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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2022~\decofourright\\[7pt]BRANCHE DU CONTRÔLE DES OPÉRATIONS COMMERCIALES ET DE L'ADMINISTRATION GÉNÉRALE}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau dans l'organisme.

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré comme normal s'il est inférieur à $2~\mu$g/ml.

Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

On modélise le taux de vasopressine dans le sang, en fonction du temps $t$ exprimé en minutes écoulé depuis le début d'une hémorragie, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par :
\[f(t) = 3t\e^{- \frac14 t}  + 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut $f(0)$ ? 

Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
\item Calculer $f(60)$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

Comment interpréter ce résultat?
\item Justifier que 12 secondes après le début d'une hémorragie, le taux de vasopressine n'est pas normal.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0~;~60].

Justifier que $f'(t) =\dfrac34 (4 - t)\e^{- \frac14 t}$.
\item Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0$ de [0~;~4] telle que $f(t) = 2,5$.
\end{enumerate}

On admettra que $f\left(t_0\right) = 2,5 \iff t_0 = 0,174$ et que de la même façon, il existe une solution unique $t_1$ telle que $t \in [4~;~+\infty[$ et $f\left(t_1\right) = 2,5 \iff t_1 = 18,93$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer pendant combien de temps chez une personne victime d'une
hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang reste supérieur à $2,5~\mu$g/ml.
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[F(t) = -12(t + 4)\text{e}^{\frac 14 t} + 2t\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item En déduire, en fonction de $t_0$ et $t_1$ le taux moyen de vasopressine lors d'un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5~\mu$g/ml.

Pour cet exercice, vous aurez besoin d'utiliser les valeurs suivantes :

\begin{center}$\e^{-15} \approx 3,059 \cdot 10^{-7},\qquad \e^{-0,05} \approx 0,95$\quad \ et \quad $\e^{-1} \approx 0,367$\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablettes, il décide d'offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. 

Parmi les tablettes gagnantes, $60$\,\% permettent de gagner exactement une place et $40$\,\% exactement deux places.

On note $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un client achète une tablette de chocolat.

On considère les évènements suivants:
\begin{description}
\item[ ] $G$ : \og le client achète une tablette gagnante\fg
\item[ ] $U$ : \og le client gagne exactement une place de cinéma\fg
\item[ ] $D$ : \og le client gagne exactement deux places de cinéma\fg
\end{description}

	\begin{enumerate}
		\item Donner $p(G),\:P_G(U),\: P_G(D)$.
		\item Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à $0,3$.
		\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client.
		
Déterminer la loi de probabilité de $X$. 

Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Un autre client achète deux jours de suite une tablette de chocolat.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma.
		\item Déterminer la probabilité qu'il gagne au moins une place de cinéma.
		\item Montrer que la probabilité qu'il gagne exactement deux places de cinéma est égale à $0,29$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points 

\begin{center}A(0~;~0~;~2),\qquad  B(0~;~4~;~0)\quad et \quad C(2~;~0~;~0)\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$.
		
Les points A, B et C déterminent-ils un plan ? 
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{u}(2~;~1~;~2)$ est normal au plan (ABC).
		\item Justifier alors que $2x+ y+2z = 4$ est une équation de ce plan.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABC est isocèle en B.
		\item Démontrer que le point H$\left(\dfrac89~;~\dfrac49~;~\dfrac89\right)$ est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.

Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à découverte de vestiges, il est dit positif.

L'évènement \og le $n$-ième sondage est positif\fg est noté $V_n$, on note $p_n$ la probabilité de l'évènement $V_n$.

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
\begin{itemize}
\item si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif;
\item si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif.
\end{itemize}

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire que $p_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item A : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg;
		\item B : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p_3$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif.
\item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Recopier sur votre copie et compléter l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V_n$~}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V_n}$~}\tbput{$1 - p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}
	}
}
\end{center}

\item Pour tout entier $n$ non nul, établir que $p_{n+1} = 0,5 p_n + 0,1$.
\item On note $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout entier $n$ non nul par : $u_n= p_n - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(u_n\right)$  est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
		\item Exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$ de la probabilité $p_n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}