\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \renewcommand\arraystretch{1.8} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{\Large Concours ADVANCE ESME--EPITA--IPSA}\\ \medskip 30 avril 2016 Calculatrice interdite \medskip \textbf{ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES} \end{center} \medskip $\bullet~$ L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14. $\bullet~$ Chaque question comporte cinq propositions: A, B, C, D, E. $\bullet~$ Pour chaque question: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. \item Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. \item Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~$ Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. \textbf{Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.} \bigskip \textbf{Questions obligatoires} \medskip \textbf{1.} Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R \ \{- 1\}$ par $f(x) = \dfrac{x + 3}{x+1}$, alors : \medskip \textbf{(A)} $f$ est continue sur $]- \infty~;~- 1[$ \textbf{(B)} Pour tout $x \in \R \ \{ - 1\}\: f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)^2}$ \textbf{(C)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$. \textbf{(D)} $f$ est décroissante sur $]-1~;~+\infty[$. \textbf{(E)} L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $\R \ \{ - 1\}$. \bigskip \textbf{2.} Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par \[f(x) = 1 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^{2x} + 1}\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{2x} - 1,\] alors : \medskip \textbf{(A)} Pour tout $x \in ]-\infty~;~0],\: g(x) \leqslant 0$. \textbf{(B)} Pour tout $x \in [0~;~+\infty[,\: f'(x) \geqslant 0$. \textbf{(C)} $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$. \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$. \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. \bigskip \textbf{3.} Soit pour tout $x$ de $\R$,\: $f(x) = 1 - \cos (2x), \quad g(x) = \sin^2(x)$, alors : \medskip \textbf{(A)} $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2$. \textbf{(B)} Pour tout $x$ de $\R$,\: $f'(x) = \sin (2x)$. \textbf{(C)} Pour tout $x$ de $\R$,\: $f'(x) = 2 g'(x)$. \textbf{(D)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x^2} = 1$. \textbf{(E)} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2}= 2$. \bigskip \textbf{4.} Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln (2x) + 1 - x$, alors: \medskip \textbf{(A)} $f(1) > 0$. \textbf{(B)} Pour tout $x \in [1~;~+\infty[\: f'(x) = \dfrac{1-x}{x^2}$. \textbf{(C)} $f$ est strictement décroissante sur $[1~;~+\infty[$. \textbf{(D)} $\displaystyle\lim f(x) = - \infty$. \textbf{(E)} Il existe un unique $a \in [1~;~+\infty[,\: a = \ln (2a) + 1$. \bigskip \textbf{5.} Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[- 2~;~3]$ telle que $f(0) = 1$ et dont la \textbf{dérivée} $f'$ a pour tableau de variations : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,2.5) \psframe(9,2.5) \psline(0,2)(9,2)\psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.175,1.9){$- 2$} \uput[u](3,1.9){$- 1$} \uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](7,1.9){$1$} \uput[u](8.85,1.9){$3$} \rput(0.5,1){$f'(x)$} \uput[d](1.175,2){0} \uput[u](3,0){$-2$}\uput[d](7,2){1}\uput[u](8.9,0){0} \rput(5,1){0} \psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(8.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} Alors : \medskip \textbf{(A)} $f$ est croissante sur $[- 1~;~0]$. \textbf{(B)} $f$ est croissante sur [1~;~3]. \textbf{(C)} Pour tout $x \in [0~;~3],\: f(x) \geqslant 1$. \textbf{(D)} Pour tout $x$ et $x'$ tels que $-2 < x < x' < 0,\: f\left(x'\right) < f(x)$. \textbf{(E)} $f(-2) \geqslant 1$. \bigskip \textbf{6.} Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers naturels non nuls. On a : \medskip \textbf{(A)} $\dfrac{a}{bc} = \dfrac{\frac{a}{b}}{c}$. \textbf{(B)} $\dfrac{ac}{bd} = \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$. \textbf{(C)} $\dfrac{a + b}{c + d} = \dfrac{a}{d}$. \textbf{(D)} $\dfrac{ab}{c} = \dfrac{a}{\frac{b}{c}}$. \textbf{(E)} $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$. \bigskip \textbf{7.} Soit $D = ]0~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$ et $f :\: D \to \R$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x\ln x}$. Alors: \medskip \textbf{(A)} $f$ est continue sur ]0~;~1[. \textbf{(B)} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = + \infty$. \textbf{(C)} Sur $]1~;~+\infty[$, une primitive $F$ de $f$ est : $F(x) = - \dfrac{1}{\ln ^2 (x)}$. \textbf{(D)} $f$ admet une primitive sur ]0~;~1[. \textbf{(E)} $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x = \ln (2)$. \bigskip \textbf{8.} Soit $f$ la fonction définie sur $[-\pi~;~\pi]$ par : \renewcommand\arraystretch{2} \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(x)&=&\dfrac{\pi + x}{2}&\text{si }\: x \in [-\pi~;~0[\\ f(x)&=&\dfrac{\pi - x}{2}&\text{si }\: x \in [0~;~\pi[. \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1.5} Alors : \medskip \textbf{(A)} $f$ est continue sur $[-\pi~;~\pi]$. \textbf{(B)} $f$ est dérivable sur $[-\pi~;~\pi]$ \textbf{(C)} La valeur moyenne de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$ est $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{- \pi}^{\pi} f(x)\:\text{d}x$. \textbf{(D)} $\displaystyle\int_{- \pi}^{0} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)\:\text{d}x$. \textbf{(E)} La valeur moyenne de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$ est $\dfrac{\pi}{4}$. \bigskip \textbf{9.