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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}\\

\medskip

6 mai 2013 -- Calculatrice interdite

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\medskip

$\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 8 questions obligatoires et de 4 questions à choisir parmi les questions numérotées de 9 à 16.

$\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E.

$\bullet~$ Pour chaque question:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie.
\item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse.
\item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. 

\textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.}

\bigskip

\begin{center}
\large
\textbf{Questions obligatoires}
\end{center}

%\medskip

\bigskip

\hrulefill

\textbf{1.} Les raisonnements suivants sont corrects :

\medskip

\textbf{(A)} Tous les élèves s'appellent Bob. Or certains Bob ne sont pas doués. Donc certains élèves sont doués.

\textbf{(B)} Tous les élèves doués s'appellent Bob. Or Bob n'est pas doué. Donc Bob n'est pas un élève.

\textbf{(C)} La plupart des Bob ne sont pas doués. Or tous les élèves sont doués. Donc
aucun élève ne s'appelle Bob.

\textbf{(D)} La plupart des élèves s'appellent Bob. Or tous les Bob sont doués. Donc
certains élèves sont doués.

\textbf{(E)} Bob est doué. Or tous les élèves sont doués. Donc Bob est un élève.

\bigskip

\hrulefill

\textbf{2.} La fonction $f$ admet $f'$ comme fonction dérivée sur son ensemble de définition

\medskip

\begin{tabular}{l l l}
\textbf{(A)} &$f(x) = \sin^2 x$ &$f'(x) = 2\cos x$\\
\textbf{(B)} &$f(x) = \ln\left( 1 + x^2\right)$ &$f'(x)= \dfrac{1}{1 +x^2}$\\
\textbf{(C)} &$f(x) = \sqrt{1+ x^2}$ 			&$f'(x)= \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$\\
\textbf{(D)} &$f(x) = \dfrac{x + 3}{x + 5}$ 	&$f'(x) = - \dfrac{2}{(x + 5)^2}$\\
\textbf{(E)} &$f(x) = x\text{e}^x$				&$f'(x) = (x+1)\text{e}^x$\\
\end{tabular}

\bigskip

\hrulefill


\textbf{3.} Sachant que pour tout $t \in \R$,\: $2t^2 - t - 15 = (2t + 5)(t - 3)$, on peut en déduire que l'équation d'inconnue $x \in  \R$.

\medskip

\textbf{(A)} $2(\ln x)^2 - \ln x-15 = 0$ admet exactement deux solutions

\textbf{(B)} $2\text{e}^{4x} - \text{e}^{2x} - 15 = 0$ admet une unique solution

\textbf{(C)} $\ln( x-l) + \ln (3x + 2) = \ln \left(x^2 + 13\right)$ admet une unique solution

\textbf{(D)} $2(\ln x - \ln x-15 = 2(\ln x- 3)$ admet exactement deux solutions

\textbf{(E)} $2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3 = 0$ admet exactement deux solutions

\bigskip

\hrulefill



\textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{x^3}{1 + x^2}$.

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

Alors:

\medskip

\textbf{(A)} $C$ est symétrique par rapport à O

\textbf{(B)} Pour tout $x \in  \R$,\: $f'(- x) = f'(x)$

\textbf{(C)} Il existe un unique $a \in \R$,\: $f'( a) = 0$

\textbf{(D)} $f$ est strictement croissante sur $\R$

\textbf{(E)} Pour tout $x \in  [0~;~+\infty[,\: f(x)\leqslant x$

\bigskip

\hrulefill


\textbf{5.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{x} - \ln x$.

