &V\\ \hline
\end{tabularx}


\end{center}
\end{document}