\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA--SUP biotech}\\ \medskip 6 mai 2017 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \begin{center} \textbf{\large Questions obligatoires} \end{center} \medskip \hrulefill \textbf{1.} Soit $f$ une fonction continue sur $\R$ telle que $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = 1$. \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x + 1) = 2$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f\left(x^2\right) = 1$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{z \to 1} f(z - 1) = 1$ \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f\left(\frac{1}{t}\right) = 1$ \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 3} f\left(u^2 - 2u - 3\right) = 0$ \medskip \hrulefill \textbf{2.} Pour tout $x \in \R$ \medskip \textbf{(A)} $\text{e}^{x+2} = \text{e}^x + \text{e}^2$ \textbf{(B)} $\text{e}^{2x} - 2\text{e}^x + 1 \geqslant 0$ \textbf{(C)} $\sqrt{\text{e}^x} = \text{e}^{x/2}$ \textbf{(D)} Si $x > 0$,\: $\text{e}^{x \ln (x)} = x^x$ \textbf{(E)} Si $x < 0$,\: $\text{e}^{1-x} - \text{e}^{-x} < 0$ \newpage \hrulefill \textbf{3.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = x \ln (x) - x$. \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = 0$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ \textbf{(C)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,\: $f'(x) = \ln (x)$ \textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,\: $f(x) \geqslant 0$ \medskip \hrulefill \textbf{4.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R$ définie par $f(x) = x - \text{e}^{-x}$. \medskip \textbf{(A)} $f$ est strictement croissante sur $\R$. \textbf{(B)} $f(1) > 0$ \textbf{(C)} Il existe $x \in ]0~;~1[$ tel que $f(x) = 0$ \textbf{(D)} Pour tout $x \in \R$,\: $f(x) \leqslant 0$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in \R$,\: $f'(x) \leqslant 1$ \medskip \hrulefill \textbf{5.} Soit B un ensemble de 100 boules qui sont, d'une part, soit rouge soit noire; d'autre part, soit en verre, soit en plastique. On considère les 2 énoncés suivants : $P$ : \og Toute boule rouge est en verre \fg $Q$ : \og Il existe une boule noire et en verre \fg \medskip \textbf{(A)} Pour prouver que $P$ est faux, il suffit de trouver une boule rouge et en plastique \textbf{(B)} Pour prouver que $P$ est faux, il est nécessaire de trouver une boule rouge et en plastique \textbf{(C)} Pour prouver que $P$ est vrai, il est nécessaire de vérifier que toutes les boules noires sont en plastique \textbf{(D)} Si $Q$ est vrai alors $P$ est faux \textbf{(E)} Si $P$ est faux alors $Q$ est vrai \newpage \hrulefill \textbf{6.} Soit $f$ une fonction définie sur [0~;~2], on considère les deux énoncés suivants : \hfill{{}$P$ : Pour tout $x \in [0~;~2],\: f(x) \ne 0$\hfill{{} \hfill{{}$Q$ : $f$ n'est pas positive sur [0~;~2]\hfill{{} \textbf{(A)} $P$ signifie: $f$ est strictement positive sur [0,2] ou strictement négative sur [0,2] \textbf{(B)} $P$ signifie: Pour tout $x \in [0~;~2],\: f(x) < 0$ ou $f(x) > 0$ \textbf{(C)} $Q$ signifie: $f$ est négative sur [0~;~2] \textbf{(D)} La négation de $P$ peut s'écrire: $f$ est la fonction nulle sur [0~;~2] \textbf{(E)} La négation de $Q$ peut s'écrire: $f$ n'est pas négative sur [0~;~2] \medskip \begin{center} \textbf{\large Questions à choisir} \end{center} %\medskip \hrulefill \textbf{7.} Soit $f$ une fonction dérivable sur [-1,1], paire et vérifiant: pour tout $x \in [0~;~1]$,\: $x^6 \leqslant f(x) \leqslant x^2$. \textbf{(A)} Pour tout $x \in [-1~;~0],\: x^6 \leqslant f(x) \leqslant x^2$ \textbf{(B)} $f(0) = 0$ \textbf{(C)} $f'(0) = 0$ \textbf{(D)} $f'$ est impaire \textbf{(E)} Pour tout $x \in [0~;~1], 6x^5 \leqslant f'(x) \leqslant 2x$ \medskip \hrulefill \textbf{8.} Soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ n+1}$. \textbf{(A)} $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique \textbf{(B)} $\left(u_n\right)$ est décroissante \textbf{(C)} $\left(u_n\right)$ est convergente \textbf{(D)} Pour tout $n \in \N,\: 0 < \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$ \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nu_n = 1$ \medskip \hrulefill \textbf{9.