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\author{Frederic Metin}
\date{2012-05-20T11:22:14.23}
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
{\centering\bfseries \Large{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright
\par}}

{\large \centering \bfseries juin 2012 - Corrigé groupement B1 Métropole.\par}

\bigskip

{\bfseries Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

A. 

\begin{enumerate}
\item \emph{a}(\emph{x}) = 1 et \emph{b}(\emph{x}) = 2 ,
d'où  $\text{--}\frac{b(x)}{a(x)}=-2$  qui a pour
primitive  $\mathrm{G}(x)=-2x$  et donc la solution 
$y_{\mathrm{\mathit{HOM}}}$  est égale à 
$\mathrm{C}\text{e}^{-2x}$   $\left(\text{avec }\mathrm{C}\in
\mathbb{R}\right)$  
\item On a  $g'(x)=-5\text{e}^{-2x}+(-5x)\times
(-2)\text{e}^{x}=(10x-5)\text{e}^{-2x}$  ; en
remplaçant $\emph{y}$ et $\emph{y'}$ par
$\emph{g}(\emph{x})$ et $\emph{g}'(\emph{x})$
respectivement dans (E), on obtient :
 
$y'+2y=g^{\prime}(x) + 2g(x)=(10x - 5)\text{e}^{-2x}+2(-5x)\text{e}^{-2x}=(10x - 5 - 10x)\text{e}^{-2x}=-5\text{e}^{-2x}$,
donc \emph{g} est bien une solution  particulière de
l'équation différentielle (E).
\item Les solutions de (E) sont  : 
$y=f(x)=y_{\mathrm{\mathit{HOM}}}+g(x) = \mathrm{C}\text{e}^{- 2x}-5x\text{e}^{-2x}=(\mathrm{C}-5x)\text{e}^{- 2x}\text{
 }\left(\mathrm{C}\in \mathbb{R}\right)$ .
\item La condition initiale s'écrit 
$(\mathrm{C}-5\times 0)\text{e}^{-2\times 0}=1$ , donc C = 1 et
la solution recherchée est  $y=f(x)=(1-5x)\text{e}^{-2x}$ .
\end{enumerate}

\bigskip

B 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\underset{x\to +\infty }{\lim
}(-5x)\text{e}^{-2x}=0$.et  $\underset{x\to +\infty }{\lim
}\text{e}^{-2x}=0$, car cette limite est équivalente à la
limite de référence \  $\underset{x\to +\infty }{\lim
}(x+1)\text{e}^{x}=+\infty $ qui vaut 0 ; donc  $\underset{x\to
+\infty }{\lim }f(x)=0$
		\item La courbe \emph{C} admet un asymptote en  $+\infty $
dont une équation est : 

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

Réponse A &\bfseries Réponse B &Réponse C\\\hline
$y=1-5x$&$\boldsubformula{{y=0}}$&$x=0$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On sait que 
$\text{e}^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2}+t^{2}\varepsilon (t)$, avec 
$\underset{t\to 0}{\lim }\varepsilon (t)=0$, on en déduit que le DL de
e\up{{}--2}\emph{\up{x}}~à
l'ordre 2 au voisinage de 0 est : 
$\text{e}^{-2x}=1+(-2x)+\frac{(-2x)^{2}}{2}+x^{2}\varepsilon
(x)=1-2x+2x^{2}+x^{2}\varepsilon (x)$, avec  $\underset{x\to 0}{\lim
}\varepsilon (x)=0$.
		\item Il suffit de développer en ne gardant que les termes
d'ordre inférieur ou égal à 2 : 

{\centering
$f(x)=(1-5x)(1-2x+2x^{2}+x^{2}\varepsilon
(x))=1-5x-2x+10x^{2}+2x^{2}+x^{2}\varepsilon
(x)=1-7x+12x^{2}+x^{2}\varepsilon (x)$,
\par}

avec  $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\varepsilon (x)=0$. 
		\item Une équation de la tangente \emph{T} à la courbe
\emph{C} au point d'abscisse 0 est : \emph{y} = 1
-- 7 \emph{x}.
		\item La position de la tangente au-dessus de la courbe est
due au fait que $12 x^2$ est positif au voisinage de $0$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

C. \emph{Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose 
$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{u'=\text{e}^{-2x}\text{     
}u=-0,5\text{e}^{-2x}}{v=1-5x\text{    }v'=-5}\right.$. On a
alors :

\ 
$\mathrm{I}=\left[-0,5(1-5x)\text{e}^{-2x}\right]_{1}^{2}-\int
_{1}^{2}2,5\text{e}^{-2x}\mathrm{d}\,x=\left[-0,5(1-5x)\text{e}^{-2x}\right]_{1}^{2}+\left[1,25\text{e}^{-2x}\right]_{1}^{2}\\\text{
                                                            