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} Pour tout $x \in  ]0~;~+\infty[,\: f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x}$

\textbf{(B)} $f'(4) = 0$

\textbf{(C)} Pour tout $x \in  ]0~;~+\infty[, \: f(x) > 0$ 

\textbf{(D)} L'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $]0~;~+\infty[$

\textbf{(E)} La courbe de $f$ admet une asymptote verticale

\bigskip

\hrulefill


\textbf{6.} Soit $f$ la fonction définie sur $]- 1~;~+\infty[$ par : $f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 2}{x + 1}\right)$.
Alors :

\medskip

\textbf{(A)} La courbe de $f$ admet une asymptote horizontale

\textbf{(B)} Pour tout $x\in ]-1~;~+ \infty[$,\: $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$

\textbf{(C)} $f$ est décroissante sur $]- 1~;~+\infty[$

\textbf{(D)} $f(1) - 1 < 0$

\textbf{(E)} Il existe $x \in  ]0~;~1[$,\: $f(x) - x = 0$

\bigskip

\hrulefill


\textbf{7.} Soit $I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}  \dfrac{\sin x}{\cos x}\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\cos x}{\sin x}\:\text{d}x$

On a :

\medskip

\textbf{(A)} $I = \dfrac{8}{3}$

\textbf{(B)} $I= - \ln \sqrt{3}$

\textbf{(C)} $J = \ln \sqrt{3}$

\textbf{(D)} $I + J = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{2}{\sin 2x}\:\text{d}x$

\textbf{(E)} $I+J = \ln 3$

\bigskip

\hrulefill


\textbf{8.} On place un capital $u_0$ qui produit des intérêts s'ajoutant, chaque année, au capital précédent. On suppose que le taux d'intérêt est de 10\,\% et qu'on ne prend ni ne remet d'argent sur ce compte. $u_n$ désigne la valeur du capital disponible au bout de $n$ années.

On donne log $2 = 0,301$ et log $(1,1) = 0,041$.

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} Pour tout $n \in \ N$,\: $u_{n+1}  =\dfrac{1}{10}u_n$.

\textbf{(B)} $u_3 = u_0 + \left(\dfrac{1}{10}\right)u_0$

\textbf{(C)} $\left(u_n\right)$ est croissante

\textbf{(D)} Il faut 8 années pour au moins doubler le capital

\textbf{(E)} Il faut 16 années pour au moins quadrupler le capital

\bigskip

\begin{center}
\large
\textbf{Questions à choisir (4 questions à choisir parmi les suivantes)}
\end{center}

\bigskip

\hrulefill


\textbf{9.} Pour toute suite réelle $\left(u_n\right)$

\medskip

\textbf{(A)} Si $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$

\textbf{(B)} Si $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 1 alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$

\textbf{(C)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ alors $\left(u_n\right)$ est croissante à partir d'un certain rang

\textbf{(D)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =  1$ alors $\left(u_n\right)$ est positive à partir d'un certain rang

\textbf{(E)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n + u_{n+1}}{2}= 1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =  1$

\newpage

\hrulefill


\textbf{10.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{ -2x} + 3$.

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x)= - \infty$

\textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = 3$

\textbf{(C)} $f$ est croissante sur $\R$

\textbf{(D)} La tangente à $C$ au point d'abscisse $x = 1$ a pour équation $y = 3 - \text{e}^{-2x}$

\textbf{(E)} $f'(0)f'(2) < 0$

\bigskip

\hrulefill


\textbf{11.}] Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \sin^2 x + \cos x$

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} Pour tout $x \in \R,\: f(-x) = f(x)$

\textbf{(B)} $f$ est périodique de période $\pi$

\textbf{(C)} $f$ est décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{3}~;~\pi\right]$

\textbf{(D)} $f$ est croissante sur $\left[0~;~~\dfrac{\pi}{3}\right]$

\textbf{(E)} Pour tout $x \in [0~;~\pi], \:  f(x) \leqslant \dfrac{5}{4}$

\bigskip

\hrulefill


\textbf{12.} Deux laboratoires proposent chacun leur vaccin contre la grippe. On sait qu'un quart de la population a utilisé le vaccin 1 et un sixième le vaccin 2. Il n'est pas possible pour un individu d'être vacciné deux fois. L'épidémie ayant eu lieu, on constate que 1\,\% des malades ont utilisé le vaccin 1 et 0,6\,\% le vaccin 2. 