} \textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos (2x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$ \textbf{(B)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 (x)\:\text{d}x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{4}$ \textbf{(C)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 (x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\pi}{8}$ \textbf{(D)} $\displaystyle\int_0^{1} \text{e}^{2x}\: \text{d}x = \text{e}^{2} - 1$ \textbf{(E)} $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{\ln (x)}{x}\:\text{d} = \dfrac{1}{2}$ \medskip \hrulefill \textbf{10.} Pour un nombre complexe $z$, Re$(z)$ désigne sa partie réelle, Im$(z)$ sa partie imaginaire. \medskip \textbf{(A)} Re$\left((1 + \text{i})^4\right) = 4\,\text{Re}(1 + \text{i})$ \textbf{(B)} $\arg \left((1 + \text{i})^4\right) = 4 \arg(1 + \text{i})$ modulo $2\pi$ \textbf{(C)} Im$\left((- 1 + \text{i}\sqrt{3})^3\right) = 3\, \text{Im}\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$ \textbf{(D)} $\left|(-1 + \text{i}\sqrt{3})^3\right| = 3\left|- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right|$ \textbf{(E)} $\dfrac{(1 + \text{i})^4}{\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^3} = - \dfrac{1}{2}$ \medskip \hrulefill \textbf{11.} Un paquet de 10 cartes à jouer comprend 4 as, 3 rois et 3 dames. Le tirage d'un as rapporte 5 points, celui d'un roi 2 points tandis que celui d'une dame coûte 1 point. On tire simultanément 2 cartes et on note $X$ le nombre total de points. \textbf{(A)} $P(X = 7) = \dfrac{4}{15}$ \textbf{(B)} $P(X = 4) = \dfrac{4}{15}$ \textbf{(C)} $P(X = 6) = \dfrac{4}{15}$ \textbf{(D)} $P(X < 0) = \dfrac{1}{15}$ \textbf{(E)} $P(X \geqslant 1) = \dfrac{14}{15}$ \medskip \hrulefill \textbf{12.} Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\Delta$ d'équation $x - 2y + 4 = 0$, les points I(1~;~0), J$(-1~;~4)$ et H(0~;~2). \medskip \textbf{(A)} La droite (IH) est orthogonale à $\Delta$ \textbf{(B)} Les points I, J et H sont alignés \textbf{(C)} La droite (JH) est orthogonale à $\Delta$ \textbf{(D)} La droite orthogonale à $\Delta$ passant par I a pour équation $-x + 2y + 1 = 0$ \textbf{(E)} $\Delta$ est la médiatrice du segment [IJ] \medskip \hrulefill \textbf{13.} Pour tous les entiers naturels $n$ et $p$, strictement positifs \medskip \textbf{(A)} $n^2$ pair équivaut à $n$ pair \textbf{(B)} $n^2 + p^2$ pair équivaut à $n + p$ pair \textbf{(C)} Si $np$ est impair alors $n + p$ est impair \textbf{(D)} Si $np$ est impair alors $n^2 + np + p^2$ est impair \textbf{(E)} Si $n^2 + np + p^2$ est pair alors $n$ et $p$ sont pairs \newpage \hrulefill \textbf{14.} On sait que la fonction $f(x) = \dfrac{(\ln (x))^2}{\sqrt{x}}$ est strictement décroissante sur $\left[\text{e}^4~;~+ \infty\right[$, et que $\text{e}^4 \approx 54,598$. On programme l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X} Variable :& $n$ entier naturel\\ Initialisation :& $n \gets 2$\\ Traitement :&Tant que $\dfrac{(\ln (n))^2}{\sqrt{n}} \geqslant 1$\\ &\hspace{0.5cm}$n \gets n+1$\\ &Fin Tant que\\ Sortie :&Afficher $n$\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip Le programme affiche \np{5504}. On peut alors affirmer \medskip \textbf{(A)} Pour tout $x \in ]\np{5504}~;~+\infty[$,\: $f(x) \geqslant 1$ \textbf{(B)} $f(\np{5504}) < 1$ \textbf{(C)} Il existe $x \in [\np{5503}~;~5504]$,\: $(\ln (x))^2 = \sqrt{x}$ \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) < 1$ \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{\sqrt{x}} = 0$ \newpage \begin{center} \textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \bigskip \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D &E\\ \hline 1 &F &V &V &V &F\\ \hline 2 &F &V &V &V &F\\ \hline 3 &V &F &V &F &F\\ \hline 4 &V &V &V &F &F\\ \hline 5 &V &V &F &F &F\\ \hline 6 &F &V &F &F &F\\ \hline 7 &V &V &V &V &F\\ \hline 8 &F &V &V &V &F\\ \hline 9 &V &V &F &F &V\\ \hline 10 &F &V &F &F &V\\ \hline 11 &V &F &F &V &V\\ \hline 12 &V &V &V &F &V\\ \hline 13 &V &V &F &V &V\\ \hline 14 &F &V &V &V &V\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}