}=-0,5(1-10)\text{e}^{-4}+0,5(1-5)\text{e}^{-2}+1,25\text{e}^{-4}-1,25\text{e}^{-2}\hfill
\\\text{                                                             
}=4,5\text{e}^{-4}-2\text{e}^{-2}+1,25\text{e}^{-4}-1,25\text{e}^{-2}=5,75\text{e}^{-4}-3,25\text{e}^{-2}\hfill
$, 

Si l'on écrit sous forme de fractions les nombres
décimaux,on obtient bien le résultat demandé. 
		\item À la calculatrice, on obtient : I = -- 0,33 (à
10\up{-2} près) 
		\item \emph{f} est négative dans l'intervalle [1~;~2]. 
		\item  I correspond à l'aire (comptée
négativement) du domaine délimité par la courbe représentative de
$f$, l'axe des abscisses et les droites
verticales d'équations respectives  $(x=1)$ et 
$(x = 2)$, exprimée en unités d'aire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

{\bfseries Exercice 2 }

\medskip

A. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p(350\leqslant \mathrm{X}\leqslant
370)= p\left(\frac{350 - 360}{18}\leqslant \mathrm{T}\leqslant
\frac{370 - 360}{18}\right)\\\text{}= p(-0,56\leqslant \mathrm{T}\leqslant 0,56)= 2\pi (0,56)-1=2\times \np{0,7123} - 1=0,42\text{ (à }10^{-2}\text{ près)}\hfill $ 
\item $p(90\leqslant \mathrm{Y}\leqslant
110)=p\left(\frac{90-100}{5}\leqslant \mathrm{T}\leqslant
\frac{110-100}{5}\right)\\\text{                          
}=p(-2\leqslant \mathrm{T}\leqslant 2) = 2\pi (2)-1=2\times
\np{0,9772} - 1= 0,85\text{ (à }10^{-2}\text{ près)}\hfill $ 
\item Puisque X et Y sont indépendantes, la probabilité demandée est le
produit des deux probabilités citées :

{\centering \  $p(360\leqslant \mathrm{X}\leqslant 370)\times p(90\leqslant
\mathrm{Y}\leqslant 110)=0,42\times 0,95=0,40$  (à
10\up{{}-3} près.)
\par}
\end{enumerate}

\bigskip

B. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'expérience peut être considérée comme la
répétition de 5 expériences identiques (les bottes de paille sont
équivalentes) et indépendantes (prélèvement considéré avec remise) ; la
probabilité de succès lors d'un tirage étant de 0,4, Z
suit une loi binomiale B(5~;~0,4).
\item  $p(\mathrm{Z}=5)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}{5}\right)0,4^{5}\times
0,6^{0}=0,4^{5}=0,01\text{ (à }10^{-2}\text{ près).}$ 
\item $p(\mathrm{Z}\geqslant
4)=p(\mathrm{Z}=4)+p(\mathrm{Z}=5)= 0,01 + 5\times 0,4^{4}\times
0,6^{1}= 0,01 + 0,08 = 0,09.$ 
\end{enumerate}

\bigskip

C. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend pour \emph{p} la valeur  $f_{e}=\frac{37}{50}=0,74$ 
observée dans l'échantillon. 
\item L'écart-type de F est théoriquement égal à 
$\sqrt{{\frac{0,74(1-0,74)}{50}}}=0,062$ .

On cherche \emph{t} tel que :  $p(-t\leqslant \mathrm{T}\leqslant
t)=0,95$ , ce qui revient à  $2\pi (t)-1=0,95$ , ou  $\pi (t)=0,975$ .
La valeur de \emph{t} est trouvée dans la table de la loi normale :
\emph{t} = 1,96.

En l'exprimant avec F : \ \  \ \ \ \ \ \ 
$p\left(-1,96\leqslant
\mathrm{{\frac{\mathrm{F}-0,74}{0,062}}}\leqslant 1,96\right)=0,95$ 

\begin{equation*}
p\left(0,74-1,96\times 0,062\leqslant \mathrm{F}\leqslant
0,74+1,96\times 0,062\right)=0,95
\end{equation*}
\begin{equation*}
p\left(0,68\leqslant \mathrm{F}\leqslant 0,80\right)=0,95
\end{equation*}

\bigskip

On a du tenir compte de la consigne d'arrondir à $10^{- 2}$ près, l'intervalle de confiance trouvé est  l'intervalle $\left[\text{~}0,68~;~0,80\right]$ 
\end{enumerate}
\end{document}