\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip 6 mai 2013 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 8 questions obligatoires et de 4 questions à choisir parmi les questions numérotées de 9 à 16. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \begin{center} \large \textbf{Questions obligatoires} \end{center} %\medskip \bigskip \hrulefill \textbf{1.} Les raisonnements suivants sont corrects : \medskip \textbf{(A)} Tous les élèves s'appellent Bob. Or certains Bob ne sont pas doués. Donc certains élèves sont doués. \textbf{(B)} Tous les élèves doués s'appellent Bob. Or Bob n'est pas doué. Donc Bob n'est pas un élève. \textbf{(C)} La plupart des Bob ne sont pas doués. Or tous les élèves sont doués. Donc aucun élève ne s'appelle Bob. \textbf{(D)} La plupart des élèves s'appellent Bob. Or tous les Bob sont doués. Donc certains élèves sont doués. \textbf{(E)} Bob est doué. Or tous les élèves sont doués. Donc Bob est un élève. \bigskip \hrulefill \textbf{2.} La fonction $f$ admet $f'$ comme fonction dérivée sur son ensemble de définition \medskip \begin{tabular}{l l l} \textbf{(A)} &$f(x) = \sin^2 x$ &$f'(x) = 2\cos x$\\ \textbf{(B)} &$f(x) = \ln\left( 1 + x^2\right)$ &$f'(x)= \dfrac{1}{1 +x^2}$\\ \textbf{(C)} &$f(x) = \sqrt{1+ x^2}$ &$f'(x)= \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$\\ \textbf{(D)} &$f(x) = \dfrac{x + 3}{x + 5}$ &$f'(x) = - \dfrac{2}{(x + 5)^2}$\\ \textbf{(E)} &$f(x) = x\text{e}^x$ &$f'(x) = (x+1)\text{e}^x$\\ \end{tabular} \bigskip \hrulefill \textbf{3.} Sachant que pour tout $t \in \R$,\: $2t^2 - t - 15 = (2t + 5)(t - 3)$, on peut en déduire que l'équation d'inconnue $x \in \R$. \medskip \textbf{(A)} $2(\ln x)^2 - \ln x-15 = 0$ admet exactement deux solutions \textbf{(B)} $2\text{e}^{4x} - \text{e}^{2x} - 15 = 0$ admet une unique solution \textbf{(C)} $\ln( x-l) + \ln (3x + 2) = \ln \left(x^2 + 13\right)$ admet une unique solution \textbf{(D)} $2(\ln x - \ln x-15 = 2(\ln x- 3)$ admet exactement deux solutions \textbf{(E)} $2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3 = 0$ admet exactement deux solutions \bigskip \hrulefill \textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{x^3}{1 + x^2}$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Alors: \medskip \textbf{(A)} $C$ est symétrique par rapport à O \textbf{(B)} Pour tout $x \in \R$,\: $f'(- x) = f'(x)$ \textbf{(C)} Il existe un unique $a \in \R$,\: $f'( a) = 0$ \textbf{(D)} $f$ est strictement croissante sur $\R$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in [0~;~+\infty[,\: f(x)\leqslant x$ \bigskip \hrulefill \textbf{5.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{x} - \ln x$. Alors : \medskip \textbf{(A)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[,\: f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x}$ \textbf{(B)} $f'(4) = 0$ \textbf{(C)} Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[, \: f(x) > 0$ \textbf{(D)} L'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $]0~;~+\infty[$ \textbf{(E)} La courbe de $f$ admet une asymptote verticale \bigskip \hrulefill \textbf{6.} Soit $f$ la fonction définie sur $]- 1~;~+\infty[$ par : $f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 2}{x + 1}\right)$. Alors : \medskip \textbf{(A)} La courbe de $f$ admet une asymptote horizontale \textbf{(B)} Pour tout $x\in ]-1~;~+ \infty[$,\: $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$ \textbf{(C)} $f$ est décroissante sur $]- 1~;~+\infty[$ \textbf{(D)} $f(1) - 1 < 0$ \textbf{(E)} Il existe $x \in ]0~;~1[$,\: $f(x) - x = 0$ \bigskip \hrulefill \textbf{7.} Soit $I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin x}{\cos x}\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\cos x}{\sin x}\:\text{d}x$ On a : \medskip \textbf{(A)} $I = \dfrac{8}{3}$ \textbf{(B)} $I= - \ln \sqrt{3}$ \textbf{(C)} $J = \ln \sqrt{3}$ \textbf{(D)} $I + J = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{2}{\sin 2x}\:\text{d}x$ \textbf{(E)} $I+J = \ln 3$ \bigskip \hrulefill \textbf{8.} On place un capital $u_0$ qui produit des intérêts s'ajoutant, chaque année, au capital précédent. On suppose que le taux d'intérêt est de 10\,\% et qu'on ne prend ni ne remet d'argent sur ce compte. $u_n$ désigne la valeur du capital disponible au bout de $n$ années. On donne log $2 = 0,301$ et log $(1,1) = 0,041$. Alors : \medskip \textbf{(A)} Pour tout $n \in \ N$,\: $u_{n+1} =\dfrac{1}{10}u_n$. \textbf{(B)} $u_3 = u_0 + \left(\dfrac{1}{10}\right)u_0$ \textbf{(C)} $\left(u_n\right)$ est croissante \textbf{(D)} Il faut 8 années pour au moins doubler le capital \textbf{(E)} Il faut 16 années pour au moins quadrupler le capital \bigskip \begin{center} \large \textbf{Questions à choisir (4 questions à choisir parmi les suivantes)} \end{center} \bigskip \hrulefill \textbf{9.