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\title{}
\author{Frederic Metin}
\date{2012-05-20T11:22:14.23}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
{\centering\bfseries \Large{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright
\par}}

{\centering \Large  \bfseries juin 2012 - groupement B1 Métropole.\par}

\bigskip

{\bfseries Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

{\centering \bfseries \itshape Les trois parties de cet exercices peuvent être traitées de façon indépendante.
\par}

\bigskip

{\itshape A. résolution d'une équation différentielle}

\bigskip

On considère l'équation différentielle (E) :
$y' + 2~y = - 5\text{e}^{- 2x}$
où \emph{y} est une fonction inconnue \ de la variable
réelle $x$, définie et dérivable sur  $\mathbb{R}$, et
$y'$ la fonction dérivée de $y$. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur  $\mathbb{R}$  de
l'équation différentielle $(\text{E}_{0})$ : $y' + 2y = 0$.
\item Soit \emph{g }la fonction définie sur  $\mathbb{R}$  par 
$g(x)= - 5x\text{e}^{-2x}$ . Démontrer que la fonction $g$
est une solution de (E).
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale  $f(0) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

{\itshape
B. étude locale d'une fonction}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur  $\mathbb{R}$  par
 
\[f(x) = (1 - 5x)\text{e}^{-2x}.\]

On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\begin{figure}
\centering
\begin{minipage}{0.653cm}
1
\end{minipage}
\end{figure}
1 \ \ \emph{a}) On admet le résultat suivant : 
$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }-5x\text{e}^{-2x}=0$.
Calculer  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

\ \ \emph{b}) \emph{Cette question est une question à choix
multiples.Une seule réponse  est exacte. Recopier sur la
copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune
justification.}

{\itshape
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de
réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

La courbe \emph{C} admet une asymptote en  $+\infty $ dont une
équation est : 


\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B &Réponse C\\\hline
$y = 1 - 5x$&y=0&x=0\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

2\ \ \emph{a}) À l'aide du développement limité, à
l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction 
$t\rightarrow \text{e}^{t}$, déterminer le développement
limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction 
$t\rightarrow \text{e}^{-2x}$ .


\bigskip

\emph{\ \ b}) En déduire que le développement limité, à
l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction

$f$ est :  $f(x)=1 - 7x + 12x^{2}+x^{2}\varepsilon (x)$ avec 
$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\varepsilon (x)=0$.

\ \ \emph{c}) En déduire une équation de la tangente \emph{T} à la
courbe \emph{C} au point d'abscisse 0.

\emph{\ \ d}) \emph{Cette question est une question à choix
multiples. }U\emph{ne seule réponse \ est exacte. Recopier sur la
copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune
justification.}

{\itshape
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de
réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

On veut justifier qu'au voisinage du point
d'abscisse 0, la courbe $C$ est au-dessus de la droite
T.  Recopier sur la copie la justification qui vous paraît exacte

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$12 x^2$ est positif&$x^2\varepsilon(x)$ est positif & $1 - 7x$ est positif \\
au voisinage de 0. &au voisinage de 0. &au voisinage de 0.\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip

C. \emph{Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note  $\mathrm{I}= \displaystyle\int
_{1}^{2} f(x)\mathrm{d}x$  où $f$ est la fonction définie dans la partie \emph{B}. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties que 
$\mathrm{I}=\dfrac{23\text{e}^{-4}-13\text{e}^{-2}}{4}$.
		\item Donner la valeur de I, arrondie à
$10^{- 2}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justification, le signe de
$f(x)$ pour $x$ dans l'intervalle [1~;~2]. 
		\item Interpréter graphiquement le nombre I.

{\itshape
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non
aboutie, sera prise en compte. }
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bfseries EXERCICE 2 \hfill 8 points}

\bigskip

{\centering\bfseries\itshape
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante. 
\par}

\bigskip

Un particulier souhaite acheter, auprès d'un producteur, des bottes de paille pour l'isolation de
sa maison. 

\bigskip

A. \emph{Loi normale}

\medskip

On prélève au hasard une botte de paille dans la production du 20 juillet 2011. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque botte ainsi prélevée,
associe on épaisseur exprimée en millimètres. On admet que $X$ suit la
loi normale de moyenne 360 et d'écart type 18. Calculer la probabilité  $p(350\leqslant X \leqslant 370)$.
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque botte prélevée dans la
production de cette journée, associe sa densité exprimée en
kg/m\up{3}. On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne
100 et d'écart type 5.

Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans
la production de cette journée ait une densité comprise entre 90
kg/m\up{3} et 110 kg/m\up{3}. 
\item On suppose que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont
indépendantes. 

Une botte de paille est conforme aux normes d'isolation si son épaisseur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [350~;~370] et si sa
densité, exprimée en kg/m\up{3}, appartient à l'intervalle [90~;~110]. Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée soit conforme aux normes d'isolation.

{\itshape
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non
aboutie, sera prise en compte.}
\end{enumerate}

\bigskip

{\itshape B. Loi binomiale}

\medskip

{\centering\bfseries
Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{- 3}$. 
\par}

\medskip

On considêre un stock important de bottes de paille, dont une partie
est destinée à un usage d'isolation. On note $E$ l'événement. Une botte prélevée au hasard dans le
stock est conforme aux normes d'isolation. On suppose
que $p(E) = 0,4$.

On prélève au hasard 5 bottes de paille dans le stock pour vérification de la conformité aux normes d'isolation. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 5 bottes. 

On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 5
bottes ainsi défini, associe le nombre bottes de paille conformes aux
normes d'isolation. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont
on déterminera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, toutes les
bottes de paille soient conformes aux normes
d'isolation.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins
quatre les bottes de paille soient conformes aux normes
d'isolation.
\end{enumerate}

\bigskip


\bigskip

C.\emph{ }\emph{Intervalle de confiance}


\bigskip

Dans cette partie, on considère les bottes de paille produites le 22
juillet 2011. On prélève au hasard un échantillon de 50 bottes de
paille dans cette production. La production est assez importante pour
que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage
avec remise. 

On constate que 37 bottes de paille de cet échantillon sont
conformes aux normes d'isolation. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue
\emph{p} des bottes de paille de cette production qui sont conformes
aux normes d'isolation.
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $50$
bottes ainsi prélevé dans cette production, associe la fréquence des
des bottes de cet échantillon qui sont conformes aux normes
d'isolation.

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne inconnue \emph{p} et
d'écart type  $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{50}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence
\emph{p} au niveau de confiance de 95\,\%. 
		\item On considère l'affirmation suivante :
\og La fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2. 
\emph{a} \fg. 

Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}