\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Advance} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{5 mai 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip 5 mai 2012 -- Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 8 questions obligatoires et de 4 questions à choisir parmi les questions numérotées de 9 à 16. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \begin{center} \textbf{\large Questions obligatoires} \end{center} \medskip \hrulefill \textbf{1.} Pour tout nombre réel $x$, on a \medskip \textbf{(A)} $2x^2 - x - 1 = (x - 1)\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$ \textbf{(B)} $x^2 + 2x + 5 \geqslant 0$ \textbf{(C)} $3 - 2x - x^2 \geqslant 0$ si et seulement si $x \in [-3~;~1]$ \textbf{(D)} Si $x \geqslant 1$ alors $3 - 2x - x^2 \geqslant 0$ \textbf{(E)} Si $x^2 - 5x + 6 = 0$ alors $x \geqslant 0$ \bigskip \hrulefill \textbf{2.} Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, telle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$. Alors : \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 3$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} f(2u) = 3$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{y \to + \infty} f(y + 1) = 4$ \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ \textbf{(E)} Il existe $a \in [0~;~+\infty[$ tel que pour tout $x \in [a~;~+\infty[$,\: $f (x) \leqslant x$ \bigskip \hrulefill \textbf{3.} Les fonctions suivantes sont dérivables en $x = 0$ \medskip \textbf{(A)} $x \mapsto x|x|$ \textbf{(B)} $x \mapsto |x| \sin x$ \textbf{(C)} $x \mapsto \sin |x|$ \textbf{(D)} $\left\{\begin{array}{l c l c l} x &\mapsto& x^2 + 2 &\text{si} &x \geqslant 0\\ x &\mapsto&x^3 - x^2 + 2&\text{si}& x < 0 \end{array}\right.$ \textbf{(E)} $\left\{\begin{array}{l c l c l} x &\mapsto& x + 2 &\text{si} &x \geqslant 0\\ x &\mapsto&x - 2&\text{si}& x < 0 \end{array}\right.$ \bigskip \hrulefill \textbf{4.} Soit $f$ définie sur $\R^*$ par: $f (x) = \dfrac{\text{e}^x}{x^2}$. Alors : \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} = 0$ \textbf{(C)} $f$ est décroissante sur ]0~;~2[ \textbf{(D)} $f$ est croissante sur $]- \infty~;~0[$ \textbf{(E)} L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est $y = - \text{e}x + 2\text{e}$ \bigskip \hrulefill \textbf{5.} \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2t \:\text{d}t = \dfrac{1}{2}$ \textbf{(B)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2t \:\text{d}t = \dfrac{1}{2}$ \textbf{(C)} $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \ln t \:\text{d}t = 1$ \textbf{(D)} $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin t}{\cos ^2 t}\:\text{d}t = 1$ \textbf{(E)} $\displaystyle\int_0^{1} t\text{e}^t\:\text{d}t = 1$ \bigskip \hrulefill \textbf{6.} \textbf{(A)} Pour tout $x \in \R\backslash \{0\}\quad \ln \left(2^x\right) = x \ln 2$ \textbf{(B)} Pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[ \quad \ln x = 2\ln \sqrt{x}$ \textbf{(C)} Pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[ \quad \ln \left(\sqrt{x+1}- \sqrt{x}\right) = - \ln \left(\sqrt{x+1} + \sqrt{x}\right)$ \textbf{(D)} Pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[ \quad \ln\left(x^2 + 4x + 4\right) = 2\ln (x + 2)$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[ \quad [\ln(x+1)]^2 = \ln (2x + 2)$ \newpage \hrulefill \parbox{7cm}{\textbf{7.} Soit $C$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ dont l'allure est donnée ci-contre : L'expression de $f$ est de la forme:\\ $f(x) = (ax + b )\text{e}^{cx}$. Alors :} \hfill \parbox{6cm}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(6,6) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-1)(6,6) \uput[d](1,0){1}\uput[d](2,0){2}\uput[l](0,4){4} \psplot[plotpoints=2000]{0}{1.5}{4 x mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{4 x mul 2.71828 0.5 x mul exp div} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,4)(0,4) \end{pspicture}} \textbf{(A)} $c < 0$ \textbf{(B)} $f'(0) = 4$ \textbf{(C)} $f'(2) = 0$ \textbf{(D)} Pour tout $x \in [0~;~+\infty[,\: f'(x) = (ax + a + b)\text{e}^{cx}$ \textbf{(E)} Pour tout $x \in [0~;~+\infty[,\: f(x) = 4x\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ \bigskip \hrulefill \textbf{8.} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: \[\left\{\begin{array}{l l c l} \text{si}\: x \leqslant 1& f(x) &=& x^2 - 2x - 3\\ \text{si}\: x >1 &f(x) &=&\dfrac{x - 5}{x} \end{array}\right.\] On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Alors : \medskip \textbf{(A)} $f$ est dérivable en $x = 1$ \textbf{(B)} $C$ admet une demi-tangente horizontale au point I$(1~;~-4)$ \textbf{(C)} L'équation $f(x) = 0$ admet exactement trois solutions \textbf{(D)} La droite d'équation $x = 0$ est asymptote à $C$ \textbf{(E)} La droite d'équation $y = 1$ est asymptote à $C$ \newpage \begin{center} \textbf{\large Questions à choisir (4 questions à choisir parmi les suivantes)} \end{center} \bigskip \hrulefill \textbf{9.} Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q \in ]0~;~+\infty[$. On note $S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$. Alors : \medskip \textbf{(A)} S'il existe $n \in \N$ tel que $u^n > 2012$ alors $q$ > 1 \textbf{(B)} Si $q < 1$ alors il existe $n \in \N$ tel que $0 < u_n < \dfrac{1}{2}$ \textbf{(C)} Si $q > 1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$ \textbf{(D)} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = 2$ alors $q = \dfrac{1}{2}$ \textbf{(E)} Si $q = 2$ alors $S_4 = 15$ \bigskip \hrulefill \textbf{10.} Soit la suite réelle $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 \in ]1~;~ + \infty[$ et la relation de récurrence : \[\text{pour tout }\: n \in \N\quad u_{n+1} = \sqrt{3u_n - 2}\] Alors : \textbf{(A)} $\left(u_n\right)$ est monotone \textbf{(B)} $\left(u_n\right)$ est minorée par 1 \textbf{(C)} Si $u_0 \in ]1~;~2[$\: $\left(u_n\right)$ converge vers 1 \textbf{(D)} Si $u_0 \in ]1~;~2[$\: $\left(u_n\right)$ converge vers 2 \textbf{(E)} Si $u_0 \in ]2~;~+ \infty[$\: $\left(u_n\right)$ converge vers 2 \bigskip \hrulefill \textbf{11.} Dans une mare vivent des grenouilles vertes et des rainettes. 30\,\% des grenouilles sont des rainettes et donc 70\,\% des grenouilles sont des grenouilles vertes. Un héron mange 10\,\% des rainettes et 20\,\% des grenouilles vertes. Alors la probabilité \medskip \textbf{(A)} qu'une rainette soit mangée par le héron est $\dfrac{1}{10}$ \textbf{(B)} qu'une grenouille verte soit mangée par le héron est $\dfrac{1}{5}$ \textbf{(C)} qu'une grenouille soit mangée par le héron est $\dfrac{13}{21}$ \textbf{(D)} qu'une grenouille soit une rainette et mangée par le héron est $\dfrac{3}{100}$ \textbf{(E)} qu'une grenouille mangée par le héron soit une rainette est $\dfrac{63}{100}$ \bigskip \hrulefill \textbf{12.} Une compagnie aérienne dessert 6 villes (Rennes, Brest, Nantes, Lorient, Quimper, Morlaix). On appelle ligne aérienne tout trajet joignant 2 villes. (Rennes-Brest et Brest-Rennes désignent la même ligne). \medskip \textbf{(A)} La compagnie a $30$ lignes en service \textbf{(B)} La compagnie a $15$ lignes en service Pendant l'été la compagnie envisage d'augmenter le nombre de villes desservies \textbf{(C)} Si la compagnie décide d'assurer $36$ lignes alors le nombre de villes desservies sera $9$ \textbf{(D)} Si la compagnie décide d'assurer $45$ lignes alors le nombre de villes desservies sera $10$ \textbf{(E)} La compagnie ne peut envisager d'assurer $32$ lignes \bigskip \hrulefill \textbf{13.} On considère un triangle MNP et les points I, J, K tels que : I est le barycentre de (M, 2), (P, 1), J est le barycentre de (M, 1), (N, 2) et K est le barycentre de (N,$-4$), (P,1). Alors : \medskip \textbf{(A)} N est le barycentre de (K, 3),(P, 1) \textbf{(B)} J est le barycentre de (M, 2),(K, 3),(P, 1) \textbf{(C)} l, J et K sont alignés \textbf{(D)} J est le barycentre de (I, 1), (K, 1) \textbf{(E)} J est le milieu de [I, K] \bigskip \hrulefill \textbf{14.} Pour tout nombre complexe $z$, Re$(z)$ désigne la partie réelle de $z$, Im$(z)$ sa partie imaginaire et $\arg (z)$ son argument. Alors: \medskip \textbf{(A)} $\text{Re}\left((1 + \text{i})^4\right) = 4\, \text{Re}(1 + \text{i})$ \textbf{(B)} $\text{arg} \left((1 + \text{i})^4\right) = 4 \arg (1 + \text{i}) \quad \text{modulo} \,2\pi$ \textbf{(C)} $\text{Im}((-1 + \text{i}\sqrt{3})^3) = 3 \,\text{Im}(-1 + \text{i}\sqrt{3})$ \textbf{(D)} $\left|(- 1 +\text{i}\sqrt{3})^3\right| = 3\left|-1 +\text{i}\sqrt{3}\right|$ \textbf{(E)} $\dfrac{(1 + \text{i})^4}{\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^3} = - \dfrac{1}{2}$ \newpage \hrulefill \textbf{15.} Soit $x \in \R$. On pose $z = \cos x+ \text{i} \sin x$ et $z' = \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) + \text{i}\cos \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ Alors: \medskip \textbf{(A)} $z = z'$ \textbf{(B)} $z + z'$ est réel \textbf{(C)} $z - z'$ est imaginaire pur \textbf{(D)} $zz' = 1$ \textbf{(E)} arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = 2\text{arg} z$ \bigskip \hrulefill \textbf{16.} On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par : $f(x) = - 6x^2 + 6x - 5$. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé, et $T_M$ la tangente à $C$ au point $M$ de $C$. Alors : \medskip \textbf{(A)} Il existe un point $M$ de $C$ tel que $T_M$ soit parallèle à l'axe des abscisses \textbf{(B)} Il existe un point $M$ de $C$ tel que $T_M$ soit parallèle à la droite IJ où I(1~;~0)\: J(4~;~3) \textbf{(C)} Il existe un point $M$ de $C$ tel que $T_M$ ait pour coefficient directeur 8 \textbf{(D)} Il existe deux points distincts $M$ et $N$ de $C$ tels que $T_M$ et $T_N$ soient parallèles \textbf{(E)} Il existe deux points distincts $M$ et $N$ de $C$ tels que $T_M$ et $T_N$ soient perpendiculaires \end{document}