} Pour toute suite réelle $\left(u_n\right)$ \medskip \textbf{(A)} Si $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ \textbf{(B)} Si $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 1 alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ \textbf{(C)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ alors $\left(u_n\right)$ est croissante à partir d'un certain rang \textbf{(D)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ alors $\left(u_n\right)$ est positive à partir d'un certain rang \textbf{(E)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n + u_{n+1}}{2}= 1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ \newpage \hrulefill \textbf{10.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{ -2x} + 3$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Alors : \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)= - \infty$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$ \textbf{(C)} $f$ est croissante sur $\R$ \textbf{(D)} La tangente à $C$ au point d'abscisse $x = 1$ a pour équation $y = 3 - \text{e}^{-2x}$ \textbf{(E)} $f'(0)f'(2) < 0$ \bigskip \hrulefill \textbf{11.}] Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \sin^2 x + \cos x$ Alors : \medskip \textbf{(A)} Pour tout $x \in \R,\: f(-x) = f(x)$ \textbf{(B)} $f$ est périodique de période $\pi$ \textbf{(C)} $f$ est décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{3}~;~\pi\right]$ \textbf{(D)} $f$ est croissante sur $\left[0~;~~\dfrac{\pi}{3}\right]$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in [0~;~\pi], \: f(x) \leqslant \dfrac{5}{4}$ \bigskip \hrulefill \textbf{12.} Deux laboratoires proposent chacun leur vaccin contre la grippe. On sait qu'un quart de la population a utilisé le vaccin 1 et un sixième le vaccin 2. Il n'est pas possible pour un individu d'être vacciné deux fois. L'épidémie ayant eu lieu, on constate que 1\,\% des malades ont utilisé le vaccin 1 et 0,6\,\% le vaccin 2. On choisit au hasard un individu dans la population, on note $M$ = \og l'individu est malade \fg, $I$ = \og l'individu a reçu le vaccin 1\fg, $II$ = \og l'individu a reçu le vaccin 2 \fg. On a : \medskip \textbf{(A)} La probabilité que l'individu soit vacciné est $P(I) + P(II)$ \textbf{(B)} Les données ne permettent pas de calculer $P_{\overline{I}}(M)$ \textbf{(C)} $p(I) = \dfrac{1}{100}$ \textbf{(D)} $P_M\left(\overline{II}\right) = 0,94$ \textbf{(E)} $\dfrac{P_{\overline{H}} (M)}{P_H(M)} = \dfrac{P_M\left(\overline{H} \right)P(H)}{P_M(H)P\left(\overline{H}\right)}$ \newpage \hrulefill \textbf{13.} Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue, il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs, sur la deuxième 1 vert et 9 blancs. Les gains, représentés par la variable aléatoire $X$, sont les suivants : \begin{description} \item[ ] 5 euros si les deux roues tombent sur rouge et vert \item[ ] 2 euros si une seule des deux roues tombe sur blanc \item[ ] 1 euro si les deux roues tombent sur blanc \end{description} Alors : \medskip \textbf{(A)} $P(X=2)= \dfrac{17}{50}$ \textbf{(B)} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{37}{50}$ \textbf{(C)} Si la mise est de 2 euros, la probabilité que le joueur soit bénéficiaire est \textbf{(D)}Si la mise est de 2,50 euros alors le bénéfice moyen par partie du forain est supérieur à 1 euro \textbf{(E)}Si le forain veut un bénéfice moyen par partie d'au moins 60 centimes alors il doit demander une mise de 2 euros \bigskip \hrulefill \textbf{14.} On considère les nombres complexes $z = \text{e}^{\text{i}\pi/3}$ et $z' = \dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{2}$ Alors : \medskip \textbf{(A)} $z' = \text{e}^{3\text{i}\pi/4}$ \textbf{(B)} $zz' = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ \textbf{(C)} $zz' = \text{e}^{13\text{i}\pi/12}$ \textbf{(D)} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \textbf{(E)} $\tan \dfrac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$ \bigskip \hrulefill \textbf{15.} Soit le nombre complexe $z = 1 + \text{i}$, alors : \textbf{(A)} $\dfrac{z^3}{\overline{z}} = \dfrac{1}{2}z^4$ \textbf{(B)} $\dfrac{\overline{z}}{z^3\overline{z}} \in \R$ \textbf{(C)} $\dfrac{\overline{z}^4}{z^2}$est imaginaire pur \textbf{(D)} Il existe $n \in \N$,\: $z^n$ est un réel strictement négatif \textbf{(E)} Il existe $n \in \N$, arg$\left(z^n\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ \newpage \hrulefill \textbf{16.} Soit I, J et K trois points du plan tels que IJ = 3 \quad IK = 2 et $\widehat{\text{JIK}} = \dfrac{\pi}{3}$. Soit L et M les points du plan définis par : $\vect{\text{IL}} = 2\vect{\text{IJ}} - 3\vect{\text{IK}}$ et $\vect{\text{IM}} = -\vect{\text{IJ}} + 4\vect{\text{IK}}$. Alors : \medskip \textbf{(A)} $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{IK}} = 3$ \textbf{(B)} $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{IL}} = 30$ \textbf{(C)} $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{IM}} = - 33$ \textbf{(D)} $\cos \left(\widehat{\text{LIM}}\right) = - \dfrac{11}{14}$ \textbf{(E)} Une mesure de $\widehat{\text{LIM}}$ appartient à $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ \end{document}