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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA 2 mai 2015}\\

\medskip

2 mai 2015 Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES}
\end{center}

\medskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1 h 30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous
jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous
jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\bigskip

\textbf{Questions obligatoires}

\medskip

\textbf{1.} 

\textbf{A.} $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x - 1}{x - 3}=0$

\textbf{B.} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4} -2}{x} = 0$

\textbf{C.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\cos x}{x} =  0$

\textbf{D.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sin x}{x}=  1$

\textbf{E.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  x\text{e}^{-x} = +\infty$

\bigskip

\textbf{1.}  Soit $f$ une fonction numérique de la forme $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + 2}$ où $(a,\:b,\:c) \in \R^3$, définie sur $\R \backslash \{ -2\}$ dont le tableau de variations est :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](3,2.4){$- 3$} 
\uput[u](5,2.4){$-2$} \uput[u](7,2.4){$- 1$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\rput(2,2.25){$+$} \rput(3,2.25){$0$}\rput(4,2.25){$-$}
\rput(7,2.25){$0$}\rput(8,2.25){$+$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](3,2){$- 2$}\uput[u](4.5,0){$- \infty$} 
\uput[d](5.5,2){$+ \infty$}\uput[u](7,0){$2$}\uput[d](8.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5)\psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)
\psline{->}(7.5,0.5)(8.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

alors :

\textbf{A.} $f(-2) = -3$

\textbf{B.} $a > 0$

\textbf{C.} $f(0) > 0$

\textbf{D.} $c > 0$

\textbf{E.} $b^2 - 4ac > 0$

\bigskip

\textbf{3.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$, alors :

\textbf{A.} Pour tout $x \in \R$, $f(x) = \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}$

\textbf{B.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$

\textbf{C.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$

\textbf{D.} Pour tout $x \in \R$, $f'(x) < 0$

\textbf{E.} $f'(0) = 1$

\bigskip

\textbf{4.} Soit pour tout $x$ de $\R$, $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) - x$ alors :
\medskip

\textbf{A.} Pour tout $x$ de $\R$, $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} - 1$

\textbf{A.} $f$ est décroissante sur $\R$

\textbf{C.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$

\textbf{D.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f( x) = + \infty$

\textbf{E.} Il existe un unique $a$ de $\R$ tel que $f(a) = 0$

\bigskip

\textbf{5.} Pour tous réels non nuls $a$, $b$, $c$ et $d$ on a :

\textbf{A.} Si $a < b$ alors $a^2 < b^2$

\textbf{A.} Si $a^2 < b^2$ alors $a < b$

\textbf{C.} Si $a < b$ et $c < d$ alors $ac <bd$

\textbf{D.} Si $a < 0 < b$ alors $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$

\textbf{E.} Si $ac <bd$ alors $\dfrac{c}{b} < \dfrac{d}{a}$

\bigskip

\textbf{6.}

\medskip

\textbf{A.} \og Il existe $x \in \R$ , il existe $y \in \R \quad x < y$ \fg{} est une proposition vraie

\textbf{B.} \og Pour tout $x \in \R$ , pour tout $y \in \R\quad  x < y$ \fg{} est une proposition vraie

\textbf{C.} \og Pour tout $x \in \R$ , il existe $y \in \R\quad x < y$ \fg{} est une proposition vraie

\textbf{D.} \og Il existe $x \in \R$ , pour tout $y \in \R \quad x < y$ \fg{} est une proposition vraie

\textbf{E.} \og Pour tout $x \in \R$ , il existe $y \in \R \quad x < y$ \fg{}
est équivalent à \og il existe $x \in \R$, pour tout $y\in \R\quad x < y$ \fg

\newpage

\textbf{\large Questions à choisir}

\medskip

\textbf{7.} Soit $f$ une fonction continue sur $\R$ vérifiant $f (0) = 0$ et $f (1) = 4$. On pose $g$ la fonction définie par $g(x) = f\left(x + \dfrac{1}{2}\right) - f(x) - 2$. Alors :

\medskip
 
\textbf{A.}  $g$ est continue sur $\R$

\textbf{B.}  $g(0) < 0$

\textbf{C.}  $g(0)g\left(\dfrac{1}{2}\right) \leqslant 0$

\textbf{D.}  Il existe $c \in  \R$ tel que $f\left(c + \dfrac{1}{2}\right) - f(c) = 2$

\textbf{E.}  Pour tout $x \in \R$,\: $f(x) = 4x$

\medskip

\textbf{8.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = 4\cos^2 (x) - 3$.

Alors:

\textbf{A.} Il suffit d'étudier $f$ sur $[0~;~\pi]$

\textbf{B.} Pour tout $x \in \R$,\: $f(x - \pi) = f(x)$

\textbf{C.} $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$ de $\R$,\: $f'(x) = - 4 \sin (2x)$.

\textbf{D.} $f$ est décroissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$

\textbf{E.} $f$ est décroissante sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~0\right]$

\medskip

\textbf{9.} Pour toute suite réelle $\left(u_n\right)$ on a

\medskip

\textbf{A.} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ alors $u_n = 1$ à partir d'un certain rang

\textbf{B.} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{1}{2}$ alors $u_n \geqslant 0$ à partir d'un certain rang

\textbf{C.} Si pour tout $n \in  \N,\: u_n > 0$ et $\left(u_n\right)$ converge alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n > 0$.

\textbf{D.} Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.

\textbf{E.} Si $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$  alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.

