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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA--SUP biotech}\\

\medskip

6 mai 2017 -- Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\medskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Questions obligatoires}
\end{center}

\medskip

\hrulefill 

\textbf{1.} Soit $f$ une fonction continue sur $\R$ telle que $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = 1$.

\medskip

\textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x + 1) = 2$

\textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f\left(x^2\right) = 1$

\textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{z \to 1} f(z - 1) = 1$

\textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f\left(\frac{1}{t}\right) = 1$

\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 3} f\left(u^2 - 2u - 3\right) = 0$

\medskip

\hrulefill 

\textbf{2.} Pour tout $x \in \R$

\medskip

\textbf{(A)} $\text{e}^{x+2} = \text{e}^x + \text{e}^2$

\textbf{(B)} $\text{e}^{2x} - 2\text{e}^x + 1 \geqslant 0$

\textbf{(C)} $\sqrt{\text{e}^x} = \text{e}^{x/2}$

\textbf{(D)} Si $x > 0$,\: $\text{e}^{x \ln (x)} = x^x$

\textbf{(E)} Si $x < 0$,\: $\text{e}^{1-x} - \text{e}^{-x} < 0$

\newpage

\hrulefill 

\textbf{3.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = x \ln (x) - x$.

\medskip

\textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = 0$

\textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$

\textbf{(C)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,\: $f'(x) = \ln (x)$

\textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$

\textbf{(E)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,\: $f(x) \geqslant 0$

 \medskip

\hrulefill 

\textbf{4.} Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R$ définie par $f(x) = x - \text{e}^{-x}$.

\medskip

\textbf{(A)} $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\textbf{(B)} $f(1) > 0$

\textbf{(C)} Il existe $x \in ]0~;~1[$ tel que $f(x) = 0$

\textbf{(D)} Pour tout $x \in  \R$,\: $f(x) \leqslant 0$

\textbf{(E)} Pour tout $x \in  \R$,\: $f'(x) \leqslant 1$

\medskip

\hrulefill 

\textbf{5.} Soit B un ensemble de 100 boules qui sont, d'une part, soit rouge soit noire; d'autre part, soit en verre, soit en plastique.

On considère les 2 énoncés suivants :

$P$ : \og Toute boule rouge est en verre \fg

$Q$ : \og Il existe une boule noire et en verre \fg

\medskip

\textbf{(A)} Pour prouver que $P$ est faux, il suffit de trouver une boule rouge et en plastique

\textbf{(B)} Pour prouver que $P$ est faux, il est nécessaire de trouver une boule rouge et en plastique

\textbf{(C)} Pour prouver que $P$ est vrai, il est nécessaire de vérifier que toutes les boules noires sont en plastique

\textbf{(D)} Si $Q$ est vrai alors $P$ est faux

\textbf{(E)} Si $P$ est faux alors $Q$ est vrai

\newpage

\hrulefill 

\textbf{6.} Soit $f$ une fonction définie sur [0~;~2], on considère les deux énoncés suivants :


\hfill{{}$P$ : Pour tout $x \in [0~;~2],\: f(x) \ne 0$\hfill{{}

\hfill{{}$Q$ : $f$ n'est pas positive sur [0~;~2]\hfill{{}

\textbf{(A)} $P$ signifie: $f$ est strictement positive sur [0,2] ou strictement négative sur [0,2]

\textbf{(B)} $P$ signifie: Pour tout $x \in [0~;~2],\: f(x) < 0$ ou $f(x) > 0$

\textbf{(C)} $Q$ signifie: $f$ est négative sur [0~;~2]

\textbf{(D)} La négation de $P$ peut s'écrire: $f$ est la fonction nulle sur [0~;~2]

\textbf{(E)} La négation de $Q$ peut s'écrire: $f$ n'est pas négative sur [0~;~2]

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Questions à choisir}
\end{center}

%\medskip

\hrulefill 

\textbf{7.} Soit $f$ une fonction dérivable sur [-1,1], paire et vérifiant: pour tout $x \in [0~;~1]$,\: $x^6 \leqslant f(x) \leqslant x^2$.

\textbf{(A)} Pour tout $x \in [-1~;~0],\: x^6 \leqslant f(x) \leqslant x^2$

\textbf{(B)} $f(0) = 0$

\textbf{(C)} $f'(0) = 0$

\textbf{(D)} $f'$ est impaire

\textbf{(E)} Pour tout $x \in [0~;~1], 6x^5 \leqslant f'(x) \leqslant 2x$

\medskip

\hrulefill 

\textbf{8.} Soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ n+1}$.