On choisit au hasard un individu dans la population, on note $M$ = \og l'individu est malade \fg, $I$ = \og l'individu a reçu le vaccin 1\fg, $II$ = \og l'individu a reçu le
vaccin 2 \fg.

On a :

\medskip

\textbf{(A)} La probabilité que l'individu soit vacciné est $P(I) + P(II)$

\textbf{(B)} Les données ne permettent pas de calculer $P_{\overline{I}}(M)$

\textbf{(C)} $p(I) = \dfrac{1}{100}$

\textbf{(D)} $P_M\left(\overline{II}\right) = 0,94$

\textbf{(E)} $\dfrac{P_{\overline{H}} (M)}{P_H(M)} = \dfrac{P_M\left(\overline{H} \right)P(H)}{P_M(H)P\left(\overline{H}\right)}$

\newpage

\hrulefill


\textbf{13.} Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue, il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs, sur la deuxième 1 vert et 9 blancs. Les gains, représentés par la variable aléatoire $X$, sont les suivants :

\begin{description}
\item[ ] 5 euros si les deux roues tombent sur rouge et vert
\item[ ] 2 euros si une seule des deux roues tombe sur blanc
\item[ ] 1 euro si les deux roues tombent sur blanc
\end{description}

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $P(X=2)= \dfrac{17}{50}$

\textbf{(B)} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{37}{50}$

\textbf{(C)} Si la mise est de 2 euros, la probabilité que le joueur soit bénéficiaire est 

\textbf{(D)}Si la mise est de 2,50 euros alors le bénéfice moyen par partie du forain est
supérieur à 1 euro

\textbf{(E)}Si le forain veut un bénéfice moyen par partie d'au moins 60 centimes alors il
doit demander une mise de 2 euros

\bigskip

\hrulefill


\textbf{14.} On considère les nombres complexes $z = \text{e}^{\text{i}\pi/3}$  et $z' = \dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{2}$

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $z' = \text{e}^{3\text{i}\pi/4}$

\textbf{(B)} $zz'  = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ 

\textbf{(C)} $zz'  = \text{e}^{13\text{i}\pi/12}$

\textbf{(D)} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

\textbf{(E)} $\tan \dfrac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$

\bigskip

\hrulefill



\textbf{15.} Soit le nombre complexe $z = 1 + \text{i}$, alors :

\textbf{(A)} $\dfrac{z^3}{\overline{z}} = \dfrac{1}{2}z^4$

\textbf{(B)} $\dfrac{\overline{z}}{z^3\overline{z}} \in \R$

\textbf{(C)} $\dfrac{\overline{z}^4}{z^2}$est imaginaire pur

\textbf{(D)} Il existe $n \in  \N$,\: $z^n$ est un réel strictement négatif

\textbf{(E)} Il existe $n \in  \N$, arg$\left(z^n\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad  [2\pi]$

\newpage

\hrulefill



\textbf{16.} Soit I, J et K trois points du plan tels que IJ = 3 \quad IK = 2 et 
$\widehat{\text{JIK}} = \dfrac{\pi}{3}$.

Soit L et M les points du plan définis par : $\vect{\text{IL}} = 2\vect{\text{IJ}} - 3\vect{\text{IK}}$ et $\vect{\text{IM}} = -\vect{\text{IJ}} + 4\vect{\text{IK}}$.

Alors :

\medskip

\textbf{(A)} $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{IK}} = 3$

\textbf{(B)} $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{IL}} = 30$

\textbf{(C)} $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{IM}} = - 33$

\textbf{(D)} $\cos \left(\widehat{\text{LIM}}\right) = - \dfrac{11}{14}$

\textbf{(E)} Une mesure de $\widehat{\text{LIM}}$ appartient à $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$

\end{document}