\textbf{10.}

\medskip

\textbf{A.} $\displaystyle\int_{-18}^{18}(x^2 + 1)\:\text{d}x = 0$

\textbf{B.} $\displaystyle\int_{-5}^{5}\left(x^3 + x\right)^{15}\:\text{d}x = 0$

\textbf{C.} $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x}{x^2 + 1}\:\text{d}x = \ln 2$

\textbf{D.} $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x^3}\:\text{d}x  = 1 - \dfrac{1}{4}$.

\textbf{E.}$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}\text{d}x = \ln \sqrt{2}$

\medskip

\textbf{11.} Un facteur doit distribuer 3 lettres adressées à 3 destinataires distincts. Étant totalement ivre, il dépose une lettre au hasard dans chaque boîte. Alors la probabilité

\medskip

\textbf{A.} que chaque lettre arrive à son destinataire est $\dfrac{1}{3}$


\textbf{B.} qu'exactement une lettre arrive au bon destinataire est $\dfrac{1}{3}$

\textbf{C.} qu'au moins une lettre arrive au bon destinataire est $\dfrac{1}{2}$.

\textbf{D.} qu'aucune lettre n'arrive au bon destinataire est $\dfrac{1}{3}$

\textbf{E.} qu'exactement 2 lettres arrivent à leur destinataire est $0$

\medskip

\textbf{12.} Dans une classe, 75\,\% des étudiants ont préparé l'examen. Un étudiant n'ayant pas préparé l'examen le réussit avec une probabilité 0,2, tandis qu'un étudiant l'ayant préparé réussit avec une probabilité 0,9. Alors la probabilité

\textbf{A.} qu'un étudiant ne prépare pas l'examen et réussisse est 0,8

\textbf{B.} qu'un étudiant réussisse l'examen est 0,725

\textbf{C.} qu'un étudiant n'a pas préparé l'examen sachant qu'il a réussi est 0,25

\textbf{D.} qu'un étudiant échoue à l'examen est 0,275

\textbf{E.} qu'un étudiant prépare l'examen et échoue est 0,075

\medskip

\textbf{13.} Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \N ,\:u_{n+1} = 0,5u_n + 1$.

On considère les deux algorithmes suivants:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{2}{X}}
				&Algo1									&Algo2\\
Variables 		&$n$ et $k$ entiers naturels, $u$ réel	&$i$ et $r$ entiers naturels, $u$ réel\\
Initialisation 	&$u \gets 0$							&$u \gets 0$, $i \gets 0$\\
Entrée 			&saisir $k$								&saisir $r$\\
Traitement 		&Pour $n$ variant de 1 à $k$			&Tant que $u < 2 - 10^{-r}$\\
				&\hspace{1cm}$u \gets 0,5u + 1$			&\hspace{1cm}$u \gets 0,5u + 1$\\
				&										&\hspace{1cm}$i \gets i + 1$\\
				&Fin Pour								&Fin Tant que\\
Sortie 			&Afficher $u$							&Afficher $i$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{A.} L'algo1 calcule le terme $u_k$ de la suite $\left(u_n\right)$

\textbf{B.} Pour $k = 3$ l'algo1 affiche $1,75$

\textbf{C.} L'algo2 affiche le terme $u_n$ tel que $u_n \geqslant 2 - 10^{-r}$

\textbf{D.} L'algo2 s'arrête parce que $\left(u_n\right)$ est majorée par 2

\textbf{E.} Après avoir déroulé l'algo2, si on prend $k = i$ dans l'algo1 alors la valeur
affichée de l'algo1 vérifie $u \geqslant 2 - 10^{-r}$

\medskip

\textbf{14.} On veut construire un algorithme permettant de trouver une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution de l'équation $x^5 - 4x^3 + 2 = 0$ appartenant à [0~;~1].

L'algorithme se présente ainsi:

\begin{tabular}{l l}
Variables &$a, b$ réels\\
Initialisation&$a \gets 0,\:b \gets 1$\\
Traitement& Tant que condition1\\
&Si $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^5 - 4\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3  + 2 > 0$ alors\\
&\hspace{1cm}affectation 1\\
&Sinon\\
&\hspace{1cm}affectation2\\
&Fin Si\\
&Fin Tant que\\
Sortie &Afficher $a$ et $b$
\end{tabular}

\medskip

\textbf{A.} La condition1 est $b - a < 10^{-2}$

\textbf{B.} L'affectation1 est $b \gets \dfrac{a + b}{2}$

\textbf{C.} L'affectation1 et l'affectation2 sont les mêmes

\textbf{D.} L'algorithme affiche le résultat au bout de 6 itérations

\textbf{E.} Les valeurs affichées peuvent avoir, a priori, leur premier chiffre après la
virgule différent.

\newpage

\textbf{\large CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de la question &\multicolumn{5}{|c|}{Réponses}\\ \hline
1 &F &F 	&V &F &F\\ \hline
2 &F &V 	&V &V &F\\ \hline
3 &V &F 	&V &F &F\\ \hline
4 &F &V 	&V &V &V\\ \hline
5 &F &F 	&F &F &F\\ \hline
6 &V &F 	&V &F &F\\ \hline
7 &V &F 	&V &V &F\\ \hline
8 &V &V 	&V &V &F\\ \hline
9 &F &V 	&F &F &V\\ \hline
10 &F &V 	&F &F &F\\ \hline
11 &F &F 	&F &V &V\\ \hline
12 &F &V 	&F &V &V\\ \hline
13 &V &V 	&F &F &V\\ \hline
14 &F &F 	&F &F &V\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}