\textbf{(A)} $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique

\textbf{(B)} $\left(u_n\right)$ est décroissante

\textbf{(C)} $\left(u_n\right)$ est convergente

\textbf{(D)} Pour tout $n \in \N,\: 0 < \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$

\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nu_n = 1$

\medskip

\hrulefill 

\textbf{9.} 

\textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos (2x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$

\textbf{(B)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 (x)\:\text{d}x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{4}$

\textbf{(C)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 (x)\:\text{d}x  = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\pi}{8}$

\textbf{(D)} $\displaystyle\int_0^{1} \text{e}^{2x}\: \text{d}x = \text{e}^{2} - 1$

\textbf{(E)} $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{\ln (x)}{x}\:\text{d} = \dfrac{1}{2}$

\medskip

\hrulefill 

\textbf{10.} Pour un nombre complexe $z$, Re$(z)$ désigne sa partie réelle, Im$(z)$ sa partie imaginaire.

\medskip

\textbf{(A)} Re$\left((1 + \text{i})^4\right) = 4\,\text{Re}(1 + \text{i})$

\textbf{(B)} $\arg \left((1 + \text{i})^4\right) = 4 \arg(1 + \text{i})$ modulo $2\pi$

\textbf{(C)} Im$\left((- 1 + \text{i}\sqrt{3})^3\right) = 3\, \text{Im}\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$

\textbf{(D)} $\left|(-1 + \text{i}\sqrt{3})^3\right| = 3\left|- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right|$

\textbf{(E)} $\dfrac{(1 + \text{i})^4}{\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^3} = - \dfrac{1}{2}$

\medskip

\hrulefill 


\textbf{11.} Un paquet de 10 cartes à jouer comprend 4 as, 3 rois et 3 dames. Le tirage d'un as rapporte 5 points, celui d'un roi 2 points tandis que celui d'une dame coûte 1 point. On tire simultanément 2 cartes et on note $X$ le nombre total de points.

\textbf{(A)} $P(X = 7) = \dfrac{4}{15}$

\textbf{(B)} $P(X = 4) = \dfrac{4}{15}$

\textbf{(C)} $P(X = 6) = \dfrac{4}{15}$

\textbf{(D)} $P(X < 0) = \dfrac{1}{15}$

\textbf{(E)} $P(X \geqslant 1) = \dfrac{14}{15}$

\medskip

\hrulefill 

\textbf{12.} Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite 
$\Delta$ d'équation $x - 2y + 4 = 0$, les points
I(1~;~0), J$(-1~;~4)$ et H(0~;~2).

\medskip

\textbf{(A)} La droite (IH) est orthogonale à $\Delta$

\textbf{(B)} Les points I, J et H sont alignés

\textbf{(C)} La droite (JH) est orthogonale à $\Delta$

\textbf{(D)} La droite orthogonale à $\Delta$ passant par I a pour équation $-x + 2y + 1 = 0$

\textbf{(E)} $\Delta$ est la médiatrice du segment [IJ]

\medskip

\hrulefill 

\textbf{13.} Pour tous les entiers naturels $n$ et $p$, strictement positifs

\medskip

\textbf{(A)} $n^2$ pair équivaut à $n$ pair

\textbf{(B)} $n^2 + p^2$ pair équivaut à $n + p$ pair

\textbf{(C)} Si $np$ est impair alors $n + p$ est impair

\textbf{(D)} Si $np$ est impair alors $n^2 + np + p^2$ est impair

\textbf{(E)} Si $n^2 + np + p^2$ est pair alors $n$ et $p$ sont pairs

\newpage

\hrulefill 

\textbf{14.} On sait que la fonction $f(x) = \dfrac{(\ln (x))^2}{\sqrt{x}}$ est strictement décroissante sur $\left[\text{e}^4~;~+ \infty\right[$, et que $\text{e}^4 \approx 54,598$.

On programme l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X}
Variable :& $n$ entier naturel\\
Initialisation :& $n \gets 2$\\
Traitement :&Tant que  $\dfrac{(\ln (n))^2}{\sqrt{n}} \geqslant 1$\\
	&\hspace{0.5cm}$n \gets n+1$\\
	&Fin Tant que\\
Sortie :&Afficher $n$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Le programme affiche \np{5504}.

On peut alors affirmer

\medskip

\textbf{(A)} Pour tout $x \in ]\np{5504}~;~+\infty[$,\: $f(x) \geqslant 1$

\textbf{(B)} $f(\np{5504}) < 1$

\textbf{(C)} Il existe $x \in  [\np{5503}~;~5504]$,\: $(\ln (x))^2 = \sqrt{x}$

\textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) < 1$
\textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{\sqrt{x}} = 0$

\newpage

\begin{center}

\textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D &E\\ \hline
1 &F &V &V &V &F\\ \hline
2 &F &V &V &V &F\\ \hline
3 &V &F &V &F &F\\ \hline
4 &V &V &V &F &F\\ \hline
5 &V &V &F &F &F\\ \hline
6 &F &V &F &F &F\\ \hline
7 &V &V &V &V &F\\ \hline
8 &F &V &V &V &F\\ \hline
9 &V &V &F &F &V\\ \hline
10 &F &V &F &F &V\\ \hline
11 &V &F &F &V &V\\ \hline
12 &V &V &V &F &V\\ \hline
13 &V &V &F &V &V\\ \hline
14 &F &V &V &V &V\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}