} Soit $f(t) = \dfrac{t + 2}{t+1}$ et $I = \displaystyle\int_0^1 f(t)\:\text{d}t$ on a : \medskip \textbf{(A)} $I \geqslant 1$. \textbf{(B)} $I = \displaystyle\int_0^1 \left(1 + \dfrac{1}{t + 1} \right)\:\text{d}t$. \textbf{(C)} $I = 1 + \ln 2$. \textbf{(D)} Pour tout $n \in \N*$ et $k \in \{0, 1, 2, \ldots , n-1\}, \quad\dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{k+ 1}{n}\right) \leqslant \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)\:\text{d}t \leqslant \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$. \textbf{(E)} $\left[\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{2}{n}\right)+ \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{3}{n}\right)+ \ldots + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{n}{n}\right)\right] \leqslant I$. \bigskip \textbf{10.} Soit $z$ et $z'$ les deux nombres complexes $z = \sqrt{3} - \text{i}$ et $z' = (1 + \text{i})z$. \medskip \textbf{(A)} $z' = \left(\sqrt{3} + 1 \right) + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1 \right)$. \textbf{(B)} $z = 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. \textbf{(C)} $\left|z'\right| = \sqrt{2}|z|$. \textbf{(D)} $z' ~ 2\sqrt{2}\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \text{i}\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right]$. \textbf{(E)} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$. \bigskip \textbf{11.} Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points \[\text{P}(3~;~-1;5) \text{Q}( -2~;~2;3) \text{R}(-1~;~-2;4)\:\: \text{et}\:\: \text{S}(5~;~8;4).\] \medskip \textbf{(A)} $\vect{\text{PQ}}$ et $\vect{\text{PR}}$ sont colinéaires. \textbf{(B)} Les points P, Q et R sont alignés. \textbf{(C)} Le triangle PQR est isocèle en R. \textbf{(D)} Les plans (PQR) et (PQS) sont confondus. \textbf{(E)} $\vect{\text{PS}} = - 3\vect{\text{PR}} + 2\vect{\text{PQ}}$. \bigskip \textbf{12.} Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~3] par $f(x) = \dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{6}$. On note $X$ la variable aléatoire sur [0~;~3] dont la loi de probabilité a pour densité $f$. \medskip \textbf{(A)} $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x = 1$ \textbf{(B)} $P(X \geqslant 2) =\dfrac{7}{36}$. \textbf{(C)} $p(X \leqslant 2) = 1 - \displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$. \textbf{(D)} $P(1 \leqslant X \leqslant 2) \leqslant P(X \geqslant 2)$. \textbf{(E)} $P(X \geqslant 1)~P(X \geqslant 2)$ \bigskip \textbf{13.} Dans un restaurant sans réservation, on modélise le temps d'attente en minutes pour obtenir une table par une variable aléatoire $X$. $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Une étude statistique a montré que le temps moyen d'attente est de 10~min. \medskip \textbf{(A)} $\lambda = 10$. \textbf{(B)} $\dfrac{1}{\lambda} = 10$. \textbf{(C)} La probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 min est $\displaystyle\int_{10}^{20} \dfrac{1}{10} \text{e}^{- \frac{x}{10}}\:\text{d}x$. \textbf{(D)} La probabilité qu'un client attende plus de 20 min est $1 - \displaystyle\int_{0}^{20} 10 \text{e}^{- 10x}\:\text{d}x$. \textbf{(E)} Un client attend depuis 10min. La probabilité qu'il doive attendre encore au moins 20 min est égale à la probabilité qu'il attende plus de 20min \bigskip \textbf{14.} On considère l'algorithme suivant dans lequel \emph{rand}(1,7) donne un nombre entier aléatoire entre 1 et 7. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|} \hline Variables &$i$ ,$j$, $k$ entiers naturels\\ Initialisation & $i \gets 1,\: k \gets 0$\\ Traitement &Tant que $i < 6$\\ &\hspace{1cm}$j \gets$ \emph{rand} (1,7)\\ &\hspace{1cm}Si $j > 4$ alors\\ &\hspace{2cm}$k \gets k + 1$\\ &\hspace{1cm}Fin Si\\ &\hspace{1cm} $i \gets i + 1$\\ &Fin Tant que\\ Sortie &Afficher $k$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip \textbf{(A)} $k$ est affiché lorsque $j$ a été affecté 6 fois. \textbf{(B)} La valeur affichée de $k$ est un entier inférieur à 4. \textbf{(C)} La probabilité que $k = 0$ est égale à $\dfrac{4}{7}$. \textbf{(D)} La probabilité que $k = 3$ est égale à $4\left(\dfrac{4}{7}\right)\left(\dfrac{3}{7}\right)^4$. \textbf{(E)} La probabilité que $k = 4$ est égale à $\left(\dfrac{3}{7}\right)^5$. \newpage \textbf{CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE l'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES} \bigskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{~}&A&B&C&D&E\\ \hline 1&V&F&V&V&V\\ \hline 2&V&V&V&V&V\\ \hline 3&V&F&V&V&V\\ \hline 4&V&V&V&V&V\\ \hline 5&F&V&V&V&V\\ \hline 6&V&F&F&F&F\\ \hline 7&V&F&F&V&V\\ \hline 8&V&F&V&V&V\\ \hline 9&V&V&V&V&V\\ \hline 10&V&F&V&V&V\\ \hline 11&F&F&V&V&V\\ \hline 12&V&F&F&V&F\\ \hline 13&F&V&V&F&F\\ \hline 14&F&F&F&F&V\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}